4: Operaciones de Matriz Unaria

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Objetivos de aprendizaje

Después de leer este capítulo, deberías poder:

saber qué son las operaciones unarias,
la transposición de una matriz cuadrada y su relación con matrices simétricas,
encontrar el rastro de una matriz, y
encontrar el determinante de una matriz por el método del cofactor.

¿Cuál es la transpuesta de una matriz?

$\left\lbrack A \right\rbrack$Déjese ser una$m \times n$ matriz. Entonces$\left\lbrack B \right\rbrack$ es la transposición de$\left\lbrack A \right\rbrack$ si$b_{ji} = a_{ij}$ para todos$i$ y$j$. Es decir, la$i^{th}$ fila y el elemento$j^{th}$ columna de$\left\lbrack A \right\rbrack$ es el elemento$j^{th}$ row y$i^{th}$ column de$\left\lbrack B \right\rbrack$. Nota,$\left\lbrack B \right\rbrack$ sería una$n \times m$ matriz. La transposición de$\left\lbrack A \right\rbrack$ se denota por$\left\lbrack A \right\rbrack^{T}$.

Ejemplo 1

Encuentra la transpuesta de

\[\left\lbrack A \right\rbrack = \begin{bmatrix} \begin{matrix} 25 & 20 \\ \end{matrix} & \begin{matrix} 3 & 2 \\ \end{matrix} \\ \begin{matrix} 5 & 10 \\ \end{matrix} & \begin{matrix} 15 & 25 \\ \end{matrix} \\ \begin{matrix} 6 & 16 \\ \end{matrix} & \begin{matrix} 7 & 27 \\ \end{matrix} \\ \end{bmatrix} \nonumber \]

Solución

La transposición$\left\lbrack A \right\rbrack$ de

\[\left\lbrack A \right\rbrack^{T} = \left\lbrack \begin{matrix} \begin{matrix} 25 \\ 20 \\ \end{matrix} \\ \begin{matrix} 3 \\ 2 \\ \end{matrix} \\ \end{matrix}\begin{matrix} \begin{matrix} 5 \\ 10 \\ \end{matrix} \\ \begin{matrix} 15 \\ 25 \\ \end{matrix} \\ \end{matrix}\begin{matrix} \begin{matrix} 6 \\ 16 \\ \end{matrix} \\ \begin{matrix} 7 \\ 27 \\ \end{matrix} \\ \end{matrix} \right\rbrack \nonumber \]

Tenga en cuenta que la transposición de un vector de fila es un vector de columna y la transposición de un vector de columna es un vector de fila.

También, tenga en cuenta que la transposición de una transposición de una matriz es la matriz misma. Es decir,

\[\left( \left\lbrack A \right\rbrack^{T} \right)^{T} = \left\lbrack A \right\rbrack \nonumber \]

Además,

\[\left( \left\lbrack A \right\rbrack + \left\lbrack B \right\rbrack \right)^{T} = \left\lbrack A \right\rbrack^{T} + \left\lbrack B \right\rbrack^{T};\ \left( {cA} \right)^{T} = cA^{T} \nonumber \]

¿Qué es una matriz simétrica?

Una matriz cuadrada$\left\lbrack A \right\rbrack$ con elementos reales fueron$a_{ij} = a_{ji}$ para$i = 1,\ 2,\ \ldots\ ,\ n$ y$j = 1,\ 2,\ \ldots\ ,\ n$ se llama matriz simétrica. Esto es lo mismo que decir que si$\left\lbrack A \right\rbrack = \left\lbrack A \right\rbrack^{T}$, entonces$\left\lbrack A \right\rbrack^{T}$ es una matriz simétrica.

Ejemplo 2

Dar un ejemplo de una matriz simétrica

Solución

\[\left\lbrack A \right\rbrack = \begin{bmatrix} 21.2 & 3.2 & 6 \\ 3.2 & 21.5 & 8 \\ 6 & 8 & 9.3 \\ \end{bmatrix} \nonumber \]

Es una matriz simétrica como$a_{12} = a_{21} = 3.2,\ \ a_{13} = a_{31} = 6$ y$a_{13} = a_{31} = 8$.

¿Qué es una matriz asimétrica de sesgo?

Una$n \times n$ matriz es simétrica simétrica simétrica si$a_{ij} = - a_{ji}$, for$i = 1,\ \ldots\ ,\ n$ y$j = 1,\ \ldots\ ,\ n$. Esto es lo mismo que

\[\left\lbrack A \right\rbrack = - \left\lbrack A \right\rbrack^{T} \nonumber \]

Ejemplo 3

Dé un ejemplo de una matriz simétrica sesgada

Solución

\[\begin{bmatrix} 0 & 1 & 2 \\ - 1 & 0 & - 5 \\ - 2 & 5 & 0 \\ \end{bmatrix} \nonumber \]

Es una matriz simétrica sesgada como$a_{12} = - a_{21} = 1;\ \ a_{13} = - a_{31} = 2;\ a_{23} = - a_{32} = - 5$. Ya que$a_{ii} = - a_{ii}$ sólo si$a_{ii} = 0$, todos los elementos diagonales de una matriz simétrica sesgada tienen que ser cero.

¿Cuál es el rastro de una matriz?

El rastro de una$n \times n$ matriz$\left\lbrack A \right\rbrack$ es la suma de las entradas diagonales de$\left\lbrack A \right\rbrack$. Eso es

\[{tr}\left\lbrack A \right\rbrack = \sum_{i = 1}^{n}a_{ii} \nonumber \]

Ejemplo 4

Encuentra el rastro de:

\[\left\lbrack A \right\rbrack = \begin{bmatrix} 15 & 6 & 7 \\ 2 & - 4 & 2 \\ 3 & 2 & 6 \\ \end{bmatrix} \nonumber \]

Solución

\[\begin{split} {tr}\left\lbrack A \right\rbrack &= \sum_{i = 1}^{n}a_{ii}\\ &= 15 + \left( - 4 \right) + 6\\ &= 17 \end{split} \nonumber \]

Ejemplo 5

Las ventas de llantas están dadas por make (filas) y cuartos (columnas) para la ubicación de la tienda Blowout r'us$A$, como se muestra a continuación

\[\left\lbrack A \right\rbrack = \left\lbrack \begin{matrix} 25 \\ 5 \\ 6 \\ \end{matrix}\begin{matrix} 20 \\ 10 \\ 16 \\ \end{matrix}\begin{matrix} 3 \\ 15 \\ 7 \\ \end{matrix}\begin{matrix} 2 \\ 25 \\ 27 \\ \end{matrix} \right\rbrack \nonumber \]

Donde las filas representan las ventas de llantas Tirestone, Michigan y Copper, y las columnas representan los números de trimestre 1, 2, 3, 4.

Encuentre los ingresos anuales totales de la tienda$A$ si los precios de las llantas varían según los trimestres de la siguiente manera

\[\left\lbrack B \right\rbrack = \left\lbrack \begin{matrix} 33.25 \\ 40.19 \\ 25.03 \\ \end{matrix}\begin{matrix} 30.01 \\ 38.02 \\ 22.02 \\ \end{matrix}\begin{matrix} 35.02 \\ 41.03 \\ 27.03 \\ \end{matrix}\begin{matrix} 30.05 \\ 38.23 \\ 22.95 \\ \end{matrix} \right\rbrack \nonumber \]

Donde las filas representan el costo de cada neumático fabricado por Tirestone, Michigan y Copper, y las columnas representan los números de cuartos.

Solución

\[\left\lbrack C \right\rbrack = \left\lbrack B \right\rbrack^{T} \nonumber \]

Ejemplo 6

La ubicación de la tienda Blowout r'us$A$ y las ventas de llantas se dan por make (en filas) y cuartos (en columnas) como se muestra a continuación

\[\begin{split} \left\lbrack A \right\rbrack &= \left\lbrack \begin{matrix} 25 \\ 5 \\ 6 \\ \end{matrix}\begin{matrix} 20 \\ 10 \\ 16 \\ \end{matrix}\begin{matrix} 3 \\ 15 \\ 7 \\ \end{matrix}\begin{matrix} 2 \\ 25 \\ 27 \\ \end{matrix} \right\rbrack\\ &= \left\lbrack \begin{matrix} 33.25 \\ 40.19 \\ 25.03 \\ \end{matrix}\begin{matrix} 30.01 \\ 38.02 \\ 22.02 \\ \end{matrix}\begin{matrix} 35.02 \\ 41.03 \\ 27.03 \\ \end{matrix}\begin{matrix} 30.05 \\ 38.23 \\ 22.95 \\ \end{matrix} \right\rbrack\\ &= \left\lbrack \begin{matrix} \begin{matrix} 33.25 \\ 30.01 \\ \end{matrix} \\ \begin{matrix} 35.02 \\ 30.05 \\ \end{matrix} \\ \end{matrix}\begin{matrix} \begin{matrix} 40.19 \\ 38.02 \\ \end{matrix} \\ \begin{matrix} 41.03 \\ 38.23 \\ \end{matrix} \\ \end{matrix}\begin{matrix} \begin{matrix} 25.03 \\ 22.02 \\ \end{matrix} \\ \begin{matrix} 27.03 \\ 22.95 \\ \end{matrix} \\ \end{matrix} \right\rbrack \end{split} \nonumber \]

Reconocer ahora que si encontramos$\left\lbrack A \right\rbrack\left\lbrack C \right\rbrack$, obtenemos

\[\begin{split} \left\lbrack D \right\rbrack &= \left\lbrack A \right\rbrack\left\lbrack C \right\rbrack\\ &= \left\lbrack \begin{matrix} 25 \\ 5 \\ 6 \\ \end{matrix}\begin{matrix} 20 \\ 10 \\ 16 \\ \end{matrix}\begin{matrix} 3 \\ 15 \\ 7 \\ \end{matrix}\begin{matrix} 2 \\ 25 \\ 27 \\ \end{matrix} \right\rbrack\left\lbrack \begin{matrix} \begin{matrix} 33.25 \\ 30.01 \\ \end{matrix} \\ \begin{matrix} 35.02 \\ 30.05 \\ \end{matrix} \\ \end{matrix}\begin{matrix} \begin{matrix} 40.19 \\ 38.02 \\ \end{matrix} \\ \begin{matrix} 41.03 \\ 38.23 \\ \end{matrix} \\ \end{matrix}\begin{matrix} \begin{matrix} 25.03 \\ 22.02 \\ \end{matrix} \\ \begin{matrix} 27.03 \\ 22.95 \\ \end{matrix} \\ \end{matrix} \right\rbrack\\ &= \begin{bmatrix} 1597 & 1965 & 1193 \\ 1743 & 2152 & 1325 \\ 1736 & 2169 & 1311 \\ \end{bmatrix} \end{split} \nonumber \]

Los elementos diagonales dan las ventas de cada marca de llanta para todo el año. Eso es

$d_{11} = \$ 1597$(Ventas de Tirestone)

$d_{22} = \$ 2152$(Ventas Michigan)

$d_{33} = \$ 1597$(Ventas de cobre)

Las ventas totales anuales de los tres brans de llantas son

\[\begin{split} \sum_{i = 1}^{3}d_{ii} &= 1597 + 2152 + 1311\\ &= \text{\$} 5060 \end{split} \nonumber \]

Y este es el rastro de la matriz$\left\lbrack D \right\rbrack$.

Definir el determinante de una matriz.

El determinante de una matriz cuadrada es un único número real único correspondiente a una matriz. Para una matriz$\left\lbrack A \right\rbrack$, determinante se denota por$\left| A \right|$ o$\det\left( A \right)$. Así que no utilices$\left\lbrack A \right\rbrack$ e$\left| A \right|$ indistintamente.

Para una$2 \times 2$ matriz

\[\left\lbrack A \right\rbrack = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \\ \end{bmatrix} \nonumber \]

\[\det\left( A \right) = a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21} \nonumber \]

¿Cómo se calcula el determinante de cualquier matriz cuadrada?

$\left\lbrack A \right\rbrack$Déjese ser una$n \times n$ matriz. El menor de entrada$a_{ij}$ se denota por$M_{ij}$ y se define como el determinante de la$\left( n - 1 \right) \times \left( n - 1 \right)$ submatriz de$\left\lbrack A \right\rbrack$, donde la submatriz se obtiene eliminando la$i^{th}$ fila y$j^{th}$ columna de la matriz$\left\lbrack A \right\rbrack$. El determinante es entonces dado por

\[\det\left( A \right) = \sum_{j = 1}^{n}{\left( - 1 \right)^{i + j}a_{ij}M_{ij}}{\ for\ any\ }i = 1,\ 2,\ \ldots\ ,\ n \nonumber \]

\[\det\left( A \right) = \sum_{i = 1}^{n}{\left( - 1 \right)^{i + j}a_{ij}M_{ij}}{\ for\ any\ }j = 1,\ 2,\ \ldots\ ,\ n \nonumber \]

Emparejar eso con$\det\left( A \right) = a_{11}$ para una$1 \times 1$ matriz$\left\lbrack A \right\rbrack$, siempre podemos reducir el determinante de una matriz a determinantes de$1 \times 1$ matrices. El número$\left( - 1 \right)^{i + j}M_{ij}$ se llama el cofactor de$a_{ij}$ y se denota por$c_{ij}$. La fórmula para el determinante puede escribirse como

\[\det\left( A \right) = \sum_{j = 1}^{n}{a_{ij}C_{ij}}{\ for\ any\ }i = 1,\ 2,\ \ldots\ ,\ n \nonumber \]

\[\det\left( A \right) = \sum_{i = 1}^{n}{a_{ij}C_{ij}}{\ for\ any\ }j = 1,\ 2,\ \ldots\ ,\ n \nonumber \]

Los determinantes generalmente no se calculan usando este método, ya que se vuelve computacionalmente intensivo para matrices grandes. Para una$n \times n$ matriz, requiere operaciones aritméticas proporcionales a$n!$.

Ejemplo 6

Encuentra el determinante de

\[\lbrack A\rbrack = \begin{bmatrix} 25 & 5 & 1 \\ 64 & 8 & 1 \\ 144 & 12 & 1 \\ \end{bmatrix} \nonumber \]

Solución

Método 1:

\[\det\left( A \right) = \sum_{j = 1}^{3}{\left( - 1 \right)^{i + j}a_{ij}M_{ij}{\ \ for\ \ any\ \ }i = 1,\ \ 2,\ \ 3} \nonumber \]

Vamos a elegir$i = 1$ en la fórmula

\[\begin{split} \det\left( A \right) &= \sum_{j = 1}^{3}{\left( - 1 \right)^{1 + j}a_{1j}M_{1j}}\\ &= \left( - 1 \right)^{1 + 1}a_{11}M_{11} + \left( - 1 \right)^{1 + 2}a_{12}M_{12} + \left( - 1 \right)^{1 + 3}a_{13}^{\ }\ M_{13}\\ &= a_{11}M_{11} - a_{12}M_{12} + a_{13}M_{13} \end{split} \nonumber \]

\[\begin{split} M_{11} &= \left| \begin{matrix} 8 & 1 \\ 12 & 1 \\ \end{matrix} \right|\\ &= - 4 \end{split} \nonumber \]

\[\begin{split} M_{12} &= \left| \begin{matrix} 64 & 1 \\ 144 & 1 \\ \end{matrix} \right|\\ &= - 80 \end{split} \nonumber \]

\[\begin{split} M_{13} &= \left| \begin{matrix} 64 & 8 \\ 144 & 12 \\ \end{matrix} \right|\\ &= - 384 \end{split} \nonumber \]

\[\begin{split} det(A) &= a_{11}M_{11} - a_{12}M_{12} + a_{13}M_{13}\\ &= 25\left( - 4 \right) - 5\left( - 80 \right) + 1\left( - 384 \right)\\ &= - 100 + 400 - 384\\ &= - 84 \end{split} \nonumber \]

También para$i = 1$,

\[\det\left( A \right) = \sum_{j = 1}^{3}{a_{1j}C_{1j}} \nonumber \]

\[\begin{split} C_{11} &= \left( - 1 \right)^{1 + 1}M_{11}\\ &= M_{11}\\ &= - 4 \end{split} \nonumber \]

\[\begin{split} C_{12} &= \left( - 1 \right)^{1 + 2}M_{12}\\ &= - M_{12}\\ &= 80 \end{split} \nonumber \]

\[\begin{split} C_{13} &= \left( - 1 \right)^{1 + 3}M_{13}\\ &= M_{13}\\ &= - 384 \end{split} \nonumber \]

\[\begin{split} \det\left( A \right) &= a_{11}C_{11} + a_{21}C_{21} + a_{31}C_{31}\\ &= (25)\left( - 4 \right) + (5)\left( 80 \right) + (1)\left( - 384 \right)\\ &= - 100 + 400 - 384\\ &= - 84 \end{split} \nonumber \]

Método 2:

\[\det\left( A \right) = \sum_{i = 1}^{3}{\left( - 1 \right)^{i + j}a_{ij}M_{ij}} \ for\ any\ j = 1,\ 2,\ 3 \nonumber \]

Vamos a elegir$j = 2$ en la fórmula

\[\begin{split} \det\left( A \right) &= \sum_{i = 1}^{3}{\left( - 1 \right)^{i + 2}a_{i2}M_{i2}}\\ &= \left( - 1 \right)^{1 + 2}a_{12}M_{12} + \left( - 1 \right)^{2 + 2}a_{22}M_{22} + \left( - 1 \right)^{3 + 2}a_{32}M_{32}\\ &= - a_{12}M_{12} + a_{22}M_{22} - a_{32}M_{32} \end{split} \nonumber \]

\[\begin{split} M_{12} &= \left| \begin{matrix} 64 & 1 \\ 144 & 1 \\ \end{matrix} \right|\\ &= - 80 \end{split} \nonumber \]

\[\begin{split} M_{22} &= \left| \begin{matrix} 25 & 1 \\ 144 & 1 \\ \end{matrix} \right|\\ &= - 119 \end{split} \nonumber \]

\[\begin{split} M_{32} &= \left| \begin{matrix} 25 & 1 \\ 64 & 1 \\ \end{matrix} \right|\\ &= - 39 \end{split} \nonumber \]

\[\begin{split} det(A) &= - a_{12}M_{12} + a_{22}M_{22} - a_{32}M_{32}\\ &= - 5( - 80) + 8( - 119) - 12( - 39)\\ &= 400 - 952 + 468\\ &= - 84 \end{split} \nonumber \]

En términos de cofactores para$j = 2$,

\[\det\left( A \right) = \sum_{i = 1}^{3}{a_{i2}C_{i2}} \nonumber \]

\[\begin{split} C_{12} &= \left( - 1 \right)^{1 + 2}M_{12}\\ &= - M_{12}\\ &= 80 \end{split} \nonumber \]

\[\begin{split} C_{22} &= \left( - 1 \right)^{2 + 2}M_{22}\\ &= M_{22}\\ &= - 119 \end{split} \nonumber \]

\[\begin{split} C_{32} &= \left( - 1 \right)^{3 + 2}M_{32}\\ &= - M_{32}\\ &= 39 \end{split} \nonumber \]

\[\begin{split} \det\left( A \right) &= a_{12}C_{12} + a_{22}C_{22} + a_{32}C_{32}\\ &= (5)\left( 80 \right) + (8)\left( - 119 \right) + (12)\left( 39 \right)\\ &= 400 - 952 + 468\\ &= - 84 \end{split} \nonumber \]

¿Existe una relación entre det (AB), y det (A) y det (B)?

Sí, si$\lbrack A\rbrack$ y$\lbrack B\rbrack$ son matrices cuadradas del mismo tamaño, entonces

\[det({AB}) = det(A)det(B) \nonumber \]

¿Hay algunos otros teoremas que son importantes para encontrar el determinante de una matriz cuadrada?

Teorema 1: Si una fila o una columna en una$n \times n$ matriz$\lbrack A\rbrack$ es cero, entonces$det(A) = 0$.

Teorema 2: Dejar$\lbrack A\rbrack$ ser una$n \times n$ matriz. Si una fila es proporcional a otra fila, entonces$det(A) = 0$.

Teorema 3: Dejar$\lbrack A\rbrack$ ser una$n \times n$ matriz. Si una columna es proporcional a otra columna, entonces$det(A) = 0$.

Teorema 4: Dejar$\lbrack A\rbrack$ ser una$n \times n$ matriz. Si una columna o fila se multiplica por$k$ para dar como resultado matriz$k$, entonces$det(B) = kdet(A)$.

Teorema 5: Dejar$\lbrack A\rbrack$ ser una matriz triangular$n \times n$ superior o inferior, entonces$det(A) = \overset{n}{\underset{i = 1}{\Pi}}a_{ii}$.

Ejemplo 7

¿Cuál es el determinante de

\[\lbrack A\rbrack = \begin{bmatrix} 0 & 2 & 6 & 3 \\ 0 & 3 & 7 & 4 \\ 0 & 4 & 9 & 5 \\ 0 & 5 & 2 & 1 \\ \end{bmatrix} \nonumber \]

Solución

Dado que una de las columnas (primera columna en el ejemplo anterior) de$\lbrack A\rbrack$ es un cero,$det(A) = 0$.

Ejemplo 8

¿Cuál es el determinante de

\[\lbrack A\rbrack = \begin{bmatrix} 2 & 1 & 6 & 4 \\ 3 & 2 & 7 & 6 \\ 5 & 4 & 2 & 10 \\ 9 & 5 & 3 & 18 \\ \end{bmatrix} \nonumber \]

Solución

$det(A)$es cero porque la cuarta columna

\[\begin{bmatrix} 4 \\ 6 \\ 10 \\ 18 \\ \end{bmatrix} \nonumber \]

es 2 veces la primera columna

\[\begin{bmatrix} 2 \\ 3 \\ 5 \\ 9 \\ \end{bmatrix} \nonumber \]

Ejemplo 9

Si el determinante de

\[\lbrack A\rbrack = \begin{bmatrix} 25 & 5 & 1 \\ 64 & 8 & 1 \\ 144 & 12 & 1 \\ \end{bmatrix} \nonumber \]

es$- 84$, entonces cuál es el determinante de

\[\lbrack B\rbrack = \begin{bmatrix} 25 & 10.5 & 1 \\ 64 & 16.8 & 1 \\ 144 & 25.2 & 1 \\ \end{bmatrix} \nonumber \]

Solución

Dado que la segunda columna de$\lbrack B\rbrack$ es 2.1 veces la segunda columna de$\lbrack A\rbrack$

\[det(B) = 2.1det(A) \nonumber \]

\[= (2.1)( - 84) \nonumber \]

\[= - 176.4 \nonumber \]

Ejemplo 10

Dado el determinante de

\[\lbrack A\rbrack = \begin{bmatrix} 25 & 5 & 1 \\ 64 & 8 & 1 \\ 144 & 12 & 1 \\ \end{bmatrix} \nonumber \]

es$- 84$, cuál es el determinante de

\[\lbrack B\rbrack = \begin{bmatrix} 25 & 5 & 1 \\ 0 & - 4.8 & - 1.56 \\ 144 & 12 & 1 \\ \end{bmatrix} \nonumber \]

Solución

Dado que$\lbrack B\rbrack$ se obtiene simplemente restando la segunda fila de$\lbrack A\rbrack$ por 2.56 veces la primera fila de$\lbrack A\rbrack$,

\[\begin{split} det(B) &= det(A)\\ &= - 84 \end{split} \nonumber \]

Ejemplo 11

¿Cuál es el determinante de

\[\lbrack A\rbrack = \begin{bmatrix} 25 & 5 & 1 \\ 0 & - 4.8 & - 1.56 \\ 0 & 0 & 0.7 \\ \end{bmatrix} \nonumber \]

Solución

Dado que$\lbrack A\rbrack$ es una matriz triangular superior

\[\begin{split} \det\left( A \right) &= \prod_{i = 1}^{3}a_{ii}\\ &= a_{11} \times a_{22} \times a_{33}\\ &= 25 \times ( - 4.8) \times 0.7\\ &= - 84 \end{split} \nonumber \]

Cuestionario de operaciones matriciales unarias

Quiz 1

Si el determinante de una$4 \times 4$ matriz se da como 20, entonces el determinante de 5 es

(A)$100$

(B)$12500$

(C)$25$

(D)$62500$

Quiz 2

Si se define el producto$\left\lbrack A \right\rbrack\ \left\lbrack B \right\rbrack\ \left\lbrack C \right\rbrack$ de la matriz, entonces$\left( \left\lbrack A \right\rbrack\left\lbrack B \right\rbrack\left\lbrack C \right\rbrack \right)^{T}$ es

(A)$\left\lbrack C \right\rbrack^{T}\ \left\lbrack B \right\rbrack^{T}\ \left\lbrack A \right\rbrack^{T}$

(B)$\left\lbrack A \right\rbrack^{T}\ \left\lbrack B \right\rbrack^{T}\ \left\lbrack C \right\rbrack^{T}$

(C)$\left\lbrack A \right\rbrack\ \left\lbrack B \right\rbrack\ \left\lbrack C \right\rbrack^{T}$

(D)$\left\lbrack A \right\rbrack^{T}\ \left\lbrack B \right\rbrack\ \left\lbrack C \right\rbrack$

Quiz 3

El rastro de una matriz

\[\begin{bmatrix} 5 & 6 & - 7 \\ 9 & - 11 & 13 \\ - 17 & 19 & 23 \\ \end{bmatrix} \nonumber \]

(A)$17$

(B)$39$

(C)$40$

(D)$110$

Quiz 4

Una$n \times n$ matriz cuadrada$\left\lbrack A \right\rbrack$ es simétrica si

(A)$a_{ij} = a_{ji},\ i = j$ para todos$i,j$

(B)$a_{ij} = a_{ji},\ i \neq j$ para todos$i,j$

(C)$a_{ij} = - a_{ji},\ i = j$ para todos$i,j$

(D)$a_{ij} = - a_{ji},\ i \neq j$ para todos$i,j$

Quiz 5

El determinante de la matriz

$\begin{bmatrix} 25 & 5 & 1 \\ 0 & 3 & 8 \\ 0 & 9 & a \\ \end{bmatrix}$

es de 50. El valor de a es entonces

(A)$0.6667$

(B)$24.67$

(C)$-23.33$

(D)$5.556$

Quiz 6

$\left\lbrack A \right\rbrack$es una$5 \times 5$ matriz y una matriz$\left\lbrack B \right\rbrack$ se obtiene por las operaciones de fila de reemplazar$Row\ 1$ con$Row\ 3$, y luego$Row\ 3$ se reemplaza por una combinación lineal de$2 \times Row\ 3 + 4 \times Row\ 2$. Si$\det\left( A \right) = 17$, entonces$\det\left( B \right)$ es igual a

(A)$12$

(B)$-34$

(C)$-112$

(D)$112$

Ejercicio de Operaciones de Matriz Unaria

Ejercicio 1

Let

$\lbrack A\rbrack = \begin{bmatrix} 25 & 3 & 6 \\ 7 & 9 & 2 \\ \end{bmatrix}$.

Encuentra$\lbrack A\rbrack^{T}$

Contestar: $\begin{bmatrix} 25 & 7 \\ 3 & 9 \\ 6 & 2 \\ \end{bmatrix}$

Ejercicio 2

Si$\lbrack A\rbrack$ y$\lbrack B\rbrack$ son dos matrices$n \times n$ simétricas, muestran que también$\lbrack A\rbrack + \lbrack B\rbrack$ es simétrica. Insinuación: Let$\left\lbrack C \right\rbrack = \left\lbrack A \right\rbrack + \left\lbrack B \right\rbrack$

Contestar

$c_{ij} = a_{ij} + b_{ij}$para todos i, j.

$c_{ji} = a_{ji} + b_{ji}$para todos i, j.
$c_{ji} = a_{ij} + b_{ij}$como$\left\lbrack A \right\rbrack$ y$\left\lbrack B \right\rbrack$ son simétricos

De ahí$c_{ji} = c_{ij}.$

Ejercicio 3

Dar un ejemplo de una matriz$4 \times 4$ simétrica.

Ejercicio 4

Dé un ejemplo de una matriz$4 \times 4$ simétrica sesgada.

Ejercicio 5

¿Cuál es el rastro de

$\left\lbrack A \right\rbrack = \begin{bmatrix} 7 & 2 & 3 & 4 \\ - 5 & - 5 & - 5 & - 5 \\ 6 & 6 & 7 & 9 \\ - 5 & 2 & 3 & 10 \\ \end{bmatrix}$
Para

$\left\lbrack A \right\rbrack = \begin{bmatrix} 10 & - 7 & 0 \\ - 3 & 2.099 & 6 \\ 5 & - 1 & 5 \\ \end{bmatrix}$

Encontrar el determinante de$\lbrack A\rbrack$ usar el método del cofactor.

Contestar: a)$19$
b)$- 150.05$

Ejercicio 6

$det(3\lbrack A\rbrack)$de una$n \times n$ matriz es

$3det(A)$
3$det(A)$
$3^{n}det(A)$
$9det(A)$

Contestar: C

Ejercicio 7

Para una$5 \times 5$ matriz$\lbrack A\rbrack$, la primera fila se intercambia con la quinta fila, el determinante de la matriz resultante$\lbrack B\rbrack$ es

$det(A)$
$- det(A)$
$5det(A)$
$2det(A)$

Contestar: A

Ejercicio 8

$\det\begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ \end{bmatrix}$es

$0$
$1$
$-1$
$\infty$

Contestar: C

Ejercicio 9

Sin utilizar el método cofactor de búsqueda de determinantes, encontrar el determinante de

$\left\lbrack A \right\rbrack = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 2 & 3 & 5 \\ 6 & 9 & 2 \\ \end{bmatrix}$

Contestar: $0$: ¿Puedes responder por qué?

Ejercicio 10

Sin utilizar el método cofactor de búsqueda de determinantes, encontrar el determinante de

$\left\lbrack A \right\rbrack = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 2 & 3 \\ 0 & 2 & 3 & 5 \\ 6 & 7 & 2 & 3 \\ 6.6 & 7.7 & 2.2 & 3.3 \\ \end{bmatrix}$

Contestar: $0$: ¿Puedes responder por qué?

Ejercicio 11

Sin utilizar el método cofactor de búsqueda de determinantes, encontrar el determinante de

$\left\lbrack A \right\rbrack = \begin{bmatrix} 5 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 & 0 \\ 2 & 5 & 6 & 0 \\ 1 & 2 & 3 & 9 \\ \end{bmatrix}$

Contestar: $5 \times 3 \times 6 \times 9 = 810$: ¿Puedes responder por qué?

Ejercicio 12

Dada la matriz

$\left\lbrack A \right\rbrack = \begin{bmatrix} 125 & 25 & 5 & 1 \\ 512 & 64 & 8 & 1 \\ 1157 & 89 & 13 & 1 \\ 8 & 4 & 2 & 1 \\ \end{bmatrix}$

$det(A) = - 32400$

encontrar el determinante de

$\left\lbrack A \right\rbrack = \begin{bmatrix} 125 & 25 & 5 & 1 \\ 512 & 64 & 8 & 1 \\ 1141 & 81 & 9 & - 1 \\ 8 & 4 & 2 & 1 \\ \end{bmatrix}$
$\left\lbrack A \right\rbrack = \begin{bmatrix} 125 & 25 & 1 & 5 \\ 512 & 64 & 1 & 8 \\ 1157 & 89 & 1 & 13 \\ 8 & 4 & 1 & 2 \\ \end{bmatrix}$
$\left\lbrack B \right\rbrack = \begin{bmatrix} 125 & 25 & 5 & 1 \\ 1157 & 89 & 13 & 1 \\ 512 & 64 & 8 & 1 \\ 8 & 4 & 2 & 1 \\ \end{bmatrix}$
$\left\lbrack C \right\rbrack = \begin{bmatrix} 125 & 25 & 5 & 1 \\ 1157 & 89 & 13 & 1 \\ 8 & 4 & 2 & 1 \\ 512 & 64 & 8 & 1 \\ \end{bmatrix}$
$\left\lbrack D \right\rbrack = \begin{bmatrix} 125 & 25 & 5 & 1 \\ 512 & 64 & 8 & 1 \\ 1157 & 89 & 13 & 1 \\ 16 & 8 & 4 & 2 \\ \end{bmatrix}$

Contestar: A) —32400 B) 32400 C) 32400 D) -32400 E) -64800

Ejercicio 13

¿Cuál es la transpostura de

$\lbrack A\rbrack = \begin{bmatrix} 25 & 20 & 3 & 2 \\ 5 & 10 & 15 & 25 \\ 6 & 16 & 7 & 27 \\ \end{bmatrix}$

Contestar: $\left\lbrack A \right\rbrack^{T} = \begin{bmatrix} 25 & 5 & 6 \\ 20 & 10 & 16 \\ 3 & 15 & 7 \\ 2 & 25 & 27 \\ \end{bmatrix}$

Ejercicio 14

¿Qué valores de los números faltantes harán de esta una matriz simétrica sesgada?

$\lbrack A\rbrack = \begin{bmatrix} 0 & 3 & ? \\ ? & 0 & ? \\ 21 & ? & 0 \\ \end{bmatrix}$

Contestar: $\begin{bmatrix} 0 & 3 & - 21 \\ - 3 & 0 & 4 \\ 21 & - 4 & 0 \\ \end{bmatrix}$

Ejercicio 15

¿Qué valores del número faltante harán de esta una matriz simétrica?

$\lbrack A\rbrack = \begin{bmatrix} 2 & 3 & ? \\ ? & 6 & 7 \\ 21 & ? & 5 \\ \end{bmatrix}$

Contestar: $\begin{bmatrix} 2 & 3 & 21 \\ 3 & 6 & 7 \\ 21 & 7 & 5 \\ \end{bmatrix}$

Ejercicio 16

Encuentra el determinante de
$\left\lbrack A \right\rbrack = \begin{bmatrix} 25 & 5 & 1 \\ 64 & 8 & 1 \\ 144 & 12 & 5 \\ \end{bmatrix}$

Contestar: El determinante de$\left\lbrack A \right\rbrack$ es,\[25\begin{bmatrix} 8 & 1 \\ 12 & 5 \\ \end{bmatrix} - 5\begin{bmatrix} 64 & 1 \\ 144 & 5 \\ \end{bmatrix} + 1\begin{bmatrix} 64 & 8 \\ 144 & 12 \\ \end{bmatrix} \nonumber \]\[\begin{split} &=25(28) - 5(176) + 1( - 384)\\ &= -564 \end{split} \nonumber \]

Ejercicio 17

¿Cuál es el determinante de una matriz triangular superior$\lbrack A\rbrack$ que es de orden$n \times n$?

Contestar: El determinante de una matriz triangular superior es el producto de sus elementos diagonales,$\prod_{i = 1}^{n}a_{ii}$

Ejercicio 18

Dado el determinante de

$\left\lbrack A \right\rbrack = \begin{bmatrix} 25 & 5 & 1 \\ 64 & 8 & 1 \\ 144 & 12 & a \\ \end{bmatrix}$

es$- 564$, encontrar$a$.

Contestar

$det(A) = - 120a + 36$

$120a + 36 = 564$

$a = 5$

Ejercicio 19

¿Por qué es cero el determinante de la siguiente matriz?
$\left\lbrack A \right\rbrack = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 2 & 3 & 5 \\ 6 & 9 & 2 \\ \end{bmatrix}$

Contestar: La primera fila de la matriz es cero, de ahí que el determinante de la matriz sea cero.

Ejercicio 20

¿Por qué es cero el determinante de la siguiente matriz?
$\left\lbrack A \right\rbrack = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 2 & 3 \\ 0 & 2 & 3 & 5 \\ 6 & 7 & 2 & 3 \\ 6.6 & 7.7 & 2.2 & 3.3 \\ \end{bmatrix}$

Contestar: La fila 4 de la matriz es 1.1 veces la Fila 3. De ahí que su determinante sea cero.

Ejercicio 21

Mostrar que si$\lbrack A\rbrack\ \lbrack B\rbrack = \lbrack I\rbrack$, donde$\lbrack A\rbrack\ $,$\ \lbrack B\rbrack$ y$\lbrack I\rbrack$ son matrices de$n \times n$ tamaño y$\lbrack I\rbrack$ es una matriz de identidad, entonces$det(A) \neq 0$ y$det(B) \neq 0$.

Contestar

Eso lo sabemos$det(AB) = det(A)det(B)$.

\[[A][B] = [I] \nonumber \]\[det(AB) = det(I) \nonumber \]

\[det(I) = \prod_{i = 1}^{n}{a_{ii} = \prod_{i = 1}^{n}1} = 1 \nonumber \]\[det(A)det(B) = 1 \nonumber \]

Por lo tanto,

$det(A) \neq 0$y

$det(B) \neq 0$.