3.2: El rastro de la matriz

Objetivos de aprendizaje

• T/F: Solo calculamos el rastro de matrices cuadradas.
• T/F: Se puede decir si una matriz es invertible mediante el cálculo de la traza.

En la sección anterior, aprendimos sobre una operación que podemos realizar sobre matrices, es decir, la transposición. Dada una matriz\(A\), podemos “encontrar la transposición de”\(A\), que es otra matriz. En esta sección aprendemos sobre una nueva operación llamada la traza. Es un tipo de operación diferente al de la transposición. Dada una matriz\(A\), podemos “encontrar el rastro de”\(A\), que no es una matriz sino más bien un número. Aquí lo definimos formalmente.

Definición: The Trace

Dejar\(A\) ser una\(n\times n\) matriz. El rastro de\(A\), denotado\(\text{tr}(A)\), es la suma de los elementos diagonales de\(A\). Es decir,

\[\text{tr}(A)=a_{11}+a_{22}+\cdots +a_{nn}. \nonumber \]

Esto parece una definición simple, y realmente lo es. Sólo para asegurarnos de que esté claro, practiquemos.

Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

Encuentra el rastro de\(A\),\(B\),\(C\), y\(I_{4}\), donde

\[A=\left[\begin{array}{cc}{1}&{2}\\{3}&{4}\end{array}\right],\quad B=\left[\begin{array}{ccc}{1}&{2}&{0}\\{3}&{8}&{1}\\{-2}&{7}&{-5}\end{array}\right]\quad\text{and}\quad C=\left[\begin{array}{ccc}{1}&{2}&{3}\\{4}&{5}&{6}\end{array}\right]. \nonumber \]

Solución

Para encontrar el rastro de\(A\), tenga en cuenta que los elementos diagonales de\(A\) son\(1\) y\(4\). Por lo tanto,\(\text{tr}(A)=1+4=5\).

Vemos que los elementos diagonales de\(B\) son\(1,\: 8\) y\(-5\), así\(\text{tr}(B)=1+8-5=4\).

La matriz no\(C\) es una matriz cuadrada, y nuestra definición establece que debemos comenzar con una matriz cuadrada. Por lo tanto, no\(\text{tr}(C)\) se define.

Por último, la diagonal de\(I_{4}\) consta de cuatro 1s. Por lo tanto\(\text{tr}(I_{4}) = 4\).

Ahora que hemos definido el rastro de una matriz, deberíamos pensar como matemáticos y hacer algunas preguntas. Las primeras preguntas que deberían surgir en nuestras mentes deberían ser en la línea de “¿Cómo funciona la traza con otras operaciones matriciales?” \(^{1}\)Debemos pensar en cómo funciona la traza con la adición de matriz, la multiplicación escalar, la multiplicación matricial, las inversas matriciales y la transposición.

Daremos un teorema que formalmente nos dirá lo que es cierto en un momento, pero primero juguemos con dos matrices de muestra y veamos si podemos ver qué va a pasar. Vamos

\[A=\left[\begin{array}{ccc}{2}&{1}&{3}\\{2}&{0}&{-1}\\{3}&{-1}&{3}\end{array}\right]\quad\text{and}\quad B=\left[\begin{array}{ccc}{2}&{0}&{1}\\{-1}&{2}&{0}\\{0}&{2}&{-1}\end{array}\right]. \nonumber \]

Debe quedar claro que\(\text{tr}(A)=5\) y\(\text{tr}(B)=3\). ¿Qué es\(\text{tr}(A+B)\)?

\[\begin{align}\begin{aligned}\text{tr}(A+B)&=\text{tr}\left(\left[\begin{array}{ccc}{2}&{1}&{3}\\{2}&{0}&{-1}\\{3}&{-1}&{3}\end{array}\right]+\left[\begin{array}{ccc}{2}&{0}&{1}\\{-1}&{2}&{0}\\{0}&{2}&{-1}\end{array}\right]\right) \\ &=\text{tr}\left(\left[\begin{array}{ccc}{4}&{1}&{4}\\{1}&{2}&{-1}\\{3}&{1}&{2}\end{array}\right]\right) \\ &=8\end{aligned}\end{align} \nonumber \]

Entonces notamos eso\(\text{tr}(A+B)=\text{tr}(A)+\text{tr}(B)\). Esto probablemente no sea una coincidencia.

¿Cómo funciona la traza con la multiplicación escalar? Si multiplicamos\(A\) por\(4\), entonces los elementos diagonales serán\(8,\: 0\) y\(12\), así\(\text{tr}(4A)=20\). ¿Es una coincidencia que esto sea\(4\) veces el rastro de\(A\)?

Pasemos a la multiplicación matricial. ¿Cómo se\(AB\) relacionará el rastro de con las huellas de\(A\) y\(B\)? Veamos:

\[\begin{align}\begin{aligned}\text{tr}(AB)&=\text{tr}\left(\left[\begin{array}{ccc}{2}&{1}&{3}\\{2}&{0}&{-1}\\{3}&{-1}&{3}\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}{2}&{0}&{1}\\{-1}&{2}&{0}\\{0}&{2}&{-1}\end{array}\right]\right) \\ &=\text{tr}\left(\left[\begin{array}{ccc}{3}&{8}&{-1}\\{4}&{-2}&{3}\\{7}&{4}&{0}\end{array}\right]\right) \\ &=1\end{aligned}\end{align} \nonumber \]

No está exactamente claro cuál es la relación entre\(\text{tr}(A)\),\(\text{tr}(B)\) y\(\text{tr}(AB)\). Antes de seguir adelante, encontremos\(\text{tr}(BA)\):

\[\begin{align}\begin{aligned}\text{tr}(BA)&=\text{tr}\left(\left[\begin{array}{ccc}{2}&{0}&{1}\\{-1}&{2}&{0}\\{0}&{2}&{-1}\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}{2}&{1}&{3}\\{2}&{0}&{-1}\\{3}&{-1}&{3}\end{array}\right]\right) \\ &=\text{tr}\left(\left[\begin{array}{ccc}{7}&{1}&{9}\\{2}&{-1}&{-5}\\{1}&{1}&{-5}\end{array}\right]\right) \\ &=1\end{aligned}\end{align} \nonumber \]

Lo notamos\(\text{tr}(AB)=\text{tr}(BA)\). ¿Esto es una coincidencia?

¿Cómo son las huellas de\(A\) y\(A^{-1}\) relacionadas? Calculamos\(A^{-1}\) y encontramos que

\[A^{-1}=\left[\begin{array}{ccc}{1/17}&{6/17}&{1/17}\\{9/17}&{3/17}&{-8/17}\\{2/17}&{-5/17}&{2/17}\end{array}\right]. \nonumber \]

Por lo tanto\(\text{tr}(A^{-1})=6/17\). Nuevamente, la relación no es clara. \(^{2}\)

Por último, veamos cómo se relaciona el rastro con la transposición. En realidad no tenemos que computar nada formalmente. Recordemos de la sección anterior que las diagonales de\(A\) y\(A^{T}\) son idénticas; por lo tanto,\(\text{tr}(A)=\text{tr}(A^{T})\). Eso, sabemos con certeza, no es una coincidencia.

Ahora declaramos formalmente qué igualdades son ciertas al considerar la interacción de la traza con otras operaciones matriciales.

Teorema\(\PageIndex{1}\): Properties of the Matrix Trace

Dejar\(A\) y\(B\) ser\(n\times n\) matrices. Entonces:

1. \(\text{tr}(A+B)=\text{tr}(A)+\text{tr}(B)\)
2. \(\text{tr}(A-B)=\text{tr}(A)-\text{tr}(B)\)
3. \(\text{tr}(kA)=k\cdot\text{tr}(A)\)
4. \(\text{tr}(AB)=\text{tr}(BA)\)
5. \(\text{tr}(A^{T})=\text{tr}(A)\)

Una de las cosas clave a tener en cuenta aquí es lo que no dice este teorema. No dice nada sobre cómo se relaciona el rastro con las inversas. El motivo del silencio en estas áreas es que simplemente no hay una relación.

Terminamos esta sección preguntándonos nuevamente por qué a alguien le importaría el rastro de la matriz. Una razón por la que a los matemáticos les interesa es que puede dar una medida del “tamaño” \(^{3}\)de una matriz.

Considere las siguientes\(2 \times 2\) matrices:

\[A=\left[\begin{array}{cc}{1}&{-2}\\{1}&{1}\end{array}\right]\quad\text{and}\quad B=\left[\begin{array}{cc}{6}&{7}\\{11}&{-4}\end{array}\right]. \nonumber \]

Estas matrices tienen el mismo rastro, sin embargo,\(B\) claramente tienen elementos más grandes en ella. Entonces, ¿cómo podemos usar el rastro para determinar un “tamaño” de estas matrices? Podemos considerar\(\text{tr}(A^{T}A)\) y\(\text{tr}(B^{T}B)\).

\[\begin{align}\begin{aligned}\text{tr}(A^{T}A)&=\text{tr}\left(\left[\begin{array}{cc}{1}&{1}\\{-2}&{1}\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}{1}&{-2}\\{1}&{1}\end{array}\right]\right) \\ &=\text{tr}\left(\left[\begin{array}{cc}{2}&{-1}\\{-1}&{5}\end{array}\right]\right) \\ &=7\end{aligned}\end{align} \nonumber \]

\[\begin{align}\begin{aligned}\text{tr}(B^{T}B)&=\text{tr}\left(\left[\begin{array}{cc}{6}&{11}\\{7}&{-4}\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}{6}&{7}\\{11}&{-4}\end{array}\right]\right) \\ &=\text{tr}\left(\left[\begin{array}{cc}{157}&{-2}\\{-2}&{65}\end{array}\right]\right) \\ &=222\end{aligned}\end{align} \nonumber \]

Nuestra preocupación no es cómo interpretar lo que significa esta medición de “tamaño”, sino más bien demostrar que la traza (junto con la transposición) puede ser utilizada para dar (quizás útil) información sobre una matriz. \(^{4}\)

Notas al pie

[1] Recordemos que hicimos una pregunta similar una vez que aprendimos sobre la transposición.

[2] Algo en lo que pensar: sabemos que no todas las matrices cuadradas son invertibles. ¿Seríamos capaces de decir sólo por el rastro? Eso parece poco probable.

[3] Hay muchas medidas diferentes de un tamaño de matriz. En este texto, solo nos referimos a sus dimensiones. Algunas medidas de tamaño refieren la magnitud de los elementos en la matriz. En la siguiente sección se describe otra medida más del tamaño de la matriz.

[4] Este ejemplo saca a la luz muchas ideas interesantes que vamos a desarrollar un poco aquí.

1. Observe que los elementos de\(A\) son\(1\),\(-2\),\(1\) y\(1\). Sumar los cuadrados de estos números:\(1^2 + (-2)^2 + 1^2 + 1^2 = 7 =\text{tr}(A^{T}A)\).
   Observe que los elementos de\(B\) son\(6\),\(7\),\(11\) y\(-4\). Sumar los cuadrados de estos números:\(6^2 + 7^2 + 11^2 + (-4)^2 = 222 =\text{tr}(B^{T}B)\).
   ¿Ves por qué esto es cierto? Al mirar multiplicar\(A^{T}A\), enfocarse únicamente en de dónde vienen los elementos en la diagonal ya que son los únicos que importan a la hora de tomar el rastro.
2. Puedes confirmar por tu cuenta que independientemente de las dimensiones de\(A\),\(\text{tr}(A^{T}A)=\text{tr}(AA^{T})\). Para ver por qué esto es cierto, considera el punto anterior. (Recordemos también que\(A^{T}A\) y\(AA^{T}\) son siempre cuadrados, independientemente de las dimensiones de\(A\).)
3. En realidad, los matemáticos están\(\sqrt{\text{tr}(A^{T}A)}\) más interesados que solo\(\text{tr}(A^{T}A)\). El motivo de esto es un poco complicado; la respuesta corta es que “funciona mejor”. La razón por la que “funciona mejor” está relacionada con el Teorema de Pitágoras, todas las cosas. Si sabemos que las patas de un triángulo rectángulo tienen longitud\(a\) y\(b\), nos interesa\(\sqrt{a^2+b^2}\) más que solo\(a^2+b^2\). Por supuesto, esta explicación plantea más preguntas de las que responde; nuestro objetivo aquí es sólo abrirte el apetito y conseguir que hagas un poco más de lectura. Un libro de Álgebra Lineal Numérica sería un buen lugar para comenzar.