2.E: Ejercicios para el Capítulo 2

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Ejercicios de cálculo

1. Exprese los siguientes números complejos en el formulario\(x + yi\) para\(x, y \in \mathbb{R}:\)

a)\((2 + 3i) + (4 + i)\)

b)\((2 + 3i)^2 (4 + i)\)

c)\(\frac{2+3i}{4+i}\)

d)\(\frac{1}{i}+\frac{3}{1+i}\)

e)\((−i)^{−1}\)

f)\((−1 + i \sqrt{3})^3\)

2. Calcular las partes reales e imaginarias de las siguientes expresiones, donde\(z\) está el número
complejo\(x + yi\) y\(x, y \in \mathbb{R}:\)

a)\(\frac{1}{z^2}\)

b)\(\frac{1}{3z+2}\)

c)\(\frac{z+1}{2z-5}\)

d)\(z^3\)

3. Encontrar\(r > 0\) y\(\theta \in [0, 2\pi) \) tal que\((1 − i)/ 2 = re^{i \theta}.\)

4. Resuelve las siguientes ecuaciones para\(z\) un número complejo:
(a)\(z^5 − 2 = 0\)
(b)\(z^4 + i = 0\)
(c)\(z^6 + 8 = 0\)
(d)\(z^3 − 4i = 0\)

5. Calcular el
(a) conjugado complejo de la fracción\((3 + 8i)^4 /(1 + i)^10 .\)
(b) conjugado complejo de la fracción\((8 − 2i)^10 /(4 + 6i)^5 .\)
(c) módulo complejo de la fracción (d) módulo complejo de la fracción\(i(2 + 3i)(5 − 2i)/(−2 − i).\)
(d) módulo complejo de la fracción\((2 − 3i)^2 /(8 + 6i)^2 .\)

6. Calcular las partes real e imaginaria:
(a)\(e^{2+i}\)
(b)\(sin(1 + i)\)
(c)\(e^{3−i}\)
(d)\(cos(2 + 3i)\)

7. Calcular la parte real e imaginaria de\(e^{e^{z}}\) for\(z \in \mathbb{C}.\)

Ejercicios de prueba de escritura

1. Dejar\(a \in \mathbb{R}\) y\(z, w \in \mathbb{C}.\) probar que
(a)\( Re(az) = aRe(z)\) y\( Im(az) = aIm(z).\)
(b)\( Re(z + w) = Re(z) + Re(w)\) y\( Im(z + w) = Im(z) + Im(w).\)

2. Vamos\(z \in \mathbb{C}.\) Probar que\( Im(z) = 0\) si y solo si\( Re(z) = z.\)

3. Let\(z, w \in \mathbb{C}.\) Probar la ley del paralelogramo\(|z − w|^2 + |z + w|^2 = 2(|z|^2 + |w|^2).\)

4. Que\(z, w \in \mathbb{C}\) con\(\bar{z}w \neq 1\) tal que cualquiera\(|z| = 1\) o\(|w| = 1.\) Demostrar que\( \left| \frac{z−w}{1 − \bar{z}w} \right| =1. \)

5. Para un ángulo,\(\theta \in [0, 2\pi),\) encuentre el mapa lineal\(f_\theta : \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2\), que describe la rotación por el ángulo\(\theta\) en sentido contrario a las agujas del reloj.

Pista: Para un ángulo dado\(\theta\), encontrar\(a, b, c, d \in \mathbb{R}\) tal que\(f_\theta (x_1 , x_2 ) = (ax_1 +bx_2 , cx_1 +dx_2 ).\)

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