3: Operaciones de Matriz Binaria

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$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}$

Objetivos de aprendizaje

Después de leer este capítulo, deberías poder:

sumar, restar y multiplicar matrices, y
aplicar reglas de operaciones binarias en matrices.

¿Cómo se agregan dos matrices?

Dos matrices$\left\lbrack A \right\rbrack$ y se$\left\lbrack B \right\rbrack$ pueden agregar sólo si son del mismo tamaño. La adición se muestra entonces como

\[\left\lbrack C \right\rbrack = \left\lbrack A \right\rbrack + \left\lbrack B \right\rbrack \nonumber \]

donde

\[c_{ij} = a_{ij} + b_{ij} \nonumber \]

Ejemplo 1

Agregar las dos matrices siguientes.

$\left\lbrack A \right\rbrack = \begin{bmatrix} 5 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 7 \\ \end{bmatrix}$$\left\lbrack B \right\rbrack = \begin{bmatrix} 6 & 7 & - 2 \\ 3 & 5 & 19 \\ \end{bmatrix}$

Solución

\[\begin{split} \left\lbrack C \right\rbrack &= \left\lbrack A \right\rbrack + \left\lbrack B \right\rbrack\\ &= \begin{bmatrix} 5 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 7 \\ \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 6 & 7 & - 2 \\ 3 & 5 & 19 \\ \end{bmatrix}\\ &= \begin{bmatrix} 5 + 6 & 2 + 7 & 3 - 2 \\ 1 + 3 & 2 + 5 & 7 + 19 \\ \end{bmatrix}\\ &= \begin{bmatrix} 11 & 9 & 1 \\ 4 & 7 & 26 \\ \end{bmatrix} \end{split} \nonumber \]

Ejemplo 2

La tienda Blowout r'us tiene dos ubicaciones de tiendas$A$ y$B$, y sus ventas de llantas están dadas por make (en filas) y cuartos (en columnas) como se muestra a continuación.

\[\left\lbrack A \right\rbrack = \begin{bmatrix} \begin{matrix} 25 & 20 \\ \end{matrix} & \begin{matrix} 3 & 2 \\ \end{matrix} \\ \begin{matrix} 5 & 10 \\ \end{matrix} & \begin{matrix} 15 & 25 \\ \end{matrix} \\ \begin{matrix} 6 & 16 \\ \end{matrix} & \begin{matrix} 7 & 27 \\ \end{matrix} \\ \end{bmatrix} \nonumber \]

\[\left\lbrack B \right\rbrack = \begin{bmatrix} \begin{matrix} 20 & 5 \\ \end{matrix} & \begin{matrix} 4 & 0 \\ \end{matrix} \\ \begin{matrix} 3 & 6 \\ \end{matrix} & \begin{matrix} 15 & 21 \\ \end{matrix} \\ \begin{matrix} 4 & 1 \\ \end{matrix} & \begin{matrix} 7 & 20 \\ \end{matrix} \\ \end{bmatrix} \nonumber \]

donde las filas representan la venta de llantas Tirestone, Michigan y Copper respectivamente y las columnas representan el número de trimestre: 1, 2, 3 y 4. ¿Cuáles son las ventas totales de llantas para las dos ubicaciones por marca y trimestre?

Solución

\[\begin{split} \left\lbrack C \right\rbrack &= \left\lbrack A \right\rbrack + \left\lbrack B \right\rbrack\\ &= \begin{bmatrix} \begin{matrix} 25 & 20 \\ \end{matrix} & \begin{matrix} 3 & 2 \\ \end{matrix} \\ \begin{matrix} 5 & 10 \\ \end{matrix} & \begin{matrix} 15 & 25 \\ \end{matrix} \\ \begin{matrix} 6 & 16 \\ \end{matrix} & \begin{matrix} 7 & 27 \\ \end{matrix} \\ \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} \begin{matrix} 20 & 5 \\ \end{matrix} & \begin{matrix} 4 & 0 \\ \end{matrix} \\ \begin{matrix} 3 & 6 \\ \end{matrix} & \begin{matrix} 15 & 21 \\ \end{matrix} \\ \begin{matrix} 4 & 1 \\ \end{matrix} & \begin{matrix} 7 & 20 \\ \end{matrix} \\ \end{bmatrix}\\ &= \left\lbrack \begin{matrix} \left( 25 + 20 \right) \\ \left( 5 + 3 \right) \\ \left( 6 + 4 \right) \\ \end{matrix}\begin{matrix} \left( 20 + 5 \right) \\ \left( 10 + 6 \right) \\ \left( 16 + 1 \right) \\ \end{matrix}\begin{matrix} \left( 3 + 4 \right) \\ \left( 15 + 15 \right) \\ \left( 7 + 7 \right) \\ \end{matrix}\begin{matrix} \left( 2 + 0 \right) \\ \left( 25 + 21 \right) \\ \left( 27 + 20 \right) \\ \end{matrix} \right\rbrack\\ &= \left\lbrack \begin{matrix} 45 \\ 8 \\ 10 \\ \end{matrix}\begin{matrix} 25 \\ 16 \\ 17 \\ \end{matrix}\begin{matrix} 7 \\ 30 \\ 14 \\ \end{matrix}\begin{matrix} 2 \\ 46 \\ 47 \\ \end{matrix} \right\rbrack \end{split} \nonumber \]

Entonces, si uno quiere saber el número total de llantas de Cobre vendidas en trimestre$4$ en las dos ubicaciones, nos fijaríamos en Fila$3$ — Columna$4$ para dar$c_{34} = 47$.

¿Cómo restas dos matrices?

Dos matrices$\left\lbrack A \right\rbrack$ y se$\left\lbrack B \right\rbrack$ pueden restar sólo si son del mismo tamaño. La resta se muestra como

\[\left\lbrack D \right\rbrack = \left\lbrack A \right\rbrack - \left\lbrack B \right\rbrack \nonumber \]

donde

\[d_{ij} = a_{ij} - b_{ij} \nonumber \]

Ejemplo 3

Restar matriz$\left\lbrack B \right\rbrack$ de matriz$\left\lbrack A \right\rbrack$.

\[\left\lbrack A \right\rbrack = \begin{bmatrix} 5 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 7 \\ \end{bmatrix} \nonumber \]

\[\left\lbrack B \right\rbrack = \begin{bmatrix} 6 & 7 & - 2 \\ 3 & 5 & 19 \\ \end{bmatrix} \nonumber \]

Solución

\[\begin{split} \left\lbrack D \right\rbrack &= \left\lbrack A \right\rbrack - \left\lbrack B \right\rbrack\\ &= \begin{bmatrix} 5 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 7 \\ \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 6 & 7 & - 2 \\ 3 & 5 & 19 \\ \end{bmatrix}\\ &= \begin{bmatrix} \left( 5 - 6 \right) & \left( 2 - 7 \right) & \left( 3 - \left( - 2 \right) \right) \\ \left( 1 - 3 \right) & \left( 2 - 5 \right) & \left( 7 - 19 \right) \\ \end{bmatrix}\\ &= \begin{bmatrix} - 1 & - 5 & 5 \\ - 2 & - 3 & - 12 \\ \end{bmatrix} \end{split} \nonumber \]

Ejemplo 4

Blowout r'us tiene dos ubicaciones de tiendas$A$$B$ y y sus ventas de llantas están dadas por make (en filas) y cuartos (en columnas) como se muestra a continuación.

\[\left\lbrack A \right\rbrack = \left\lbrack \begin{matrix} 25 \\ 5 \\ 6 \\ \end{matrix}\begin{matrix} 20 \\ 10 \\ 16 \\ \end{matrix}\begin{matrix} 3 \\ 15 \\ 7 \\ \end{matrix}\begin{matrix} 2 \\ 25 \\ 27 \\ \end{matrix} \right\rbrack \nonumber \]

\[\left\lbrack B \right\rbrack = \left\lbrack \begin{matrix} 20 \\ 3 \\ 4 \\ \end{matrix}\begin{matrix} 5 \\ 6 \\ 1 \\ \end{matrix}\begin{matrix} 4 \\ 15 \\ 7 \\ \end{matrix}\begin{matrix} 0 \\ 21 \\ 20 \\ \end{matrix} \right\rbrack \nonumber \]

donde las filas representan la venta de llantas Tirestone, Michigan y Copper respectivamente y las columnas representan el número de trimestre: 1, 2, 3 y 4. ¿Cuántas llantas más se$A$ vendieron en tienda que en tienda$B$ de cada marca en cada trimestre?

Solución

\[\begin{split} \left\lbrack D \right\rbrack &= \left\lbrack A \right\rbrack - \left\lbrack B \right\rbrack\\ &= \left\lbrack \begin{matrix} 25 \\ 5 \\ 6 \\ \end{matrix}\begin{matrix} 20 \\ 10 \\ 16 \\ \end{matrix}\begin{matrix} 3 \\ 15 \\ 7 \\ \end{matrix}\begin{matrix} 2 \\ 25 \\ 27 \\ \end{matrix} \right\rbrack - \left\lbrack \begin{matrix} 20 \\ 3 \\ 4 \\ \end{matrix}\begin{matrix} 5 \\ 6 \\ 1 \\ \end{matrix}\begin{matrix} 4 \\ 15 \\ 7 \\ \end{matrix}\begin{matrix} 0 \\ 21 \\ 20 \\ \end{matrix} \right\rbrack\\ &= \left\lbrack \begin{matrix} \left( 25 - 20 \right) \\ \left( 5 - 3 \right) \\ \left( 6 - 4 \right) \\ \end{matrix}\begin{matrix} \left( 20 - 5 \right) \\ \left( 10 - 6 \right) \\ \left( 16 - 1 \right) \\ \end{matrix}\begin{matrix} \left( 3 - 4 \right) \\ \left( 15 - 15 \right) \\ \left( 7 - 7 \right) \\ \end{matrix}\begin{matrix} \left( 2 - 0 \right) \\ \left( 25 - 21 \right) \\ \left( 27 - 20 \right) \\ \end{matrix} \right\rbrack\\ &= \left\lbrack \begin{matrix} 5 \\ 2 \\ 2 \\ \end{matrix}\begin{matrix} 15 \\ 4 \\ 15 \\ \end{matrix}\begin{matrix} - 1 \\ 0 \\ 0 \\ \end{matrix}\begin{matrix} 2 \\ 4 \\ 7 \\ \end{matrix} \right\rbrack \end{split} \nonumber \]

Entonces, si quieres saber cuántas llantas de cobre más se vendieron en trimestre$4$ en tienda$A$ que en tienda$B$,$d_{34} = 7$. Tenga en cuenta que$d_{13} = - 1$ implica que la tienda$A$ vendió 1 llanta Michigan menos que la tienda$B$ en trimestre$3$.

¿Cómo puedo multiplicar dos matrices?

Dos matrices$\left\lbrack A \right\rbrack$ y se$\left\lbrack B \right\rbrack$ pueden multiplicar sólo si el número de columnas de$\left\lbrack A \right\rbrack$ es igual al número de filas de$\left\lbrack B \right\rbrack$ para dar

\[\left\lbrack C \right\rbrack_{m \times n} = \left\lbrack A \right\rbrack_{m \times p}\left\lbrack B \right\rbrack_{p \times n} \nonumber \]

Si$\left\lbrack A \right\rbrack$ es una$m \times p$ matriz y$\left\lbrack B \right\rbrack$ es una$p \times n$ matriz, la matriz resultante$\left\lbrack C \right\rbrack$ es una$m \times n$ matriz.

Entonces, ¿cómo se calculan los elementos de la$\left\lbrack C \right\rbrack$ matriz?

\[\begin{split} c_{ij} &= \sum_{k = 1}^{p}{a_{ik}b_{kj}}\\ &= a_{i1}b_{1j} + a_{i2}b_{2j} + \ldots + a_{ip}b_{pj} \end{split} \nonumber \]

para cada uno$i = 1,\ 2,\ \ldots\ \ ,\ m$ y$j = 1,\ 2,\ \ldots\ \ ,\ n$.

Para ponerlo en términos más simples, la$i^{th}$ fila y$j^{th}$ columna de la$\left\lbrack C \right\rbrack$ matriz en$\left\lbrack C \right\rbrack = \left\lbrack A \right\rbrack\left\lbrack B \right\rbrack$ se calcula multiplicando la$i^{th}$ fila de$\left\lbrack A \right\rbrack$ por la$j^{th}$ columna de $\left\lbrack B \right\rbrack$. Eso es

\[\begin{split} c_{ij} &= \left\lceil a_{i1}a_{i2}\ \ \ldots\ \ \ a_{\text{ip}} \right\rceil\begin{bmatrix} \begin{matrix} b_{1j} \\ b_{2j} \\ \end{matrix} \\ \begin{matrix} \vdots \\ b_{\text{pj}} \\ \end{matrix} \\ \end{bmatrix}\\ &= a_{i1}b_{1j} + a_{i2}b_{2j} + \ldots + a_{\text{ip}}b_{\text{pj}}\\ &= \sum_{k = 1}^{p}{a_{\text{ik}}b_{\text{kj}}} \end{split} \nonumber \]

Ejemplo 5

Dado

\[\left\lbrack A \right\rbrack = \begin{bmatrix} 5 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 7 \\ \end{bmatrix} \nonumber \]

\[\left\lbrack B \right\rbrack = \begin{bmatrix} 3 & - 2 \\ 5 & - 8 \\ 9 & - 10 \\ \end{bmatrix} \nonumber \]

Encuentra

\[\left\lbrack C \right\rbrack = \left\lbrack A \right\rbrack\left\lbrack B \right\rbrack \nonumber \]

Solución

$c_{12}$se puede encontrar multiplicando la primera fila de$\left\lbrack A \right\rbrack$ por la segunda columna de$\left\lbrack B \right\rbrack$,

\[\begin{split} c_{12} &= \begin{bmatrix} 5 & 2 & 3 \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} -2 \\ -8 \\ -10 \\ \end{bmatrix}\\ &= \left( 5 \right)\left( - 2 \right) + \left( 2 \right)\left( - 8 \right) + \left( 3 \right)\left( - 10 \right)\\ &= -56 \end{split} \nonumber \]

Del mismo modo, uno puede encontrar los otros elementos de$\left\lbrack C \right\rbrack$ para dar

\[\left\lbrack C \right\rbrack = \begin{bmatrix} 52 & - 56 \\ 76 & - 88 \\ \end{bmatrix} \nonumber \]

Ejemplo 6

La ubicación de la tienda Blowout r'us$A$ y las ventas de llantas se dan por make (en filas) y cuartos (en columnas) como se muestra a continuación

donde las filas representan la venta de llantas Tirestone, Michigan y Copper respectivamente y las columnas representan el número de trimestre: 1, 2, 3 y 4. Encuentre las ventas por trimestre de tienda$A$ si los siguientes son los precios de cada llanta:

Tirestone =$\$33.25$
Michigan =$\$40.19$
Cobre =$\$25.03$

Solución

La respuesta se da multiplicando la matriz de precios por la cantidad de ventas de tienda$A$. La matriz de precios es$\begin{bmatrix} 33.25 & 40.19 & 25.03 \\ \end{bmatrix}$, por lo que las ventas por trimestre de tienda$A$ estarían dadas por:

\[\left\lbrack C \right\rbrack = \begin{bmatrix} 33.25 & 40.19 & 25.03 \\ \end{bmatrix}\left\lbrack \begin{matrix} 25 \\ 5 \\ 6 \\ \end{matrix}\begin{matrix} 20 \\ 10 \\ 16 \\ \end{matrix}\begin{matrix} 3 \\ 15 \\ 7 \\ \end{matrix}\begin{matrix} 2 \\ 25 \\ 27 \\ \end{matrix} \right\rbrack \nonumber \]

\[c_{ij} = \sum_{k = 1}^{3}{a_{ik}b_{kj}} \nonumber \]

\[\begin{split} c_{11} &= \sum_{k = 1}^{3}{a_{1k}b_{k1}}\\ &= a_{11}b_{11} + a_{12}b_{21} + a_{13}b_{31}\\ &= \left( 33.25 \right)\left( 25 \right) + \left( 40.19 \right)\left( 5 \right) + \left( 25.03 \right)\left( 6 \right)\\ &= \text{\$} 1182.38 \end{split} \nonumber \]

Del mismo modo

\[c_{12} = \$ 1467.38 \nonumber \]

\[c_{13} = \$ 877.81 \nonumber \]

\[c_{14} = \$ 1747.06 \nonumber \]

Por lo tanto, cada trimestre las ventas de tienda$A$ en dólares vienen dadas por las cuatro columnas del vector fila

\[\left\lbrack C \right\rbrack = \left\lbrack 1182.38\ \ \ 1467.38\ \ \ 877.81\ \ \ 1747.06 \right\rbrack \nonumber \]

Recuerde, ya que estamos multiplicando una$1 \times 3$ matriz por una$3 \times 4$ matriz, la matriz resultante es una$1 \times 4$ matriz.

¿Cuál es la multiplicación escalar de una matriz?

Si$\left\lbrack A \right\rbrack$ es una$m \times n$ matriz y$k$ es un número real, entonces la multiplicación$\left\lbrack A \right\rbrack$ por un escalar$k$ es otra$m \times n$ matriz$\left\lbrack B \right\rbrack$, donde

$b_{ij} = k\ a_{ij}$para todos$i,\ j$.

Ejemplo 7

Vamos

\[\left\lbrack A \right\rbrack = \begin{bmatrix} 2.1 & 3 & 2 \\ 5 & 1 & 6 \\ \end{bmatrix} \nonumber \]

Encuentra$2\left\lbrack A \right\rbrack$

Solución

\[\begin{split} 2\left\lbrack A \right\rbrack &= 2\begin{bmatrix} 2.1 & 3 & 2 \\ 5 & 1 & 6 \\ \end{bmatrix}\\ &= \begin{bmatrix} 2 \times 2.1 & 2 \times 3 & 2 \times 2 \\ 2 \times 5 & 2 \times 1 & 2 \times 6 \\ \end{bmatrix}\\ & = \begin{bmatrix} 4.2 & 6 & 4 \\ 10 & 2 & 12 \\ \end{bmatrix} \end{split} \nonumber \]

¿Qué es una combinación lineal de matrices?

Si$\left\lbrack A_{1} \right\rbrack,\left\lbrack A_{2} \right\rbrack,\ \ldots\ ,\ \left\lbrack A_{p} \right\rbrack$ son matrices del mismo tamaño y$k_{1},\ k_{2},\ \ldots\ ,\ k_{p}$ son escalares, entonces

\[k_{1}\left\lbrack A_{1} \right\rbrack + k_{2}\left\lbrack A_{2} \right\rbrack + \ \ldots\ + k_{p}\left\lbrack A_{p} \right\rbrack \nonumber \]

se llama una combinación lineal de$\left\lbrack A_{1} \right\rbrack,\left\lbrack A_{2} \right\rbrack,\ \ldots\ ,\ \left\lbrack A_{p} \right\rbrack$.

Ejemplo 8

\[\left\lbrack A_{1} \right\rbrack = \begin{bmatrix} 5 & 6 & 2 \\ 3 & 2 & 1 \\ \end{bmatrix},\ \left\lbrack A_{2} \right\rbrack = \begin{bmatrix} 2.1 & 3 & 2 \\ 5 & 1 & 6 \\ \end{bmatrix},\ \left\lbrack A_{3} \right\rbrack = \begin{bmatrix} 0 & 2.2 & 2 \\ 3 & 3.5 & 6 \\ \end{bmatrix} \nonumber \]

luego encuentra

\[\left\lbrack A_{1} \right\rbrack + 2\left\lbrack A_{2} \right\rbrack - 0.5\left\lbrack A_{3} \right\rbrack \nonumber \]

Solución

\[\left\lbrack A_{1} \right\rbrack + 2\left\lbrack A_{2} \right\rbrack - 0.5\left\lbrack A_{3} \right\rbrack \nonumber \]

\[\begin{split} &= \begin{bmatrix} 5 & 6 & 2 \\ 3 & 2 & 1 \\ \end{bmatrix} + 2\begin{bmatrix} 2.1 & 3 & 2 \\ 5 & 1 & 6 \\ \end{bmatrix} - 0.5\begin{bmatrix} 0 & 2.2 & 2 \\ 3 & 3.5 & 6 \\ \end{bmatrix}\\ &= \begin{bmatrix} 5 & 6 & 2 \\ 3 & 2 & 1 \\ \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 4.2 & 6 & 4 \\ 10 & 2 & 12 \\ \end{bmatrix} - 0.5\begin{bmatrix} 0 & 1.1 & 1 \\ 1.5 & 1.75 & 3 \\ \end{bmatrix}\\ &= \begin{bmatrix} 9.2 & 10.9 & 5 \\ 11.5 & 2.25 & 10 \\ \end{bmatrix} \end{split} \nonumber \]

¿Cuáles son algunas de las reglas de las operaciones de matriz binaria?

Ley conmutativa de la adición

Si$\left\lbrack A \right\rbrack$ y$\left\lbrack B \right\rbrack$ son$m \times n$ matrices, entonces

\[\left\lbrack A \right\rbrack + \left\lbrack B \right\rbrack = \left\lbrack B \right\rbrack + \left\lbrack A \right\rbrack \nonumber \]

Ley asociativa de la adición

Si$\left\lbrack A \right\rbrack$,$\left\lbrack B \right\rbrack$, y$\left\lbrack C \right\rbrack$ son todas las$m \times n$ matrices, entonces

\[\left\lbrack A \right\rbrack + \left( \left\lbrack B \right\rbrack + \left\lbrack C \right\rbrack \right) = \left( \left\lbrack A \right\rbrack + \left\lbrack B \right\rbrack \right) + \left\lbrack C \right\rbrack \nonumber \]

Ley asociativa de la multiplicación

Si$\left\lbrack A \right\rbrack$,$\left\lbrack B \right\rbrack$, y$\left\lbrack C \right\rbrack$ son$m \times n$,$n \times p$, y matrices de$p \times r$ tamaño, respectivamente, entonces

\[\left\lbrack A \right\rbrack\left( \left\lbrack B \right\rbrack\left\lbrack C \right\rbrack \right) = \left( \left\lbrack A \right\rbrack\left\lbrack B \right\rbrack \right)\left\lbrack C \right\rbrack \nonumber \]

y el tamaño de matriz resultante en ambos lados de la ecuación es$m \times p$.

Derecho distributivo

Si$\left\lbrack A \right\rbrack$ y$\left\lbrack B \right\rbrack$ son matrices de$m \times n$ tamaño, y$\left\lbrack C \right\rbrack$ y$\left\lbrack D \right\rbrack$ son matrices de$n \times p$ tamaño

\[\left\lbrack A \right\rbrack\left( \left\lbrack C \right\rbrack + \left\lbrack D \right\rbrack \right) = \left\lbrack A \right\rbrack\left\lbrack C \right\rbrack + \left\lbrack A \right\rbrack\left\lbrack D \right\rbrack \nonumber \]

\[\left( \left\lbrack A \right\rbrack + \left\lbrack B \right\rbrack \right)\left\lbrack C \right\rbrack = \left\lbrack A \right\rbrack\left\lbrack C \right\rbrack + \left\lbrack B \right\rbrack\left\lbrack C \right\rbrack \nonumber \]

Y el tamaño de matriz resultante en ambos lados de la ecuación es$m \times p$.

Ejemplo 9

Ilustrar la ley asociativa de multiplicación de matrices utilizando

\[\left\lbrack A \right\rbrack = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 5 \\ 0 & 2 \\ \end{bmatrix},\ \ \ \ \left\lbrack B \right\rbrack = \begin{bmatrix} 2 & 5 \\ 9 & 6 \\ \end{bmatrix},\ \ \ \ \left\lbrack C \right\rbrack = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 5 \\ \end{bmatrix} \nonumber \]

Solución

\[\begin{split} \left\lbrack B \right\rbrack\left\lbrack C \right\rbrack &= \begin{bmatrix} 2 & 5 \\ 9 & 6 \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 5 \\ \end{bmatrix}\\ &= \begin{bmatrix} 19 & 27 \\ 36 & 39 \\ \end{bmatrix} \end{split} \nonumber \]

\[\begin{split} \left\lbrack A \right\rbrack\left( \left\lbrack B \right\rbrack\left\lbrack C \right\rbrack \right) &= \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 5 \\ 0 & 2 \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 19 & 27 \\ 36 & 39 \\ \end{bmatrix}\\ &= \begin{bmatrix} 91 & 105 \\ 237 & 276 \\ 72 & 78 \\ \end{bmatrix} \end{split} \nonumber \]

\[\begin{split} \left\lbrack A \right\rbrack\left\lbrack B \right\rbrack &= \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 5 \\ 0 & 2 \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 2 & 5 \\ 9 & 6 \\ \end{bmatrix}\\ &= \begin{bmatrix} 20 & 17 \\ 51 & 45 \\ 18 & 12 \\ \end{bmatrix} \end{split} \nonumber \]

\[\begin{split} \left( \left\lbrack A \right\rbrack\left\lbrack B \right\rbrack \right)\left\lbrack C \right\rbrack &= \begin{bmatrix} 20 & 17 \\ 51 & 45 \\ 18 & 12 \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 5 \\ \end{bmatrix}\\ &= \begin{bmatrix} 91 & 105 \\ 237 & 276 \\ 72 & 78 \\ \end{bmatrix} \end{split} \nonumber \]

Lo anterior ilustra la ley asociativa de multiplicación de matrices.

¿Es [A] [B] = [B] [A]?

Si$\left\lbrack A \right\rbrack\left\lbrack B \right\rbrack$ existe, el número de columnas de$\left\lbrack A \right\rbrack$ tiene que ser el mismo que el número de filas de$\left\lbrack B \right\rbrack$ y si$\left\lbrack B \right\rbrack\left\lbrack A \right\rbrack$ existe, el número de columnas de$\left\lbrack B \right\rbrack$ tiene que ser el mismo que el número de filas de$\left\lbrack A \right\rbrack$. Ahora para$\left\lbrack A \right\rbrack\left\lbrack B \right\rbrack = \left\lbrack B \right\rbrack\left\lbrack A \right\rbrack$, la matriz resultante de$\left\lbrack A \right\rbrack\left\lbrack B \right\rbrack$ y$\left\lbrack B \right\rbrack\left\lbrack A \right\rbrack$ tiene que ser del mismo tamaño. Esto sólo es posible si$\left\lbrack A \right\rbrack$ y$\left\lbrack B \right\rbrack$ son cuadrados y son del mismo tamaño. Incluso entonces en general$\left\lbrack A \right\rbrack\left\lbrack B \right\rbrack \neq \left\lbrack B \right\rbrack\left\lbrack A \right\rbrack$

Ejemplo 10

Determinar si

\[\left\lbrack A \right\rbrack\left\lbrack B \right\rbrack = \left\lbrack B \right\rbrack\left\lbrack A \right\rbrack \nonumber \]

Para las siguientes matrices

\[\left\lbrack A \right\rbrack = \begin{bmatrix} 6 & 3 \\ 2 & 5 \\ \end{bmatrix},\ \ \ \ \left\lbrack B \right\rbrack = \begin{bmatrix} - 3 & 2 \\ 1 & 5 \\ \end{bmatrix} \nonumber \]

Solución

\[\begin{split} \left\lbrack A \right\rbrack\left\lbrack B \right\rbrack &= \begin{bmatrix} 6 & 3 \\ 2 & 5 \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} - 3 & 2 \\ 1 & 5 \\ \end{bmatrix}\\ &= \begin{bmatrix} - 15 & 27 \\ - 1 & 29 \\ \end{bmatrix} \end{split} \nonumber \]

\[\begin{split} \left\lbrack B \right\rbrack\left\lbrack A \right\rbrack &= \begin{bmatrix} - 3 & 2 \\ 1 & 5 \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 6 & 3 \\ 2 & 5 \\ \end{bmatrix}\\ &= \begin{bmatrix} - 14 & 1 \\ 16 & 28 \\ \end{bmatrix} \end{split} \nonumber \]

\[\left\lbrack A \right\rbrack\left\lbrack B \right\rbrack \neq \left\lbrack B \right\rbrack\left\lbrack A \right\rbrack \nonumber \]

Prueba de operaciones de matriz binaria

Quiz 1

Si$\left\lbrack A \right\rbrack = \begin{bmatrix} 5 & 6 \\ 7 & - 3 \\ \end{bmatrix}$ y$\left\lbrack B \right\rbrack = \begin{bmatrix} 2 \\ - 3 \\ \end{bmatrix}$ entonces$\left\lbrack A \right\rbrack\left\lbrack B \right\rbrack =$

(A)$\begin{bmatrix} - 8 \\ 23 \\ \end{bmatrix}$

(B)$\begin{bmatrix} 10 & 12 \\ 14 & 9 \\ \end{bmatrix}$

(C)$\begin{bmatrix} - 2 & 5 \\ \end{bmatrix}$

(D) no es posible

Quiz 2

Para que el producto$\left\lbrack A \right\rbrack\left\lbrack B \right\rbrack$ sea posible

(A) el número de filas de$\left\lbrack A \right\rbrack$ necesita ser el ame como el número de columnas de$\left\lbrack B \right\rbrack$

(B) el número de columnas de$\left\lbrack A \right\rbrack$ necesidades debe ser el mismo que el número de filas de$\left\lbrack B \right\rbrack$

(D) el número de columnas de$\left\lbrack A \right\rbrack$ y$\left\lbrack B \right\rbrack$ debe ser el mismo

Quiz 3

Si$\left\lbrack A \right\rbrack = \begin{bmatrix} 50 & 60 \\ 20 & - 30 \\ \end{bmatrix}$ entonces 6$\left\lbrack A \right\rbrack$ es igual a

(A)$\begin{bmatrix} 50 & 360 \\ 120 & - 180 \\ \end{bmatrix}$

(B)$\begin{bmatrix} 300 & 60 \\ 20 & - 30 \\ \end{bmatrix}$

(C)$\begin{bmatrix} 300 & 360 \\ 120 & - 180 \\ \end{bmatrix}$

(D)$\begin{bmatrix} 56 & 66 \\ 26 & - 24 \\ \end{bmatrix}$

Quiz 4

$\left\lbrack A \right\rbrack$y$\left\lbrack B \right\rbrack$ son matrices cuadradas de$n \times n$ orden. Entonces$(\left\lbrack A \right\rbrack - \left\lbrack B \right\rbrack)(\left\lbrack A \right\rbrack - \left\lbrack B \right\rbrack)$ es igual a

(A)$\left\lbrack A \right\rbrack^{2} + \left\lbrack B \right\rbrack^{2} - 2\left\lbrack A \right\rbrack\left\lbrack B \right\rbrack$

(B)$\left\lbrack A \right\rbrack^{2} + \left\lbrack B \right\rbrack^{2}$

(C)$\left\lbrack A \right\rbrack^{2} - \left\lbrack B \right\rbrack^{2}$

(D)$\left\lbrack A \right\rbrack^{2} + \left\lbrack B \right\rbrack^{2} - \left\lbrack A \right\rbrack\left\lbrack B \right\rbrack - \left\lbrack B \right\rbrack\left\lbrack A \right\rbrack$

Quiz 5

$\left\lbrack A \right\rbrack$Se da una matriz rectangular y$c\left\lbrack A \right\rbrack = \left\lbrack 0 \right\rbrack$, luego elegir la respuesta más adecuada.

(A)$C = 0$

(B)$C = 0$ y$\left\lbrack A \right\rbrack = \left\lbrack 0 \right\rbrack$

(C)$C = 0$ o$\left\lbrack A \right\rbrack = \left\lbrack 0 \right\rbrack$

(D)$C = 0$ y$\left\lbrack A \right\rbrack$ es una matriz distinta de cero

Quiz 6

Vendes barras de caramelo Júpiter y Fickers. Las ventas en enero son 25 y 30 de Júpiter y Fickers, respectivamente. En febrero, las ventas son 75 y 35 de Júpiter y Fickers, respectivamente. Si una barra de Júpiter cuesta $2 y una barra de Fickers cuesta $7, entonces si

\[\left\lbrack A \right\rbrack = \begin{bmatrix} 25 & 30 \\ 75 & 35 \\ \end{bmatrix}, \;\; and \nonumber \]

\[\left\lbrack B \right\rbrack = \begin{bmatrix} 2 \\ 7 \\ \end{bmatrix}, \nonumber \]

el monto total de ventas en cada mes es dado por

(A)$\left\lbrack B \right\rbrack\left\lbrack A \right\rbrack$

(B)$\left\lbrack A \right\rbrack\left\lbrack B \right\rbrack$

(C)$2\left\lbrack A \right\rbrack$

(D)$7\left\lbrack A \right\rbrack$

Ejercicio de operaciones de matriz binaria

Ejercicio 1

Para las siguientes matrices

$\lbrack A\rbrack = \begin{bmatrix} \begin{matrix} 3 \\ - 1 \\ \end{matrix} & \begin{matrix} 0 \\ 2 \\ \end{matrix} \\ 1 & 1 \\ \end{bmatrix}$,$\lbrack B\rbrack = \begin{bmatrix} 4 & - 1 \\ 0 & 2 \\ \end{bmatrix}$,$\lbrack C\rbrack = \begin{bmatrix} \begin{matrix} 5 \\ 3 \\ \end{matrix} & \begin{matrix} 2 \\ 5 \\ \end{matrix} \\ 6 & 7 \\ \end{bmatrix}$

Encuentra donde sea posible

$4\lbrack A\rbrack + 5\lbrack C\rbrack$
$\lbrack A\rbrack\lbrack B\rbrack$
$\lbrack A\rbrack = 2\lbrack C\rbrack$

Contestar

A.$= \begin{bmatrix} \begin{matrix} 37 \\ 11 \\ \end{matrix} & \begin{matrix} 10 \\ 33 \\ \end{matrix} \\ 34 & 39 \\ \end{bmatrix}$

B.$= \begin{bmatrix} 12 & - 3 \\ - 4 & 5 \\ 4 & 1 \\ \end{bmatrix}$

C.$= \begin{bmatrix} - 7 & - 4 \\ - 7 & - 8 \\ - 11 & - 13 \\ \end{bmatrix}$

Ejercicio 2

Los pedidos de comida se toman de dos departamentos de ingeniería para una comida para llevar. El orden se tabula a continuación.

Pedido de comida:

\[\begin{matrix} \text{Mechanical} \\ \text{Civil} \\ \end{matrix}\overset{\begin{matrix} \begin{matrix} \text{Chicken} \\ \text{Sandwich} \\ \end{matrix} & \text{Fries} & \text{Drink} \\ \end{matrix}}{\begin{bmatrix} 25\ \ & 35 & \ \ 25 \\ 21\ \ & 20 & \ \ 21 \\ \end{bmatrix}} \nonumber \]

Sin embargo, tienen la opción de comprar esta comida en tres restaurantes diferentes. Sus precios para los tres alimentos se tabulan a continuación

Matriz de precios:

\[\begin{matrix} \text{Chicken} \ \ \text{Sandwich} \\ \text{Fries} \\ \text{Drink} \\ \end{matrix}\overset{\begin{matrix} \text{McFat} & \text{Burcholestrol} & \begin{matrix} \text{Kentucky} \\ \text{Sodium} \\ \end{matrix} \\ \end{matrix}}{\begin{bmatrix} 2.42\ \ \ \ & 2.38 & \ \ 2.46 \\ 0.93\ \ \ \ & 0.90 & \ \ 0.89 \\ 0.95\ \ \ \ & 1.03 & \ \ 1.13 \\ \end{bmatrix}} \nonumber \]

Mostrar cuánto pagará cada departamento por su pedido en cada restaurante. ¿De qué restaurante sería más económico pedir para cada departamento?

Contestar: El costo en dólares es de 116.80, 116.75, 120.90 para el Departamento Mecánico en tres juntas de comida rápida. Por lo que Burcholestrol es el más barato para el Departamento Mecánico. El costo en dólares es de 89.37, 89.61, 93.19 para el Departamento Civil en tres porros de comida rápida. McFat es el más barato para el Departamento Civil.

Ejercicio 3

Dado

$\left\lbrack A \right\rbrack = \begin{bmatrix} 2 & 3 & 5 \\ 6 & 7 & 9 \\ 2 & 1 & 3 \\ \end{bmatrix}$

$\left\lbrack B \right\rbrack = \begin{bmatrix} 3 & 5 \\ 2 & 9 \\ 1 & 6 \\ \end{bmatrix}$

$\left\lbrack C \right\rbrack = \begin{bmatrix} 5 & 2 \\ 3 & 9 \\ 7 & 6 \\ \end{bmatrix}$

Ilustrar la ley distributiva de las operaciones de matriz binaria

$\left\lbrack A \right\rbrack\left( \left\lbrack B \right\rbrack + \left\lbrack C \right\rbrack \right) = \left\lbrack A \right\rbrack\left\lbrack B \right\rbrack + \left\lbrack A \right\rbrack\left\lbrack C \right\rbrack$

Contestar

\[\left\lbrack B \right\rbrack + \left\lbrack C \right\rbrack = \begin{bmatrix} 3 & 5 \\ 2 & 9 \\ 1 & 6 \\ \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 5 & 2 \\ 3 & 9 \\ 7 & 6 \\ \end{bmatrix} \nonumber \]

\[= \begin{bmatrix} 8 & 7 \\ 5 & 18 \\ 8 & 12 \\ \end{bmatrix} \nonumber \]

\[\left\lbrack A \right\rbrack\left( \left\lbrack B \right\rbrack + \left\lbrack C \right\rbrack \right) = \begin{bmatrix} 71 & 128 \\ 155 & 276 \\ 45 & 68 \\ \end{bmatrix} \nonumber \]

\[\left\lbrack A \right\rbrack\left\lbrack B \right\rbrack = \begin{bmatrix} 17 & 67 \\ 41 & 147 \\ 11 & 37 \\ \end{bmatrix} \nonumber \]

\[\left\lbrack A \right\rbrack\left\lbrack C \right\rbrack = \begin{bmatrix} 54 & 61 \\ 114 & 129 \\ 34 & 31 \\ \end{bmatrix} \nonumber \]

\[\left\lbrack A \right\rbrack\left\lbrack B \right\rbrack + \left\lbrack A \right\rbrack\left\lbrack C \right\rbrack = \begin{bmatrix} 71 & 128 \\ 155 & 276 \\ 45 & 68 \\ \end{bmatrix} \nonumber \]

Ejercicio 4

Dejar$\lbrack I\rbrack$ ser una matriz$n \times n$ de identidad. $\lbrack A\rbrack\lbrack\lbrack I\rbrack = \lbrack I\rbrack\lbrack A\rbrack = \lbrack A\rbrack$Demuéstralo para cada$n \times n$ matriz$\lbrack A\rbrack$.

Let$\left\lbrack C \right\rbrack_{n \times n} = \left\lbrack A \right\rbrack_{n \times n}\left\lbrack I \right\rbrack_{n \times n}$

Contestar

Pista:$c_{ij} = \sum_{p = 1}^{n}a_{ip}i_{pj}$

$= a_{i1}i_{1j} + \ldots\ldots + a_{i,j - 1}i_{j - 1,j} + a_{ij}i_{jj} + a_{i\left( j + 1 \right)}i_{\left( j + 1 \right)j} + \ldots\ldots + a_{in}i_{nj}$

Desde

$i_{ij} = 0$para$i \neq j$

$= 1$para$i = j$

$c_{ij} = a_{ij}$

Entonces$\left\lbrack A \right\rbrack = \left\lbrack A \right\rbrack\left\lbrack I \right\rbrack$

Del mismo modo hacer el otro caso

$\left\lbrack I \right\rbrack\left\lbrack A \right\rbrack = \left\lbrack A \right\rbrack$. ¡Solo hazlo!

Ejercicio 5

Considera que solo hay dos empresas de informática en un país. Las empresas se llaman Dude e Imac. Cada año, la empresa Dude se queda ^con 1/5 de sus clientes, mientras que el resto cambia a Imac. Cada año, Imac mantiene 1/3 ^rd de sus clientes, mientras que el resto cambia a Dude. Si en 2002, $1/6^th$Dude tiene del mercado e Imac tiene$5/6^th$ del mercado.

¿Cuál es la distribución de los clientes entre las dos empresas en 2003? Escribe primero la respuesta como multiplicación de dos matrices.
¿Qué sería la distribución cuando el mercado se estacione?

Contestar: A. A finales de 2002, Dude tiene$\frac{1}{5} \times \frac{1}{6} + \frac{2}{3} \times \frac{5}{6} = 0.589$.
Imac tiene$\frac{4}{5} \times \frac{1}{6} + \frac{1}{3} \times \frac{5}{6} = 0.411$
En forma de matriz$\begin{bmatrix} \frac{1}{5} & \frac{2}{3} \\ \frac{4}{5} & \frac{1}{3} \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} \frac{1}{6} \\ \frac{5}{6} \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0.589 \\ 0.411 \\ \end{bmatrix}$
B. La distribución estable es [10/22 12/22] (Trate de hacer esta parte del problema primero encontrando la distribución dentro de cinco años).

Ejercicio 6

Dado

$\lbrack A\rbrack = \begin{bmatrix} 12.3 & - 12.3 & 10.3 \\ 11.3 & - 10.3 & - 11.3 \\ 10.3 & - 11.3 & - 12.3 \\ \end{bmatrix}$,

$\lbrack B\rbrack = \begin{bmatrix} 2 & 4 \\ - 5 & 6 \\ 11 & - 20 \\ \end{bmatrix}$

$[A][B]$el tamaño de la matriz es _______________

Contestar: $3 \times 2$

Ejercicio 7

Dado

$\lbrack A\rbrack = \begin{bmatrix} 12.3 & - 12.3 & 10.3 \\ 11.3 & - 10.3 & - 11.3 \\ 10.3 & - 11.3 & - 12.3 \\ \end{bmatrix}$,

$\lbrack B\rbrack = \begin{bmatrix} 2 & 4 \\ - 5 & 6 \\ 11 & - 20 \\ \end{bmatrix}$

si$\left\lbrack C \right\rbrack = \left\lbrack A \right\rbrack\left\lbrack B \right\rbrack$, entonces$c_{31}$ = _____________________

Contestar: $(10.3 \times 2) + (( - 5) \times ( - 11.3)) + (11 \times ( - 12.3)) = - 58.2$