2: Vectores

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$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}$

Objetivos de aprendizaje

Después de leer este capítulo, deberías poder:

definir un vector
sumar y restar vectores,
encontrar combinaciones lineales de vectores y su relación con un conjunto de ecuaciones,
explicar lo que significa tener un conjunto linealmente independiente de vectores, y
encontrar el rango de un conjunto de vectores.

¿Qué es un vector?

Un vector es una colección de números en un orden definido. Si se trata de una colección de$n$ números, se le llama un vector$n$ -dimensional. Entonces, el vector$\overrightarrow{A}$ dado por

\[\overrightarrow{A} = \begin{bmatrix} \begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ \end{matrix} \\ \begin{matrix} \vdots \\ a_{n} \\ \end{matrix} \\ \end{bmatrix} \notag\]

es un vector de columna$n$ -dimensional con$n$ componentes,$a_{1},a_{2},......,a_{n}$. Lo anterior es un vector de columna. Un vector de fila$\lbrack B\rbrack$ es de la forma$\overrightarrow{B} = \lbrack b_{1},b_{2},....,b_{n}\rbrack$ donde$\overrightarrow{B}$ es un vector de fila$n$ -dimensional con$n$ componentes$b_{1},b_{2},....,b_{n}$.

Ejemplo 1

Dé un ejemplo de un vector de columna tridimensional.

Solución

Supongamos que un punto en el espacio viene dado por sus$(x,y,z)$ coordenadas. Entonces si el valor de$x = 3,\ y = 2,\ z = 5$, el vector de columna correspondiente a la ubicación de los puntos es

\[\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 \\ 2 \\ 5 \\ \end{bmatrix} \notag\]

¿Cuándo son iguales dos vectores?

Dos vectores$\overrightarrow{A}$ y$\overrightarrow{B}$ son iguales si son de la misma dimensión y si sus componentes correspondientes son iguales.

Dado

\[\overrightarrow{A} = \begin{bmatrix} a_{1} \\ a_{2} \\ \vdots \\ a_{n} \\ \end{bmatrix}\notag\]

\[\overrightarrow{B} = \begin{bmatrix} b_{1} \\ b_{2} \\ \vdots \\ b_{n} \\ \end{bmatrix}\notag\]

entonces$\overrightarrow{A} = \overrightarrow{B}$ si$a_{i} = b_{i},\ \ i = 1,2,......,n$.

Ejemplo 2

¿Cuáles son los valores de los componentes desconocidos en$\overrightarrow{B}$ si

\[\overrightarrow{A} = \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \\ 1 \\ \end{bmatrix}\notag\]

\[\overrightarrow{B} = \begin{bmatrix} b_{1} \\ 3 \\ 4 \\ b_{4} \\ \end{bmatrix}\notag\]

y$\overrightarrow{A} = \overrightarrow{B}$.

Solución

\[b_{1} = 2,b_{4} = 1\notag\]

¿Cómo se agregan dos vectores?

Se pueden agregar dos vectores solo si son de la misma dimensión y la suma viene dada por

\[\begin{split} \lbrack A\rbrack + \lbrack B\rbrack &= \begin{bmatrix} a_{1} \\ a_{2} \\ \vdots \\ a_{n} \\ \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} b_{1} \\ b_{2} \\ \vdots \\ b_{n} \\ \end{bmatrix}\\ &= \begin{bmatrix} a_{1} + b_{1} \\ a_{2} + b_{2} \\ \vdots \\ a_{n} + b_{n} \\ \end{bmatrix} \end{split}\notag\]

Ejemplo 3

Agregar los dos vectores

\[\overrightarrow{A} = \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \\ 1 \\ \end{bmatrix}\notag\]

\[\overrightarrow{B} = \begin{bmatrix} 5 \\ - 2 \\ 3 \\ 7 \\ \end{bmatrix}\notag\]

Solución

\[\begin{split} \overrightarrow{A} + \overrightarrow{B} &= \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \\ 1 \\ \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 5 \\ - 2 \\ 3 \\ 7 \\ \end{bmatrix}\\ &= \begin{bmatrix} 2 + 5 \\ 3 - 2 \\ 4 + 3 \\ 1 + 7 \\ \end{bmatrix}\\ &= \begin{bmatrix} 7 \\ 1 \\ 7 \\ 8 \\ \end{bmatrix} \end{split}\notag\]

Ejemplo 4

Una tienda vende tres marcas de llantas: Tirestone, Michigan y Copper. En el trimestre 1, las ventas están dadas por el vector de columna

\[{\overrightarrow{A}}_{1} = \begin{bmatrix} 25 \\ 5 \\ 6 \\ \end{bmatrix}\notag\]

donde las filas representan las tres marcas de llantas vendidas: Tirestone, Michigan y Copper respectivamente. En el segundo trimestre, las ventas son dadas por

\[{\overrightarrow{A}}_{2} = \begin{bmatrix} 20 \\ 10 \\ 6 \\ \end{bmatrix}\notag\]

¿Cuál es la venta total de cada marca de llanta en el primer semestre del año?

Solución

El total de ventas estaría dado por

\[\begin{split} \overrightarrow{C} &= {\overrightarrow{A}}_{1} + {\overrightarrow{A}}_{2}\\ &= \begin{bmatrix} 25 \\ 5 \\ 6 \\ \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 20 \\ 10 \\ 6 \\ \end{bmatrix}\\ &= \begin{bmatrix} 25 + 20 \\ 5 + 10 \\ 6 + 6 \\ \end{bmatrix}\\ &= \begin{bmatrix} 45 \\ 15 \\ 12 \\ \end{bmatrix} \end{split}\notag\]

Entonces, el número de llantas Tirestone vendidas es 45, Michigan es 15 y el Cobre es 12 en la primera mitad del año.

¿Qué es un vector nulo?

Un vector nulo (también llamado vector cero) es donde todos los componentes del vector son cero.

Ejemplo 5

Dar un ejemplo de un vector nulo o vector cero.

Solución

El vector

\[\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ \end{bmatrix}\notag\]

es un ejemplo de un vector cero o nulo.

¿Qué es un vector unitario?

Un vector unitario$\overrightarrow{U}$ se define como

\[\overrightarrow{U} = \begin{bmatrix} u_{1} \\ u_{2} \\ \vdots \\ u_{n} \\ \end{bmatrix}\notag\]

donde

\[\sqrt{u_{1}^{2} + u_{2}^{2} + u_{3}^{2} + \ldots + u_{n}^{2}} = 1\notag\]

Ejemplo 6

Dar ejemplos de vectores de columnas unitarias tridimensionales.

Solución

Los ejemplos incluyen

\[\begin{bmatrix} \frac{1}{\sqrt{3}} \\ \frac{1}{\sqrt{3}} \\ \frac{1}{\sqrt{3}} \\ \end{bmatrix},\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ \end{bmatrix},\begin{bmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} \\ 0 \\ \end{bmatrix},\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ \end{bmatrix},\ \text{etc}.\notag\]

¿Cómo multiplicas un vector por un escalar?

Si$k$ es un escalar y$\overrightarrow{A}$ es un vector$n$ -dimensional, entonces

\[\begin{split} k\overrightarrow{A} &= k\begin{bmatrix} a_{1} \\ a_{2} \\ \vdots \\ a_{n} \\ \end{bmatrix}\\ &= \begin{bmatrix} ka_{1} \\ ka_{2} \\ \vdots \\ ka_{n} \\ \end{bmatrix} \end{split}\notag\]

Ejemplo 7

Qué es$2\overrightarrow{A}$ si

\[\overrightarrow{A} = \begin{bmatrix} 25 \\ 20 \\ 5 \\ \end{bmatrix}\notag\]

Solución

\[\begin{split} 2\overrightarrow{A} &= 2\begin{bmatrix} 25 \\ 20 \\ 5 \\ \end{bmatrix}\\ &= \begin{bmatrix} 2 \times 25 \\ 2 \times 20 \\ 2 \times 5 \\ \end{bmatrix}\\ &= \begin{bmatrix} 50 \\ 40 \\ 10 \\ \end{bmatrix} \end{split}\notag\]

Ejemplo 8

Una tienda vende tres marcas de llantas: Tirestone, Michigan y Copper. En el trimestre 1, las ventas están dadas por el vector de columna

\[\overrightarrow{A} = \begin{bmatrix} 25 \\ 25 \\ 6 \\ \end{bmatrix}\notag\]

Si el objetivo es incrementar las ventas de todas las llantas en al menos un 25% en el próximo trimestre, ¿cuántas de cada marca deben venderse?

Solución

Dado que el objetivo es incrementar las ventas en un 25%, se multiplicaría el$\overrightarrow{A}$ vector por 1.25,

\[\begin{split} \overrightarrow{B} &= 1.25\begin{bmatrix} 25 \\ 25 \\ 6 \\ \end{bmatrix}\\ &= \begin{bmatrix} 31.25 \\ 31.25 \\ 7.5 \\ \end{bmatrix} \end{split}\notag\]

Dado que el número de llantas debe ser un número entero, podemos decir que el objetivo de las ventas es

\[\overrightarrow{B} = \begin{bmatrix} 32 \\ 32 \\ 8 \\ \end{bmatrix}\notag\]

¿Qué quiere decir con una combinación lineal de vectores?

Dado

\[{\overrightarrow{A}}_{1},{\overrightarrow{A}}_{2},......,{\overrightarrow{A}}_{m}\notag\]

como$m$ vectores de la misma dimensión$n$, y si$k_{1},k_{2},...,k_{m}$ son escalares, entonces

\[k_{1}{\overrightarrow{A}}_{1} + k_{2}{\overrightarrow{A}}_{2} + ....... + k_{m}{\overrightarrow{A}}_{m}\notag\]

es una combinación lineal de los$m$ vectores.

Ejemplo 9

Encuentra las combinaciones lineales

(a)$\ \overrightarrow{A} - \overrightarrow{B}\ \text{and}$

b)$\ \overrightarrow{A} + \overrightarrow{B} - 3\overrightarrow{C}$

donde

\[\overrightarrow{A} = \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \\ 6 \\ \end{bmatrix},\overrightarrow{B} = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \\ \end{bmatrix},\overrightarrow{C} = \begin{bmatrix} 10 \\ 1 \\ 2 \\ \end{bmatrix}\notag\]

Solución

(a)\ begin {split}\\ overrightarrow {A} -\ overrightarrow {B} &=\ begin {bmatrix} 2\\ 3\\ 6\\ end {bmatrix} -\ begin {bmatrix} 1\\ 1\ 2\\ end {bmatrix}\\ &=\ begin {bmatrix} 2 - 1\\ 3 - 1\\ 6 - 2\\\ end {bmatrix}\\ &=\ begin {bmatrix} 1\\ 2\\ 4\\ end {bmatrix}\ end {bmatrix}\ end {split}

(b)\ begin {split}\\ overrightarrow {A} +\ overrightarrow {B} - 3\ overrightarrow {C} &=\ begin {bmatrix} 2\\ 3\\ 6\\ end {bmatrix} +\ begin {bmatrix} 1\\ 1\ 2\\ end {bmatrix} - 3\ begin {bmatrix} 10\\ 1\\ 2\\\ end {bmatrix}\\ &=\ begin {bmatrix} 2 + 1 - 30\\ 3 + 1 - 3\\ 6 + 2 - 6\\ end {bmatrix}\\ & ; =\ begin {bmatrix} - 27\\ 1\\ 2\\ end {bmatrix}\ end {split}

¿Qué quiere decir con vectores que son linealmente independientes?

Se considera${\overrightarrow{A}}_{1},{\overrightarrow{A}}_{2},\ldots,{\overrightarrow{A}}_{m}$ que un conjunto de vectores es linealmente independiente si

\[k_{1}{\overrightarrow{A}}_{1} + k_{2}{\overrightarrow{A}}_{2} + ....... + k_{m}{\overrightarrow{A}}_{m} = \overrightarrow{0}\notag\]

tiene solo una solución de

\[k_{1} = k_{2} = ...... = k_{m} = 0\notag\]

Ejemplo 10

Son los tres vectores

\[{\overrightarrow{A}}_{1} = \begin{bmatrix} 25 \\ 64 \\ 144 \\ \end{bmatrix},\ \ {\overrightarrow{A}}_{2} = \begin{bmatrix} 5 \\ 8 \\ 12 \\ \end{bmatrix},\ \ {\overrightarrow{A}}_{3} = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ \end{bmatrix}\notag\]

linealmente independiente?

Solución

Escribir la combinación lineal de los tres vectores

\[k_{1}\begin{bmatrix} 25 \\ 64 \\ 144 \\ \end{bmatrix} + k_{2}\begin{bmatrix} 5 \\ 8 \\ 12 \\ \end{bmatrix} + k_{3}\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ \end{bmatrix}\notag\]

\[\begin{bmatrix} 25k_{1} + 5k_{2} + k_{3} \\ 64k_{1} + 8k_{2} + k_{3} \\ 144k_{1} + 12k_{2} + k_{3} \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ \end{bmatrix}\notag\]

Las ecuaciones anteriores tienen una sola solución,$k_{1} = k_{2} = k_{3} = 0$. No obstante, ¿cómo demostramos que esta es la única solución? Esto se muestra a continuación.

Las ecuaciones anteriores son

\[25k_{1} + 5k_{2} + k_{3} = 0 \;\;\;\;\;\;\;(1)\notag\]

\[64k_{1} + 8k_{2} + k_{3} = 0 \;\;\;\;\;\;\;(2)\notag\]

\[144k_{1} + 12k_{2} + k_{3} = 0 \;\;\;\;\;\;\;(3)\notag\]

Restar Eqn (1) de Eqn (2) da

\[39k_{1} + 3k_{2} = 0\notag\]

\[k_{2} = - 13k_{1} \;\;\;\;\;\;\;(4)\notag\]

Multiplicar Eqn (1) por 8 y restarlo de Eqn (2) que primero se multiplica por 5 da

\[120k_{1} - 3k_{3} = 0\notag\]

\[k_{3} = 40k_{1} \;\;\;\;\;\;\;(5)\notag\]

Recuerde que encontramos Eqn (4) y Eqn (5) solo de Eqns (1) y (2).

Sustitución de Eqns (4) y (5) en Eqn (3) por$k_{1}$ y$k_{2}$ da

\[144k_{1} + 12( - 13k_{1}) + 40k_{1} = 0\notag\]

\[28k_{1} = 0\notag\]

\[k_{1} = 0\notag\]

Esto significa que$k_{1}$ tiene que ser cero, y acoplado con (4) y (5),$k_{2}$ y también$k_{3}$ son cero. Entonces la única solución es$k_{1} = k_{2} = k_{3} = 0$. Por lo tanto, los tres vectores son linealmente independientes.

Ejemplo 11

Son los tres vectores

\[{\overrightarrow{A}}_{1} = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 5 \\ \end{bmatrix},\ {\overrightarrow{A}}_{2} = \begin{bmatrix} 2 \\ 5 \\ 7 \\ \end{bmatrix},\ {\overrightarrow{A}}_{3} = \begin{bmatrix} 6 \\ 14 \\ 24 \\ \end{bmatrix}\notag\]

linealmente independiente?

Solución

Por inspección,

\[{\overrightarrow{A}}_{3} = 2{\overrightarrow{A}}_{1} + 2{\overrightarrow{A}}_{2}\notag\]

\[- 2{\overrightarrow{A}}_{1} - 2{\overrightarrow{A}}_{2} + {\overrightarrow{A}}_{3} = \overrightarrow{0}\notag\]

Así que la combinación lineal

\[k_{1}{\overrightarrow{A}}_{1} + k_{2}{\overrightarrow{A}}_{2} + k_{3}{\overrightarrow{A}}_{3} = \overrightarrow{0}\notag\]

tiene una solución que no es cero

\[k_{1} = - 2,\ k_{2} = - 2,\ k_{3} = 1\notag\]

Por lo tanto, el conjunto de vectores es linealmente dependiente.

¿Y si no puedo probar por inspección, qué hago? Poner la combinación lineal de tres vectores igual al vector cero,

\[k_{1}\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 5 \\ \end{bmatrix} + k_{2}\begin{bmatrix} 2 \\ 5 \\ 7 \\ \end{bmatrix} + k_{3}\begin{bmatrix} 6 \\ 14 \\ 24 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ \end{bmatrix}\notag\]

para dar

\[k_{1} + 2k_{2} + 6k_{3} = 0 \;\;\;\;\;\;\;(1)\notag\]

\[2k_{1} + 5k_{2} + 14k_{3} = 0 \;\;\;\;\;\;\;(2)\notag\]

\[5k_{1} + 7k_{2} + 24k_{3} = 0 \;\;\;\;\;\;\;(3)\notag\]

Multiplicar Eqn (1) por 2 y restar de Eqn (2) da

\[k_{2} + 2k_{3} = 0\notag\]

\[k_{2} = - 2k_{3} \;\;\;\;\;\;\;(4)\notag\]

Multiplicar Eqn (1) por 2.5 y restar de Eqn (2) da

\[- 0.5k_{1} - k_{3} = 0\notag\]

\[k_{1} = - 2k_{3} \;\;\;\;\;\;\;(5)\notag\]

Recuerde que encontramos Eqn (4) y Eqn (5) solo de Eqns (1) y (2).

Sustituir Eqn (4) y (5) en Eqn (3) por$k_{1}$ y$k_{2}$ da

\[5\left( - 2k_{3} \right) + 7\left( - 2k_{3} \right) + 24k_{3} = 0\notag\]

\[- 10k_{3} - 14k_{3} + 24k_{3} = 0\notag\]

\[0 = 0\notag\]

Esto significa que cualquier valor que satisfaga las Eqns (4) y (5) satisfará las Eqns (1), (2) y (3) simultáneamente.

Por ejemplo, eligió

$k_{3} = 6$, luego

$k_{2} = - 12$de la Eqn (4), y

$k_{1} = - 12$de Eqn (5).

De ahí que tengamos una solución no trivial de$\begin{bmatrix} k_{1} & k_{2} & k_{3} \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} - 12 & - 12 & 6 \\ \end{bmatrix}$. Esto implica que los tres vectores dados son linealmente dependientes. ¿Puedes encontrar otra solución no trivial?

¿Y los siguientes tres vectores?

\[\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 5 \\ \end{bmatrix},\begin{bmatrix} 2 \\ 5 \\ 7 \\ \end{bmatrix},\begin{bmatrix} 6 \\ 14 \\ 25 \\ \end{bmatrix}\notag\]

¿Son linealmente dependientes o linealmente independientes?

Obsérvese que la única diferencia entre este conjunto de vectores y el anterior es la tercera entrada en el tercer vector. De ahí que las ecuaciones (4) y (5) sigan siendo válidas. ¿Qué conclusión sacas cuando conectas las ecuaciones (4) y (5) en la tercera ecuación:$5k_{1} + 7k_{2} + 25k_{3} = 0$? ¿Qué ha cambiado?

Ejemplo 12

Son los tres vectores

\[{\overrightarrow{A}}_{1} = \begin{bmatrix} 25 \\ 64 \\ 89 \\ \end{bmatrix},\ {\overrightarrow{A}}_{2} = \begin{bmatrix} 5 \\ 8 \\ 13 \\ \end{bmatrix},\ {\overrightarrow{A}}_{3} = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \\ \end{bmatrix}\notag\]

linealmente independiente?

Solución

Escribir la combinación lineal de los tres vectores e igualar al vector cero

\[k_{1}\begin{bmatrix} 25 \\ 64 \\ 89 \\ \end{bmatrix} + k_{2}\begin{bmatrix} 5 \\ 8 \\ 13 \\ \end{bmatrix} + k_{3}\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ \end{bmatrix}\notag\]

\[\begin{bmatrix} 25k_{1} + 5k_{2} + k_{3} \\ 64k_{1} + 8k_{2} + k_{3} \\ 89k_{1} + 13k_{2} + 2k_{3} \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ \end{bmatrix}\notag\]

Además de$k_{1} = k_{2} = k_{3} = 0$, se pueden encontrar otras soluciones para las cuales no$k_{1},\ k_{2},\ k_{3}$ son iguales a cero. Por ejemplo, también$k_{1} = 1,\ k_{2} = - 13,\ k_{3} = 40$ es una solución como

\[1\begin{bmatrix} 25 \\ 64 \\ 89 \\ \end{bmatrix} - 13\begin{bmatrix} 5 \\ 8 \\ 13 \\ \end{bmatrix} + 40\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ \end{bmatrix}\notag\]

De ahí${\overrightarrow{A}}_{1},\ \ {\overrightarrow{A}}_{2},\ \ {\overrightarrow{A}}_{3}$ que sean linealmente dependientes.

¿Qué quiere decir con el rango de un conjunto de vectores?

A partir de un conjunto de vectores$n$ -dimensionales, el número máximo de vectores linealmente independientes en el conjunto se denomina rango del conjunto de vectores. Tenga en cuenta que el rango de los vectores nunca puede ser mayor que la dimensión de vectores.

Ejemplo 13

Cuál es el rango de

\[{\overrightarrow{A}}_{1} = \begin{bmatrix} 25 \\ 64 \\ 144 \\ \end{bmatrix},\ {\overrightarrow{A}}_{2} = \begin{bmatrix} 5 \\ 8 \\ 12 \\ \end{bmatrix},\ {\overrightarrow{A}}_{3} = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ \end{bmatrix}?\notag\]

Solución

Dado que encontramos en el Ejemplo 2.10 que${\overrightarrow{A}}_{1},\ {\overrightarrow{A}}_{2},\ {\overrightarrow{A}}_{3}$ son linealmente independientes, el rango del conjunto de vectores${\overrightarrow{A}}_{1},\ {\overrightarrow{A}}_{2},\ {\overrightarrow{A}}_{3}$ es 3. Si nos dieran otro vector${\overrightarrow{A}}_{4}$, el rango del conjunto de los vectores${\overrightarrow{A}}_{1},\ {\overrightarrow{A}}_{2},\ {\overrightarrow{A}}_{3},{\overrightarrow{A}}_{4}$ seguiría siendo 3 ya que el rango de un conjunto de vectores siempre es menor o igual a la dimensión de los vectores y que al menos${\overrightarrow{A}}_{1},\ {\overrightarrow{A}}_{2},\ {\overrightarrow{A}}_{3}$ son linealmente independientes.

Ejemplo 14

Cuál es el rango de

Solución

En el Ejemplo 2.12, encontramos que${\overrightarrow{A}}_{1},\ {\overrightarrow{A}}_{2},\ {\overrightarrow{A}}_{3}$ son linealmente dependientes, el rango de por lo tanto no${\overrightarrow{A}}_{1},\ {\overrightarrow{A}}_{2},\ {\overrightarrow{A}}_{3}$ es 3, y es menor que 3. ¿Es 2? Escojamos dos de los tres vectores

\[{\overrightarrow{A}}_{1} = \begin{bmatrix} 25 \\ 64 \\ 89 \\ \end{bmatrix},\ {\overrightarrow{A}}_{2} = \begin{bmatrix} 5 \\ 8 \\ 13 \\ \end{bmatrix}\notag\]

La combinación lineal de${\overrightarrow{A}}_{1}$ e${\overrightarrow{A}}_{2}$ igual a cero tiene solo una solución: la solución trivial. Por lo tanto, el rango es 2.

Ejemplo 15

Cuál es el rango de

\[{\overrightarrow{A}}_{1} = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \\ \end{bmatrix},\ {\overrightarrow{A}}_{2} = \begin{bmatrix} 2 \\ 2 \\ 4 \\ \end{bmatrix},\ {\overrightarrow{A}}_{3} = \begin{bmatrix} 3 \\ 3 \\ 5 \\ \end{bmatrix}?\notag\]

Solución

De la inspección,

\[{\overrightarrow{A}}_{2} = 2{\overrightarrow{A}}_{1},\notag\]

eso implica

\[2{\overrightarrow{A}}_{1} - {\overrightarrow{A}}_{2} + 0{\overrightarrow{A}}_{3} = \overrightarrow{0}\notag\]

De ahí

\[k_{1}{\overrightarrow{A}}_{1} + k_{2}{\overrightarrow{A}}_{2} + k_{3}{\overrightarrow{A}}_{3} = \overrightarrow{0}\notag\]

tiene una solución no trivial.

Entonces${\overrightarrow{A}}_{1},\ \ {\overrightarrow{A}}_{2},\ \ {\overrightarrow{A}}_{3}$ son linealmente dependientes, y de ahí que el rango de los tres vectores no sea 3. Desde

\[{\overrightarrow{A}}_{2} = 2{\overrightarrow{A}}_{1},\notag\]

${\overrightarrow{A}}_{1}\text{ and }{\overrightarrow{A}}_{2}$son linealmente dependientes, pero

\[k_{1}{\overrightarrow{A}}_{1} + k_{3}{\overrightarrow{A}}_{3} = \overrightarrow{0}.\notag\]

tiene solución trivial como única solución. Entonces${\overrightarrow{A}}_{1}$ y${\overrightarrow{A}}_{3}$ son linealmente independientes. El rango de los tres vectores anteriores es 2.

Demostrar que si un conjunto de vectores contiene el vector nulo, el conjunto de vectores es linealmente dependiente.

Dejado${\overrightarrow{A}}_{1},{\overrightarrow{A}}_{2},.........,{\overrightarrow{A}}_{m}$ ser un conjunto de vectores$n$ -dimensionales, entonces

\[k_{1}{\overrightarrow{A}}_{1} + k_{2}{\overrightarrow{A}}_{2} + \ \ldots\ + k_{m}{\overrightarrow{A}}_{m} = \overrightarrow{0}\notag\]

es una combinación lineal de los m vectores. Entonces suponiendo que si${\overrightarrow{A}}_{1}$ es el vector cero o nulo, cualquier valor de$k_{1}$ acoplado con$k_{2} = k_{3} = \ ..\ .\ = k_{m} = 0$ satisfará la ecuación anterior. Por lo tanto, el conjunto de vectores es linealmente dependiente ya que existe más de una solución.

Demostrar que si un conjunto de m vectores es linealmente independiente, entonces un subconjunto de los m vectores también tiene que ser linealmente independiente.

Deje que este subconjunto de vectores sea

\[{\overrightarrow{A}}_{a1},{\overrightarrow{A}}_{a2},\ldots,{\overrightarrow{A}}_{\text{ap}}\notag\]

donde$p < m$.

Entonces, si este subconjunto de vectores es linealmente dependiente, la combinación lineal

\[k_{1}{\overrightarrow{A}}_{a1} + k_{2}{\overrightarrow{A}}_{a2} + \ldots + k_{p}{\overrightarrow{A}}_{\text{ap}} = \overrightarrow{0}\notag\]

tiene una solución no trivial.

Entonces

\[k_{1}{\overrightarrow{A}}_{a1} + k_{2}{\overrightarrow{A}}_{a2} + \ldots + k_{p}{\overrightarrow{A}}_{\text{ap}} + 0{\overrightarrow{A}}_{a(p + 1)} + ....... + 0{\overrightarrow{A}}_{\text{am}} = \overrightarrow{0}\notag\]

también tiene una solución no trivial también, donde${\overrightarrow{A}}_{a\left( p + 1 \right)},\ldots,{\overrightarrow{A}}_{\text{am}}$ están el resto de los$(m - p)$ vectores. No obstante, esto es una contradicción. Por lo tanto, un subconjunto de vectores linealmente independientes no puede ser linealmente dependiente.

Demostrar que si un conjunto de vectores es linealmente dependiente, entonces al menos un vector puede escribirse como una combinación lineal de otros.

Let${\overrightarrow{A}}_{1},{\overrightarrow{A}}_{2},\ldots,{\overrightarrow{A}}_{m}$ ser linealmente dependiente conjunto de vectores, entonces existe un conjunto de escalares

$k_{1},\ldots,k_{m}$no todos son cero para la ecuación de combinación lineal

\[k_{1}{\overrightarrow{A}}_{1} + k_{2}{\overrightarrow{A}}_{2} + \ldots + k_{m}{\overrightarrow{A}}_{m} = \overrightarrow{0}.\notag\]

$k_{p}$Sea uno de los valores distintos de cero de$k_{i},\ i = 1,\ldots,m$, es decir$k_{p} \neq 0$, entonces

\[A_{p} = - \frac{k_{2}}{k_{p}}{\overrightarrow{A}}_{2} - \ \ldots\ - \frac{k_{p - 1}}{k_{p}}{\overrightarrow{A}}_{p - 1} - \frac{k_{p + 1}}{k_{p}}{\overrightarrow{A}}_{p + 1} - \ \ldots\ - \frac{k_{m}}{k_{p}}{\overrightarrow{A}}_{m}\notag\]

y eso prueba el teorema.

Demostrar que si la dimensión de un conjunto de vectores es menor que el número de vectores en el conjunto, entonces el conjunto de vectores es linealmente dependiente.

¿Puedes probarlo?

¿Cómo se pueden usar los vectores para escribir ecuaciones lineales simultáneas?

Si un conjunto de ecuaciones lineales$m$ simultáneas con$n$ incógnitas se escribe como

\[a_{11}x_{1} + \ \ldots\ + a_{1n}x_{n} = c_{1}\notag\]

\[a_{21}x_{1} + \ \ldots\ + a_{2n}x_{n} = c_{2}\notag\]

\[\begin{matrix} \vdots & & & \vdots \\ \vdots & & & \vdots \\ \end{matrix}\notag\]

\[a_{m1}x_{1} + \ \ldots\ + a_{\text{mn}}x_{n} = c_{n}\notag\]

donde

$x_{1},x_{2},\ldots,x_{n}$son las incógnitas, luego en la notación vectorial se pueden escribir como

\[x_{1}{\overrightarrow{A}}_{1} + x_{2}{\overrightarrow{A}}_{2} + \ldots + x_{n}{\overrightarrow{A}}_{n} = \overrightarrow{C}\notag\]

donde

\[{\overrightarrow{A}}_{1} = \begin{bmatrix} a_{11} \\ \vdots \\ a_{m1} \\ \end{bmatrix}\notag\]

donde

\[{\overrightarrow{A}}_{1} = \begin{bmatrix} a_{11} \\ \vdots \\ a_{m1} \\ \end{bmatrix}\notag\]

\[{\overrightarrow{A}}_{2} = \begin{bmatrix} a_{12} \\ \vdots \\ a_{m2} \\ \end{bmatrix}\notag\]

\[{\overrightarrow{A}}_{n} = \begin{bmatrix} a_{1n} \\ \vdots \\ a_{\text{mn}} \\ \end{bmatrix}\notag\]

\[{\overrightarrow{C}}_{1} = \begin{bmatrix} c_{1} \\ \vdots \\ c_{m} \\ \end{bmatrix}\notag\]

El problema ahora se convierte en si puedes encontrar los escalares de$x_{1},x_{2},.....,x_{n}$ tal manera que la combinación lineal

\[x_{1}{\overrightarrow{A}}_{1} + .......... + x_{n}{\overrightarrow{A}}_{n}\notag\]

es igual a la$\overrightarrow{C}$, es decir

\[x_{1}{\overrightarrow{A}}_{1} + .......... + x_{n}{\overrightarrow{A}}_{n} = \overrightarrow{C}\notag\]

Ejemplo 16

Escribir

\[25x_{1} + 5x_{2} + x_{3} = 106.8\notag\]

\[64x_{1} + 8x_{2} + x_{3} = 177.2\notag\]

\[144x_{1} + 12x_{2} + x_{3} = 279.2\notag\]

como una combinación lineal de conjunto de vectores igual a otro vector.

Solución

\[\begin{bmatrix} 25x_{1} & + 5x_{2} & + x_{3} \\ 64x_{1} & + 8x_{2} & + x_{3} \\ 144x_{1} & + 12x_{2} & + x_{3} \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 106.8 \\ 177.2 \\ 279.2 \\ \end{bmatrix}\notag\]

\[x_{1}\begin{bmatrix} 25 \\ 64 \\ 144 \\ \end{bmatrix} + x_{2}\begin{bmatrix} 5 \\ 8 \\ 12 \\ \end{bmatrix} + x_{3}\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 106.8 \\ 177.2 \\ 279.2 \\ \end{bmatrix}\notag\]

¿Cuál es la definición del producto punto de dos vectores?

Let$\overrightarrow{A} = \left\lbrack a_{1},a_{2},\ldots,a_{n} \right\rbrack$ y$\overrightarrow{B} = \left\lbrack b_{1},b_{2},\ldots,b_{n} \right\rbrack$ ser dos vectores n-dimensionales. Luego el producto de punto de los dos vectores$\overrightarrow{A}$ y$\overrightarrow{B}$ se define como

\[\overrightarrow{A} \cdot \overrightarrow{B} = a_{1}b_{1} + a_{2}b_{2} + \ldots + a_{n}b_{n} = \sum_{i = 1}^{n}{a_{i}b_{i}}\notag\]

Un producto de punto también se llama producto interno.

Ejemplo 17

Encuentra el producto punto de los dos vectores$\overrightarrow{A}$ =$[4, 1, 2, 3]$ y$\overrightarrow{B}$ =$[3, 1, 7, 2].$

Solución

\[\begin{split} \overrightarrow{A} \cdot \overrightarrow{B} &= \lbrack 4,1,2,3\rbrack\ .\ \lbrack 3,1,7,2\rbrack\\ &= \left( 4 \right)\left( 3 \right) + \left( 1 \right)\left( 1 \right) + \left( 2 \right)\left( 7 \right) + \left( 3 \right)\left( 2 \right)\\ &= 33 \end{split}\notag\]

Ejemplo 18

Una línea de productos necesita tres tipos de caucho como se indica en la tabla a continuación.

200

250

310

20.23

30.56

29.12

Usa la definición de un producto punto para encontrar el precio total de la goma necesaria.

Solución

El vector de peso viene dado por

\[\overrightarrow{W} = \lbrack 200,250,310\rbrack\notag\]

y el vector de costo viene dado por

\[\overrightarrow{C} = \lbrack 20.23,30.56,29.12\rbrack\notag\]

El costo total de la goma sería el punto producto de$\overrightarrow{W}$ y$\overrightarrow{C}$.

\[\begin{split} \overrightarrow{W} \cdot \overrightarrow{C} &= \lbrack 200,250,310\rbrack \cdot \lbrack 20.23,30.56,29.12\rbrack\\ &= (200)(20.23) + (250)(30.56) + (310)(29.12)\\ &= 4046 + 7640 + 9027.2\\ &= \text{\$} 20713.20 \end{split}\notag\]

Cuestionario de vectores

Quiz 1

Un conjunto de ecuaciones

\[4x_{1} + 7x_{2} + 11x_{3} = 13\notag\]

\[17x_{1} + 39x_{2} + 23x_{3} = 31\notag\]

\[13x_{1} + 67x_{2} + 59x_{3} = 37\notag\]

también se puede escribir como

(A)$x_{1}\begin{bmatrix} 4 \\ 17 \\ 13 \\ \end{bmatrix} + x_{2}\begin{bmatrix} 7 \\ 39 \\ 23 \\ \end{bmatrix} + x_{3}\begin{bmatrix} 11 \\ 23 \\ 59 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 13 \\ 31 \\ 37 \\ \end{bmatrix}$

(B)$4\begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ \end{bmatrix} + 39\begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ \end{bmatrix} + 59\begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 13 \\ 31 \\ 37 \\ \end{bmatrix}$

(C)$x_{1}\begin{bmatrix} 4 \\ 7 \\ 11 \\ \end{bmatrix} + x_{2}\begin{bmatrix} 17 \\ 39 \\ 23 \\ \end{bmatrix} + x_{3}\begin{bmatrix} 13 \\ 67 \\ 59 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 13 \\ 31 \\ 37 \\ \end{bmatrix}$

(D)$x_{1}\begin{bmatrix} 13 \\ 17 \\ 4 \\ \end{bmatrix} + x_{2}\begin{bmatrix} 67 \\ 39 \\ 7 \\ \end{bmatrix} + x_{3}\begin{bmatrix} 59 \\ 23 \\ 11 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 57 \\ 13 \\ 31 \\ \end{bmatrix}$

Quiz 2

La magnitud del vector,$V = (5, - 3,2)$ es

(A)$4$

(B)$10$

(C)$\sqrt{38}$

(D)$\sqrt{20}$

Quiz 3

El rango del vector

\[\overset{\rightarrow}{A}\begin{bmatrix} 2 \\ 3 \\ 7 \\ \end{bmatrix},\begin{bmatrix} 6 \\ 9 \\ 21 \\ \end{bmatrix},\begin{bmatrix} 3 \\ 2 \\ 7 \\ \end{bmatrix}\notag\]

(A)$1$

(B)$2$

(C)$3$

(D)$4$

Quiz 4

Si$\overrightarrow{A} = (5,2,3)$ y$\overrightarrow{B} = (6, - 7,3)$, entonces$4\overrightarrow{A} + 5\overrightarrow{B}$ es

(A)$(50, - 5,6)$

(B)$(50, - 27,27)$

(C)$(11, - 5,6)$

(D)$(20,8,12)$

Quiz 5

El producto de punto de dos vectores$\overset{\rightarrow}{A}$ y$\overset{\rightarrow}{B}$

\[\overset{\rightarrow}{A} = 3i + 5j + 7k\notag\]

\[\overset{\rightarrow}{B} = 11i + 13j + 17k\notag\]

casi es

(A)$14.80$

(B)$33.00$

(C)$56.00$

(D)$217.0$

Quiz 6

El ángulo en grados entre dos vectores$\overrightarrow{u}$ y$\overrightarrow{v}$

\[\overset{\rightarrow}{u} = 3i + 5j + 7k\notag\]

\[\overset{\rightarrow}{v} = 11i + 13j + 17k\notag\]

casi es

(A)$8.124$

(B)$11.47$

(C)$78.52$

(D)$81.88$

Vectores Ejercicio

Ejercicio 1

Para

$\overrightarrow{A} = \begin{bmatrix} 2 \\ 9 \\ - 7 \\ \end{bmatrix},\overrightarrow{B} = \begin{bmatrix} 3 \\ 2 \\ 5 \\ \end{bmatrix},\overrightarrow{C} = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ \end{bmatrix}$

encontrar$\overrightarrow{A} + \overrightarrow{B}$ y$2\overrightarrow{A} - 3\overrightarrow{B} + \overrightarrow{C}$.

Responder: $\begin{bmatrix} 5 \\ 11 \\ - 2 \\ \end{bmatrix}$;$\begin{bmatrix} - 4 \\ 13 \\ - 28 \\ \end{bmatrix}$

Ejercicio 2

Son

$\overrightarrow{A} = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ \end{bmatrix},\overrightarrow{B} = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 5 \\ \end{bmatrix},\overrightarrow{C} = \begin{bmatrix} 1 \\ 4 \\ 25 \\ \end{bmatrix}$

linealmente independiente?.

¿Cuál es el rango del conjunto de vectores anterior?

Responder: $3$

Ejercicio 3

Agrega texto de ejercicios aquí.

Son

linealmente independiente?.

¿Cuál es el rango del conjunto de vectores anterior?

Responder: 3

Ejercicio 4

Son

$\overrightarrow{A} = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 5 \\ \end{bmatrix},\overrightarrow{B} = \begin{bmatrix} 2 \\ 4 \\ 10 \\ \end{bmatrix},\overrightarrow{C} = \begin{bmatrix} 1.1 \\ 2.2 \\ 5.5 \\ \end{bmatrix}$

linealmente independiente?

¿Cuál es el rango del conjunto de vectores anterior?

Responder: No; 1

Ejercicio 5

Si un conjunto de vectores contiene el vector nulo, el conjunto de vectores es linealmente

Independiente
¿Dependiente?

Responder: B

Ejercicio 6

Si un conjunto de vectores es linealmente independiente, un subconjunto de los vectores es linealmente

Independiente.
Dependiente.

Responder: A

Ejercicio 7

Si un conjunto de vectores es linealmente dependiente, entonces

Al menos un vector puede escribirse como una combinación lineal de otros.
Al menos un vector es un vector nulo.

Responder: A

Ejercicio 8

Si la dimensión de un conjunto de vectores es menor que el número de vectores en el conjunto, entonces el conjunto de vectores es linealmente

Dependiente.
Independiente.

Responder: A

Ejercicio 9

Encuentra el producto punto de$\overrightarrow{A} = (2,1,2.5,3)$ y$\overrightarrow{B} = ( - 3,2,1,2.5)$

Responder: $6$

Ejercicio 10

Si$\overrightarrow{u},\overrightarrow{v},\overrightarrow{w}$ son tres vectores distintos de cero de 2 dimensiones, entonces

$\overrightarrow{u},\overrightarrow{v},\overrightarrow{w}$son linealmente independientes
$\overrightarrow{u},\overrightarrow{v},\overrightarrow{w}$son linealmente dependientes
$\overrightarrow{u},\overrightarrow{v},\overrightarrow{w}$son vectores unitarios
$k_{1}\overrightarrow{u} + k_{2}\overrightarrow{v} + k_{3}\overrightarrow{v} = \overrightarrow{0}$tiene una solución única.

Responder: B

Ejercicio 11

$\overrightarrow{u}$y$\overrightarrow{v}$ son dos vectores de dimensión distintos de cero$n$. Demostrar que si$\overrightarrow{u}$ y$\overrightarrow{v}$ son linealmente dependientes, hay un escalar$q$ tal que$\overrightarrow{v} = q\overrightarrow{u}$.

Responder

Pista:

Empezar con$k_{1}\overrightarrow{u} + k_{2}\overrightarrow{v} = \overrightarrow{0}$

Demuestre eso$k_{1} \neq 0$ y$k_{2} \neq 0$ porque$\overrightarrow{u}$ y ambos$\overrightarrow{v}$ son distintos de cero.

De ahí

\[\begin{split} \overrightarrow{\nu} &= - \frac{k_{1}}{k_{2}}\overrightarrow{u}\\ &=q\overrightarrow{u} \;\;\;\;\;\;\;\ q=- \frac{k_{1}}{k_{2}} \end{split}\]

Ejercicio 12

$\overrightarrow{u}$y$\overrightarrow{v}$ son dos vectores de dimensión distintos de cero$n$. Demostrar que si hay un escalar$q$ tal que$\overrightarrow{v} = q\overrightarrow{u}$, entonces$\overrightarrow{u}$ y$\overrightarrow{v}$ son linealmente dependientes.

Responder

Pista:

Desde

$\begin{matrix} \overrightarrow{v} = q\overrightarrow{u} \\ \overrightarrow{v} - q\overrightarrow{u} = \overrightarrow{0} \\ \end{matrix}$

$q \neq 0$, de lo contrario$\overrightarrow{v} = \overrightarrow{0}$

Entonces la ecuación

\[k_{1}\overrightarrow{v} + k_{2}\overrightarrow{u} = \overrightarrow{0}\notag\]

tiene una solución no trivial de

\[k_{1} = 1,k_{2} = q \neq 0.\notag\]