6.7: Invertibilidad
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Definición 6.7.1. Un mapa lineal\(T:V\to W \) se llama invertible si existe un mapa lineal\(S:W\to V\) tal que
\[ TS= I_W \quad \text{and} \quad ST=I_V, \]
dónde\(I_V:V\to V \) está el mapa de identidad\(V \) y\(I_W:W \to W \) está el mapa de identidad en\(W \). Decimos que\(S \) es una inversa de\(T \).
Tenga en cuenta que si el mapa lineal\(T \) es invertible, entonces el inverso es único. Supongamos\(S \) y\(R\) son inversos de\(T \). Entonces
\ begin {ecuación*}
\ begin {split}
ST &= I_V = RT,\\
TS &= I_W = TR.
\ end {split}
\ end {equation*}
Por lo tanto,
\[ S = S(TR) = (ST)R = R. \]
Denotamos la inversa única de un mapa lineal invertible\(T \) por\(T^{-1} \).
Proposición 6.7.2. Un mapa lineal\(T\in\mathcal{L}(V,W) \) es invertible si y solo si\(T \) es inyectivo y surytivo.
Comprobante.
\(( "\Longrightarrow" )\)Supongamos que\(T \) es invertible.
Para demostrar que\(T \) es inyectivo, supongamos que\(u,v\in V \) son tales que\(Tu=Tv \). Aplicar la inversa\(T^{-1} \) de\(T \) para obtener\(T^{-1}Tu=T^{-1}Tv \) así que\(u=v \). De ahí\(T \) que sea inyectivo.
Para demostrar que eso\(T \) es surytivo, necesitamos demostrar que, para cada uno\(w\in W \), existe\(v\in V\) tal que\(Tv=w \). Tomar\(v=T^{-1}w \in V \). Entonces\(T(T^{-1}w)=w \). De ahí\(T \) que sea suryectiva.
\(( "\Longleftarrow" )\)Supongamos que\(T \) es inyectivo y surytivo. Tenemos que demostrar que\(T \) es invertible. Definimos un mapa de\(S\in\mathcal{L}(W,V) \) la siguiente manera. Ya que\(T \) es suryectiva, sabemos que, para cada\(w\in W \), existe\(v\in V \) tal que existe\(Tv=w \). Además, dado que\(T \) es inyectivo, esto\(v \) se determina de manera única. De ahí, definir\(Sw=v \).
Afirmamos que\(S \) es la inversa de\(T \). Tenga en cuenta que, para todos\(w\in W \), tenemos\(TSw=Tv=w \) así que\(TS=I_W \). De igual manera\(v\in V \), para todos, tenemos\(STv=Sw=v \) así que\(ST=I_V \).
Ahora nos especializamos en mapas lineales invertibles.
Proposición 6.7.3. Dejar\(T\in{\cal L}(V,W) \) ser invertible. Entonces\(T^{-1}\in {\cal L}(W,V) \).
Comprobante.
Ciertamente\(T^{-1}:W\longrightarrow V \) así solo necesitamos mostrar que\(T^{-1} \) es un mapa lineal. Para todos\(w_1,w_2\in W \), tenemos
\[ T(T^{-1}w_1+T^{-1}w_2) = T(T^{-1}w_1) + T(T^{-1}w_2) = w_1 + w_2,\]
y así\(T^{-1}w_1+T^{-1}w_2 \) es el vector único\(v \) en\(V \) tal que\(Tv=w_1+w_2=w \).
De ahí,
\ begin {ecuación*}
T^ {-1} w_1 + T^ {-1} w_2 = v = T^ {-1} w = T^ {-1} (w_1+w_2).
\ end {equation*}
La prueba que\(T^{-1}(aw)=aT^{-1}w \) es similar. Para\(w\in W \) y\(a\in \mathbb{F} \), tenemos
\ begin {ecuación*}
T (aT^ {-1} w) = a T (T^ {-1} w) = aw
\ end {ecuación*}
así que ese\(aT^{-1}w \) es el vector único en\(V \) que se asigna a\(aw \). De ahí,\(T^{-1}(aw) = aT^{-1}w \).
Ejemplo 6.7.4. El mapa lineal\(T(x,y)=(x-2y,3x+y) \) es a la vez inyectivo, ya\(\kernel(T) = \{0\} \), y suryectivo, ya que\(\range(T) = \mathbb{R}^2 \). De ahí\(T \) que sea invertible por la Proposición 6.7.2.
Definición 6.7.5. Dos espacios vectoriales\(V \) y se\(W \) denominan isomórficos si existe un mapa lineal invertible\(T\in\mathcal{L}(V,W) \).
Teorema 6.7.6. Dos espacios vectoriales finito-dimensionales\(V \) y\(W \) más\(\mathbb{F} \) son isomórficos si y solo si\(\dim(V) = \dim(W) \).
Comprobante.
\(( "\Longrightarrow" )\)Supongamos\(V \) y\(W \) son isomórficos. Entonces existe un mapa lineal invertible\(T\in\mathcal{L}(V,W) \). Ya que\(T \) es invertible, es inyectiva y suryectiva, y así\(\kernel(T) = \{0\} \) y\(\range(T)= W \). Usando la Fórmula Dimensión, esto implica que
\[ \dim(V) = \dim(\kernel(T)) + \dim(\range(T)) = \dim(W). \]
\(( "\Longleftarrow" )\)Supongamos que\(\dim(V) = \dim(W) \). Seamos\((v_1,\ldots,v_n) \) una base de\(V\) y\((w_1,\ldots,w_n) \) ser una base de\(W \). Definir el mapa lineal\(T:V\to W \) como
\[ T(a_1 v_1 + \cdots + a_n v_n) = a_1 w_1 + \cdots + a_n w_n.\]
Dado que los escalares\(a_1,\ldots,a_n\in\mathbb{F} \) son arbitrarios y\((w_1,\ldots,w_n) \) abarca\(W \), esto significa eso\(\range(T)=W \) y\(T \) es suryectiva. También, dado que\((w_1,\ldots, w_n) \) es linealmente independiente,\(T \) es inyectivo (ya que\(a_1 w_1+\cdots+a_n w_n=0 \) implica que todo\(a_1=\cdots=a_n=0 \) y de ahí solo el vector cero se mapea a cero). De ello se deduce que\(T \) es tanto inyectivo como surytivo; por lo tanto, por la Proposición 6.7.2,\(T \) es invertible. Por lo tanto,\(V \) and \(W \) are isomorphic.
Cerramos este capítulo considerando el caso de mapas lineales que tienen igual dominio y codominio. Al igual que en la Definición 6.1.1, un mapa lineal\(T \in \mathcal{L}(V,V) \) se denomina operador lineal encendido\(V \). Como muestra el siguiente teorema notable, las nociones de inyectividad, surjectividad e invertibilidad de un operador lineal\(T \) son las mismas, siempre y cuando\(V \) sea finito-dimensional. Un resultado similar no se mantiene para espacios vectoriales infinito-dimensionales. Por ejemplo, el conjunto de todos los polinomios\(\mathbb{F}[z] \) es un espacio vectorial infinito-dimensional, y vimos que el mapa de diferenciación\(\mathbb{F}[z] \) es surytivo, pero no inyectivo.
Teorema 6.7.7. Dejar\(V \) ser un espacio vectorial finito-dimensional y\(T:V\to V \) ser un mapa lineal. Entonces los siguientes son equivalentes:
- \(T \)es invertible.
- \(T \)es inyectivo.
- \(T \)es suryectiva.
Comprobante.
Por la Proposición 6.7.2, la Parte~1 implica Parte~2.
A continuación mostramos que la Parte~2 implica Parte~3. Si\(T \) es inyectivo, entonces eso lo sabemos\(\kernel(T)=\{0\} \). De ahí que por la Fórmula Dimensión, tenemos
\[ \dim(\range(T)) = \dim(V) - \dim(\kernel(T)) = \dim(V).\]
Ya que\(\range(T) \subset V \) es un subespacio de\(V \), esto implica eso\(\range(T) = V \), y así lo\(T \) es suryectiva.
Finalmente, mostramos que la Parte~3 implica la Parte~1. Ya que\(T \) es suryectiva por suposición, tenemos\(\range(T) = V \). Así, al utilizar de nuevo la Fórmula Dimensión,
\[ \dim(\kernel(T)) = \dim(V) - \dim(\range(T)) = 0, \]
y así\(\kernel(T) = \{0\} \), de la que\(T \) es inyectivo. Por la Proposición 6.7.2, un mapa lineal inyectivo y surytivo es invertible.