4.1: Definición de espacios vectoriales
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Como hemos visto en el Capítulo 1, un espacio vectorial es un conjunto\(V\) con dos operaciones definidas sobre él: adición de vectores y multiplicación por escalares. Estas operaciones deben satisfacer ciertas propiedades, que estamos a punto de discutir con más detalle. Los escalares se toman de un campo\(\mathbb{F}\), donde para el resto de estas notas\(\mathbb{F}\) se destaca ya sea por los números reales\(\mathbb{R}\) o por los números complejos\(\mathbb{C}\). Los conjuntos\(\mathbb{R}\) y\(\mathbb{C}\) son ejemplos de campos. La definición abstracta de un campo junto con otros ejemplos se pueden encontrar en el Apéndice C.
La adición de vectores se puede considerar como una función\(+:V\times V \to V\) que mapea dos vectores\(u,v\in V\) a su suma\(u+v\in V\). La multiplicación escalar puede describirse de manera similar como una función\(\mathbb{F} \times V \to V\) que mapea un escalar\(a\in \mathbb{F}\) y un vector\(v\in V\) a un nuevo vector\(av \in V\). (Más información sobre este tipo de funciones, también conocidas como operaciones binarias, se puede encontrar en el Apéndice C. Es cuando colocamos las condiciones adecuadas sobre estas operaciones que nos\(V\) convertimos en un espacio vectorial.
Definición 4.1.1. Un espacio vectorial sobre\(\mathbb{F}\) es un conjunto\(V\) junto con las operaciones de suma\(V \times V \to V\) y multiplicación escalar que\(\mathbb{F} \times V \to V\) satisfacen cada una de las siguientes propiedades.
- Conmutatividad:\(u+v=v+u\) para todos\(u,v\in V\);
- Asociatividad:\((u+v)+w= u+(v+w)\) y\((ab) v = a(bv)\) para todos\(u,v,w\in V\) y\(a,b\in\mathbb{F}\);
- Identidad aditiva: Existe un elemento\(0\in V\) tal que\(0+v=v\) para todos\(v\in V\);
- Inversa aditiva: Para cada\(v\in V\), existe un elemento\(w\in V\) tal que\(v+w=0\);
- Identidad multiplicativa:\(1v=v\) para todos\(v\in V\);
- Distributividad:\(a(u+v)=au+av\) y\((a+b)u=au+bu\) para todos\(u,v\in V\) y\(a,b\in\mathbb{F}\).
Un espacio vectorial sobre generalmente\(\mathbb{R}\) se llama espacio vectorial real, y un espacio vectorial sobre\(\mathbb{C}\) se llama de manera similar un espacio vectorial complejo. Los elementos\(v\in V\) de un espacio vectorial se denominan vectores.
Aunque la Definición 4.1.1 pueda parecer una definición extremadamente abstracta, los espacios vectoriales son objetos fundamentales en las matemáticas porque hay innumerables ejemplos de ellos. Deberías esperar ver muchos ejemplos de espacios vectoriales a lo largo de tu vida matemática.
Ejemplo 4.1.2. Considera el conjunto\(\mathbb{F}^n\) de todas\(n\) -tuplas con elementos en\(\mathbb{F}\). Se trata de un espacio vectorial con suma y multiplicación escalar definida por componentes. Es decir, para\(u=(u_1,u_2,\ldots, u_n), v=(v_1,v_2,\ldots,v_n)\in \mathbb{F}^n\) y\(a\in\mathbb{F}\), definimos
\[ \begin{split} u+v &= (u_1+v_1, u_2+v_2, \ldots, u_n+v_n),\\ au &= (au_1, au_2, \ldots, au_n). \end{split} \]
Es fácil verificar que cada propiedad de la Definición 4.1.1 esté satisfecha. En particular, la identidad aditiva\(0=(0,0,\ldots,0)\), y la inversa aditiva de\(u\) es\(-u=(-u_1,-u_2,\ldots,-u_n)\).
Un caso importante del Ejemplo 4.1.2 es\(\mathbb{R}^n\), especialmente cuando\(n=2\) o\(n=3\). Ya hemos visto en el Capítulo 1 que existe una interpretación geométrica para elementos de\(\mathbb{R}^2\) y\(\mathbb{R}^3\) como puntos en el plano euclidiano y el espacio euclidiano, respectivamente.
Ejemplo 4.1.3. Dejado\(\mathbb{F}^\infty\) ser el conjunto de todas las secuencias sobre\(\mathbb{F}\), es decir,
\[ \mathbb{F}^\infty = \{ (u_1, u_2, \ldots) \mid u_j\in\mathbb{F} \rm{~for~} j=\{1,2,\ldots\} \}. \]
La suma y la multiplicación escalar se definen como se espera, a saber,
\[ \begin{split} (u_1, u_2,\ldots)+(v_1, v_2, \ldots) &= (u_1+v_1, u_2+v_2, \ldots),\\a(u_1, u_2,\ldots) &= (au_1, au_2, \ldots). \end{split}\]
Debe verificar que\(\mathbb{F}^\infty\) se convierta en un espacio vectorial bajo estas operaciones.
Ejemplo 4.1.4. ¡Verifica que\(V=\{0\}\) sea un espacio vectorial! (Aquí,\(0\) denota el vector cero en cualquier espacio vectorial).
Ejemplo 4.1.5. Dejar\(\mathbb{F}[z]\) ser el conjunto de todas las funciones polinómicas\(p: \mathbb{F} \to \mathbb{F}\) con coeficientes en\(\mathbb{F}\). Como se discute en el Capítulo 3,\(p(z)\) es un polinomio si existe\(a_0, a_1, \ldots, a_n\in \mathbb{F}\) tal que
\[p(z) = a_n z^n + a_{n-1} z^{n-1} + \cdots + a_1 z + a_0. \tag{4.1.1} \]
La suma y la multiplicación escalar\(\mathbb{F}[z]\) se definen puntualmente como
\[ \begin{split} (p+q)(z) &= p(z)+q(z),\\ (ap)(z) &= ap(z), \end{split}\]
dónde\(p,q\in \mathbb{F}[z]\) y\(a\in \mathbb{F}\). Por ejemplo, si\(p(z)=5z+1\) y\(q(z)=2z^2+z+1\), entonces\((p+q)(z)=2z^2+6z+2\) y\((2p)(z)=10z+2\).
Se puede verificar fácilmente que, bajo estas operaciones,\(\mathbb{F}[z]\) forma un espacio vectorial sobre\(\mathbb{F}\). La identidad aditiva en este caso es el polinomio cero, para lo cual todos los coeficientes son iguales a cero, y la inversa aditiva de\(p(z)\) en la Ecuación (4.1.1) es\(-p(z)=-a_n z^n - a_{n-1} z^{n-1} - \cdots - a_1 z - a_0\).
Ejemplo 4.1.6. Extendiendo Ejemplo 4.1.5, let\(D \subset \mathbb{R}\) ser un subconjunto de\(\mathbb{R}\), y let\(\mathcal{C}(D)\) denotar el conjunto de todas las funciones continuas con domain\(D\) y codomain\(\mathbb{R}\). Entonces, bajo las mismas operaciones de suma puntual y multiplicación escalar, se puede mostrar que\(\mathcal{C}(D)\) también forma un espacio vectorial.