4.2: Propiedades elementales de los espacios vectoriales

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Vamos a probar varias propiedades importantes, pero simples, de los espacios vectoriales. A partir de ahora,\(V\) denotará un espacio vectorial sobre\(\mathbb{F}\).

Proposición 4.2.1. Cada espacio vectorial tiene una identidad aditiva única.

Comprobante. Supongamos que hay dos identidades aditivas\(0\) y\(0'\) Entonces

\[ 0'=0+0'=0, \]

donde la primera igualdad sostiene ya\(0\) es una identidad y la segunda igualdad sostiene desde que\(0'\) es una identidad. De ahí\(0=0'\) que se demuestre que la identidad aditiva es única.

Proposición 4.2.2. Cada uno\(v \in V\) tiene una inversa aditiva única.

Comprobante. Supongamos\(w\) y\(w'\) son inversos aditivos de\(v\) así que\(v+w=0\) y\(v+w'=0\) Entonces

\[ w = w+0 = w+(v+w') = (w+v)+w' = 0+w' =w'. \]

De ahí\(w=w'\), como se desee.

Dado que el inverso aditivo de\(v\) es único, como acabamos de mostrar, a partir de ahora será denotado por También\(-v\) definimos\(w-v\) a significar\(w+(-v)\) Vamos a mostrar, de hecho, en la Proposición 4.2.5 a continuación que\(-v=-1 v\)

Proposición 4.2.3. \(0v = 0\)para todos\(v \in V\).

Obsérvese que el\(0\) del lado izquierdo en la Proposición 4.2.3 es un escalar, mientras que el del\(0\) lado derecho es un vector.

Comprobante. Para\(v\in V\), tenemos por distributividad que

\[ 0v=(0+0)v=0v+0v. \]

Añadiendo la inversa aditiva de\(0v\) a ambos lados, obtenemos

\[ 0 = 0v-0v = (0v+0v)-0v=0v.\]

Proposición 4.2.4. \(a0=0\)para cada\( a \in \mathbb{F}\).

Comprobante. Al igual que en la prueba de la Proposición 4.2.3, si\(a\in \mathbb{F}\), entonces

\[ a0=a(0+0)=a0+a0. \]

Añadiendo el aditivo inverso de\(a0\) a ambos lados, obtenemos\(0=a0\), según se desee.

Proposición 4.2.5. \((-1)v=-v\)para cada\(v \in V\).

Comprobante. Para\(v\in V\), tenemos

\[ v+(-1)v= 1v+(-1)v = (1+(-1))v=0v=0, \]

lo que demuestra que\((-1)v\) es la inversa aditiva\(-v\) de\(v\).

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