2.1: Definición de números complejos

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Comenzamos con la siguiente definición.

Definición 2.1.1: números complejos

El conjunto de números complejos C se define como

\[ \mathbb{C} = \{ (x, y) \ | \ x, y \in \mathbb{R} \}\]

Dado un número complejo\(z = (x, y)\), llamamos\(\text{RealPart}(z) = x\) el\( \textbf{real part}\) de\(z\) y\( \text{ImaginaryPart}(z) = y\) el\( \textbf{imaginary part}\) de\(z\).

En otras palabras, estamos definiendo una nueva colección de números\(z\) tomando cada par ordenado posible\((x, y)\) de números reales\(x, y \in \mathbb{R}\), y\(x\) se llama la parte real del par\((x,y)\) ordenado para dar a entender que el conjunto\(\mathbb{R}\) de números reales debe identificarse con el subconjunto\(\{ (x, 0) \ | \ x \in \mathbb{R} \} \subset \mathbb{C}\). También es común utilizar el término\(\textbf{purely imaginary}\) para cualquier número complejo de la forma\((0, y)\), donde\(y \in \mathbb{R}\). En particular, el número complejo\(i = (0, 1)\) es especial, y se llama el\(\textbf{imaginary unit}\). (El uso de\(i\) es estándar al denotar este número complejo, aunque a veces\(j\) se usa si\(i\) significa otra cosa. Por ejemplo,\(i\) se utiliza para denotar corriente eléctrica en Ingeniería Eléctrica.)

Tenga en cuenta que si escribimos\(1 = (1, 0)\), entonces podemos\(z= (x, y)\) expresarnos\(\mathbb{C}\) como

\[ z=(x,y)=x(1,0) + y(0,1)=x 1+y i=x + y i. \]A menudo es significativamente más fácil realizar operaciones aritméticas en números complejos cuando se escriben de esta forma, como ilustramos en la siguiente sección.

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