8.1: Permutaciones

Las permutaciones aparecen en muchos conceptos matemáticos diferentes, por lo que damos una introducción general a ellos en esta sección.

Definición de permutaciones

Dado un entero positivo\(n \in \mathbb{Z}_{+}\), una permutación de una lista (ordenada) de objetos\(n\) distintos es cualquier reordenación de esta lista. Sin embargo, al describir los propios reordenamientos, la naturaleza de los objetos involucrados es más o menos irrelevante. Por ejemplo, podemos imaginar intercambiar el segundo y tercer elemento en una lista de cinco objetos distintos —sin importar cuáles sean esos elementos— y esto define una permutación particular que se puede aplicar a cualquier lista de cinco objetos.

Dado que la naturaleza de los objetos que se reordenan (es decir, permutados) es inmaterial, es común usar los enteros\(1,2,\ldots,n\) como la lista estándar de\(n\) objetos. Alternativamente, también se puede pensar en estos enteros como etiquetas para los elementos en cualquier lista de elementos\(n\) distintos. Esto da lugar a la siguiente definición.

Definición: Permutación

Una permutación\(\pi\) de\(n\) elementos es una función uno a uno y sobre que tiene el conjunto\(\{1,2,\ldots, n\}\) como su dominio y codominio.

En otras palabras, una permutación es una función\(\pi:\{1, 2, \ldots, n\} \longrightarrow \{1, 2, \ldots, n\}\) tal que, por cada entero\(i \in \{1, \ldots, n\}\), existe exactamente un entero\(j \in \{1, \ldots, n\}\) para el cual\(\pi(j) = i\). Usualmente denotaremos permutaciones por letras griegas como\(\pi\) (pi),\(\sigma\) (sigma) y\(\tau\) (tau). El conjunto de todas las permutaciones de\(n\) elementos se denota por\(\mathcal{S}_{n}\) y normalmente se conoce como el grupo simétrico de grados\(n\). (En particular, el conjunto\(\mathcal{S}_{n}\) forma un grupo bajo composición de funciones como se discute en la Sección 8.1.2).

Dada una permutación\(\pi \in \mathcal{S}_{n}\), hay varias notaciones comunes utilizadas para especificar cómo\(\pi\) permuta los enteros\(1, 2, \ldots, n\). Lo importante a tener en cuenta a la hora de trabajar con estas diferentes notaciones es que\(\pi\) es una función definida en el conjunto finito\(\{1, 2, \ldots, n\}\), siendo utilizada la notación como una práctica mano corta para hacer un seguimiento de cómo\(\pi\) permuta los elementos de este conjunto.

Definición 8.1.2: notación de dos líneas

Dada una permutación\(\pi \in \mathcal{S}_{n}\), denotan\(\pi_{i} = \pi(i)\) para cada uno\(i \in \{1, \ldots, n\}\). Entonces la notación de dos líneas para\(\pi\) viene dada por la\(2 \times n\) matriz

\ [
\ pi =
\ begin {pmatrix}
1 & 2 &\ cdots & n\\
\ pi_ {1} &\ pi_ {2} &\ cdots &\ pi_ {n}
\ end {pmatrix}.
\]

En otras palabras, dada una permutación\(\pi \in \mathcal{S}_{n}\) y un entero\(i \in \{1, \ldots, n\}\), estamos denotando la imagen de\(i\) under\(\pi\) by\(\pi_{i}\) en lugar de usar la notación de función más convencional\(\pi(i)\). Entonces, para especificar la imagen de cada entero\(i \in \{1, \ldots, n\}\) bajo\(\pi\), enumeramos estas imágenes en una matriz de dos líneas como se muestra arriba. (También se puede usar la llamada notación unifilar para\(\pi\), que se da simplemente ignorando la fila superior y escribiendo)\(\pi = \pi_{1}\pi_{2}\cdots\pi_{n}\).

Es importante señalar que, aunque representamos las permutaciones como\(2 \times n\) matrices, no se debe pensar en las permutaciones como transformaciones lineales de un espacio vectorial\(n\) -dimensional a un espacio vectorial bidimensional. Además, la operación de composición sobre permutación que describimos en la Sección 8.1.2 siguiente no corresponde a la multiplicación matricial. El uso de la notación matricial para denotar permutaciones no es más que una cuestión de conveniencia.

Ejemplo\(\PageIndex{3}\):

Supongamos que tenemos un conjunto de cinco objetos distintos y que deseamos describir la permutación que coloca el primer ítem en la segunda posición, el segundo ítem en la quinta posición, el tercer ítem en la primera posición, el cuarto ítem en la tercera posición, y el quinto ítem en el cuarto posición. Entonces, usando la notación desarrollada anteriormente, tenemos la permutación\(\pi \in \mathcal{S}_{5}\) tal que

\ [
\ pi_ {1} =\ pi (1) = 3,\ quad
\ pi_ {2} =\ pi (2) = 1,\ quad
\ pi_ {3} =\ pi (3) = 4,\ quad
\ pi_ {4} =\ pi (4) = 5,\ quad
\ pi_ {5} =\ pi (5) = 2.
\]

En notación de dos líneas, escribiríamos\(\pi\) como
\ [
\ pi =
\ begin {pmatrix}
1 & 2 & 3 & 4 & 5\\
3 & 1 & 4 & 4 & 5 & 2
\ end {pmatrix}.
\]

Es relativamente sencillo encontrar el número de permutaciones de\(n\) elementos, es decir, determinar la cardinalidad del conjunto\(\mathcal{S}_{n}\). Para construir una permutación arbitraria de\(n\) elementos, podemos proceder de la siguiente manera: Primero, elija un entero\(i \in \{1, \ldots, n\}\) para poner en la primera posición. Claramente, tenemos opciones exactamente\(n\) posibles. A continuación, elige el elemento para ir en la segunda posición. Como ya hemos elegido un elemento del conjunto\(\{1, \ldots, n\}\), ahora quedan exactamente las opciones\(n - 1\) restantes. Procediendo de esta manera, tenemos\(n - 2\) opciones a la hora de elegir el tercer elemento del conjunto\(\{1, \ldots, n\}\), luego\(n - 3\) elecciones al elegir el cuarto elemento, y así sucesivamente hasta que nos quede exactamente una opción para el\(n^{\rm th}\) elemento. Esto prueba el siguiente teorema.

Teorema 8.1.4

El número de elementos en el grupo simétrico\(\mathcal{S}_{n}\) viene dado por

\ [
|\ mathcal {S} _ {n} | = n\ cdot (n-1)\ cdot (n-2)\ cdot\,\ cdot\,\ cdot 3\ cdot 2\ cdot 1
= n!
\]

Concluimos esta sección con varios ejemplos, incluyendo una descripción completa de la permutación en\(\mathcal{S}_{1}\), las dos permutaciones en\(\mathcal{S}_{2}\), y las seis permutaciones en\(\mathcal{S}_{3}\). Para tu propia práctica, debes (pacientemente) intentar enumerar las\(4! = 24\) permutaciones en\(\mathcal{S}_{4}\).

Ejemplo\(\PageIndex{5}\):

1. Dado cualquier entero positivo\(n \in \mathbb{Z}_{+}\), la función de identidad\(\mbox{id}:\{1, \ldots, n\} \longrightarrow \{1, \ldots, n\}\) dada por\(\mbox{id}(i) = i\),\(\forall \ i \in \{1, \ldots, n\}\), es una permutación en\(\mathcal{S}_{n}\). Esta función puede pensarse como el reordenamiento trivial que no cambia en absoluto el orden, y así lo llamamos la permutación trivial o de identidad.
2. Si\(n = 1\), entonces, por el Teorema 8.1.4,\(|\mathcal{S}_{n}| =1! = 1\). Así,\(\mathcal{S}_{1}\) contiene sólo la permutación de identidad.
3. Si\(n = 2\), entonces, por el Teorema 8.1.4,\(|\mathcal{S}_{n}| = 2! = 2 \cdot 1 = 2\). Así, solo hay una permutación no trivial\(\pi\) en\(\mathcal{S}_{2}\), a saber, la transformación que intercambia el primer y el segundo elementos en una lista. Como función,\(\pi(1) = 2\) y, y\(\pi(2) = 1\), en notación de dos líneas,

\ [
\ pi
=
\ begin {pmatrix}
1 & 2\\
\ pi_ {1} &\ pi_ {2}
\ end {pmatrix}
=
\ begin {pmatrix}
1 & 2\\
2 & 1
\ end {pmatrix}.
\]

4. Si\(n = 3\), entonces, por el Teorema 8.1.4,\(|\mathcal{S}_{n}| = 3! = 3 \cdot 2 \cdot 1 = 6\). Así, hay cinco permutaciones no triviales en\(\mathcal{S}_{3}\).

Usando notación de dos líneas, tenemos que
\ [
\ mathcal {S} _ {3}
=
\ left\ {
\ begin {pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 1 & 2 & 3\ end {pmatrix},
\ begin {pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 1 & 3 & 2\ end {pmatrix},
\ begin {pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 2 & 1 & 3\ end {pmatrix},
\ begin {pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 2 & 3 & 1\ end {pmatrix},
\ begin {pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 3 & 1 & 2\ end {pmatrix},
\ begin {pmatrix} 1 & 2 & 3\ 3 & 2 & 1\ end {pmatrix}
\ derecha\}
\]

Tenga en cuenta el hecho de que cada elemento en\(\mathcal{S}_{3}\) es simultáneamente una función y una operación de reordenamiento. Por ejemplo, la permutación

\ [
\ pi
=
\ begin {pmatrix}
1 & 2 & 3\
\ pi_ {1} &\ pi_ {2} &\ pi_ {3}
\ end {pmatrix}
=
\ begin {pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 2 & 3 & 1\ end {pmatrix}
\]

se puede leer como definiendo el reordenamiento que, con respecto a la lista original, coloca el segundo elemento en la primera posición, el tercer elemento en la segunda posición y el primer elemento en la tercera posición. Esta permutación también podría haber sido identificada al describir su acción en la lista (ordenada) de letras\(a,b,c\). En otras palabras,

\ [
\ begin {pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 2 & 3 & 1\ end {pmatrix}
=
\ begin {pmatrix} a & b & c\\ b & c & a\ end {pmatrix},
\]

independientemente de lo que\(a, b, c\) puedan representar las letras.

Composición de las permutaciones

Dejar\(n \in \mathbb{Z}_{+}\) ser un entero positivo y\(\pi,\sigma \in \mathcal{S}_{n}\) ser permutaciones. Entonces, ya que\(\pi\) y\(\sigma\) son ambas funciones desde el conjunto\(\{1,\ldots, n\}\) a sí mismo, podemos componerlas para obtener una nueva función\(\pi \circ \sigma\) (leída como ``pi después de sigma”) que tome los valores

\ [
(\ pi\ circ\ sigma) (1) =\ pi (\ sigma (1)),\ quad
(\ pi\ circ\ sigma) (2) =\ pi (\ sigma (2)),\ quad
\ ldots\ quad
(\ pi\ circ\ sigma) (n) =\ pi (\ sigma (n)).
\]

En notación de dos líneas, podemos escribir\(\pi \circ \sigma\) como

\ [
\ begin {pmatrix}
1 & 2 &\ cdots & n\\
\ pi (\ sigma (1)) &\ pi (\ sigma (2)) &\ cdots &\ pi (\ sigma (n))
\ end {pmatrix}
\ mbox {o}
\ begin {pmatrix}
1 & 2 &\ cdots & n\\
\ pi_ {\ sigma (1)} &\ pi_ {\ sigma (2)} &\ cdots &\ pi_ {\ sigma (n)}
\ end {pmatrix}
\ mbox {o}
\ begin {pmatrix}
1 & 2 &\ cdots & n\\\ pi_ {
\ sigma_ {1}} &\ pi_ {\ pi_ {\ sigma_ {2}} &\ cdots &\ pi_ {\ sigma_ {n}}
\ end {pmatrix}.
\]

Ejemplo\(\PageIndex{6}\):

De\(\mathcal{S}_{3}\), supongamos que tenemos las permutaciones\(\pi\) y\(\sigma\) dadas por

\ [
\ pi (1) = 2,\\ pi (2) = 3,\\ pi (3) = 1
\ sigma (1) = 1,\\ sigma (2) = 3,\\ sigma (3) = 2.
\]

Entonces tenga en cuenta que

\ [
(\ pi\ circ\ sigma) (1) =\ pi (\ sigma (1)) =\ pi (1) = 2,
\]
\ [
(\ pi\ circ\ sigma) (2) =\ pi (\ sigma (2)) =\ pi (3) = 1,
\]
\ [
(\ pi\ circ\ sigma) (3) =\ pi (\ sigma (3) =\ pi (2) = 3.
\]

En otras palabras,

\ [
\ begin {pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 2 & 3 & 1\ end {pmatrix}
\ circ
\ begin {pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 1 & 3 & 2\ end {pmatrix}
=
\ begin {pmatrix} 1 & 2 & 3\\ pi (1) &\ pi (3) &\ pi (2)\ end {pmatrix}
=
\ begin {pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 2 & 1 & 3\ end {pmatrix}.
\]

Cómputos similares (que debe verificar para su propia práctica) producen composiciones como

\ [
\ begin {pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 1 & 3 & 2\ end {pmatrix}
\ circ
\ begin {pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 2 & 3 & 1\ end {pmatrix}
=
\ begin {pmatrix} 1 & 2 & 3\\ sigma (2) &\ sigma (3) &\ sigma (1)\ end { pmatrix}
=
\ begin {pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 3 & 2 & 1\ end {pmatrix},
\]

\ [
\ begin {pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 2 & 3 & 1\ end {pmatrix}
\ circ
\ begin {pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 1 & 2 & 3\ end {pmatrix}
=
\ begin {pmatrix} 1 & 2 & 3\\ sigma (1) &\ sigma (2) &\ sigma (3)\ end { pmatrix}
=
\ begin {pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 2 & 3 & 1\ end {pmatrix},
\]

y

\ [
\ begin {pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 1 & 2 & 3\ end {pmatrix}
\ circ
\ begin {pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 2 & 3 & 1\ end {pmatrix}
=
\ begin {pmatrix} 1 & 2 & 3\\ mbox {id} (2) &\ mbox {id} (3) &\ mbox {id} (1)\ end {pmatrix}
=
\ begin {pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 2 & 3 & 1\ end {pmatrix}.
\]

En particular, señalar que el resultado de cada composición anterior es una permutación, esa composición no es una operación conmutativa, y esa composición con\(\mbox{id}\) deja una permutación inalterada. Además, dado que cada permutación\(\pi\) es una biyección, siempre se puede construir una permutación inversa\(\pi^{-1}\) tal que\(\pi \circ \pi^{-1} = \mbox{id}\). Por ejemplo,

\ [
\ begin {pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 2 & 3 & 1\ end {pmatrix}
\ circ
\ begin {pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 3 & 1 & 2\ end {pmatrix}
=
\ begin {pmatrix} 1 & 2 & 3\\ pi (3) &\ pi (1) &\ pi (2)\ end {pmatrix}
=
\ begin {pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 1 & 2 & 3\ end {pmatrix}.
\]

Resumimos las propiedades básicas de la composición sobre el grupo simétrico en el siguiente teorema.

Teorema 8.1.7 Let\(n \in \mathbb{Z}_{+}\) Ser un entero positivo. Entonces el conjunto\(\mathcal{S}_{n}\) tiene las siguientes propiedades:

1. Dadas dos permutaciones cualesquiera\(\pi, \sigma \in \mathcal{S}_{n}\), la composición\(\pi \circ \sigma \in \mathcal{S}_{n}\).
2. (Asociatividad de la composición) Dadas tres permutaciones cualesquiera\(\pi, \sigma, \tau \in \mathcal{S}_{n}\),\[ (\pi \circ \sigma) \circ \tau = \pi \circ (\sigma \circ \tau).\]
3. (Elemento de identidad para la composición) Dada cualquier permutación\(\pi \in \mathcal{S}_{n}\),\[ \pi \circ \mbox{id} = \mbox{id} \circ \pi = \pi. \]
4. (Elementos inversos para la composición) Dada cualquier permutación\(\pi \in \mathcal{S}_{n}\), existe una permutación única\(\pi^{-1} \in \mathcal{S}_{n}\) tal que\[ \pi \circ \pi^{-1} = \pi^{-1} \circ \pi = \mbox{id}. \]

Es decir, el conjunto\(\mathcal{S}_{n}\) forma un grupo bajo composición.

Obsérvese que la composición de las permutaciones no es conmutativa en general. En particular, para\(n \geq 3\), es fácil encontrar permutaciones\(\pi\) y\(\sigma\) tal que\(\pi\circ\sigma\neq \sigma\circ\pi\).

Las inversiones y el signo de una permutación

Dejar\(n \in \mathbb{Z}_{+}\) ser un entero positivo. Entonces, dada una permutación\(\pi \in \mathcal{S}_{n}\), es natural preguntarse cómo\(\pi\) está ``fuera de orden” en comparación con la permutación de identidad. Un método para cuantificar esto es contar el número de los llamados pares de inversión,\(\pi\) ya que estos describen pares de objetos que están fuera de orden entre sí.

Definición 8.1.8. Que \(\pi \in \mathcal{S}_{n}\)sea una permutación. Entonces un par\((i, j)\) de inversión de\(\pi\) es un par de enteros positivos \(i, j \in \{1, \ldots, n\}\)para los cuales\(i < j\) pero\(\pi(i) > \pi(j)\). Obsérvese, en particular, que los componentes de un par de inversión son las posiciones donde ocurren los dos elementos ``fuera de orden”.

Ejemplo 8.1.9. Clasificamos todos los pares de inversión para elementos en\(\mathcal{S}_{3}\):

• \(\mbox{id} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 3 \end{pmatrix}\)no tiene pares de inversión ya que ningún elemento está ``fuera de orden”.
• \(\pi = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 2 \end{pmatrix}\)tiene el par de inversión única\((2, 3)\) desde entonces\(\pi(2) = 3 > 2 = \pi(3)\).
• \(\pi = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 3 \end{pmatrix}\)tiene el par de inversión única\((1, 2)\) desde entonces\(\pi(1) = 2 > 1 = \pi(2)\).
• \(\pi = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \end{pmatrix}\)tiene los dos pares de inversión\((1, 3)\) y\((2, 3)\) ya que tenemos que ambos\(\pi(1) = 2 > 1 = \pi(3)\) y\(\pi(2) = 3 > 1 = \pi(3)\).
• \(\pi = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2 \end{pmatrix}\)tiene los dos pares de inversión\((1, 2)\) y\((1, 3)\) ya que tenemos que ambos\(\pi(1) = 3 > 1 = \pi(2)\) y\(\pi(1) = 3 > 2 = \pi(3)\).
• \(\pi = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 2 & 1 \end{pmatrix}\)tiene los tres pares de inversión\((1, 2)\),\((1, 3)\), y\((2, 3)\), como se puede comprobar.

Ejemplo\(\PageIndex{1}\): Example 8.1.10

Como otro ejemplo, para cada uno\(i, j \in \{1, \ldots, n\}\) con\(i < j\), definimos la transposición\(t_{i j} \in \mathcal{S}_{n}\) por

\ [
t_ {i j}
=
\ begin {pmatrix}
1 & 2 &\ cdots & i &\ cdots & j &\ cdots &\ cdots & n\\
1 & 2 &\ cdots & j &\ cdots &\ cdots & n\
\ end {pmatrix}.
\]

En otras palabras,\(t_{i j}\) es la permutación que intercambia\(i\) y\(j\) mientras deja fijos todos los demás enteros en su lugar. Se puede comprobar que el número de inversiones pares en\(t_{i j}\) es exactamente\(2(j - i) - 1\). Así, el número de inversiones en una transposición siempre es impar. Por ejemplo,

\[ t_{1 3}=\begin{pmatrix}1 & 2 & 3 & 4 \\ 3 & 2 & 1 & 4\end{pmatrix} \]

tiene pares de inversión\((1, 2)\),\((1, 3)\), y\((2, 3)\).

A los efectos de utilizar permutaciones en Álgebra Lineal, la significación de los pares de inversión se debe principalmente a la siguiente definición fundamental.

Definiciones: Permutaciones pares e impares

Que\(\pi \in \mathcal{S}_{n}\) sea una permutación. Entonces el signo de\(\pi\), denotado por\(\mbox{sign}(\pi)\), se define por

\ [
\ mbox {signo} (\ pi) = (-1) ^ {\ #\; {\ rm de}\; {\ rm inversión}
\; {\ rm pares}\; {\ rm in}\;\ pi} =
\ begin {casos}
+1, &\ mbox {si el número de inversiones en}\ pi
\ mbox {es par}\\
-1, &\ mbox {si el número de inversiones en}\ pi
\ mbox {es impar}\\
\ end {casos}.
\]

Llamamos a\(\pi\) una permutación par si\(\mbox{sign}(\pi) = +1\), mientras que\(\pi\) se llama una permutación impar if\(\mbox{sign}(\pi) = -1\).

Ejemplo\(\PageIndex{12}\)

Con base en los cálculos del Ejemplo 8.1.9 anterior, tenemos que

\ [
\ mbox {signo}
\ begin {pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 1 & 2 & 3\ end {pmatrix}
=
\ mbox {signo}
\ begin {pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 2 & 3 & 1\ end {pmatrix}
=
\ mbox {signo}
\ begin { pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 3 & 1 & 2\ end {pmatrix}
=
+1
\]

y que

\ [
\ mbox {signo}
\ begin {pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 1 & 3 & 2\ end {pmatrix}
=
\ mbox {signo}
\ begin {pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 2 & 1 & 3\ end {pmatrix}
=
\ mbox {signo}
\ begin { pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 3 & 2 & 1\ end {pmatrix}
=
-1.
\]

De igual manera, del Ejemplo 8.1.10 se deduce que cualquier transposición es una permutación impar.

Resumimos algunas de las propiedades más básicas de la operación del signo en el grupo simétrico en el siguiente teorema.

Teorema 8.1.13.

Dejar\(n \in \mathbb{Z}_{+}\) ser un entero positivo. Entonces,

1. para\(\mbox{id} \in \mathcal{S}_{n}\) la permutación de identidad,\[ \mbox{sign}(\mbox{id}) = +1. \]
2. para\(t_{i j} \in \mathcal{S}_{n}\) una transposición con\(i, j \in \{1, \ldots, n\}\)\(i < j\) y

\ begin {ecuación}
\ mbox {signo} (t_ {i j}) = -1.
\ label {eqn:sign_transposition}\ tag {8.1.1}
\ end {ecuación}

3. dadas dos permutaciones cualesquiera\(\pi, \sigma \in \mathcal{S}_{n}\),

\ begin {eqnarray}
\ mbox {signo} (\ pi\ circ\ sigma) & = &\ mbox {signo} (\ pi)\,\ mbox {signo} (\ sigma)
\ label {eqn:sign_product},\ tag {8.1.2}\\
\ mbox {signo} (\ pi^ {-1}) & = &\ mbox {signo} (\ pi).
\ label {eqn:sign_inverse}\ tag {8.1.3}
\ end {eqnarray}

4. el número de permutaciones pares en\(\mathcal{S}_{n}\), cuando\(n \geq 2\), es exactamente\(\frac{1}{2}n!\).

5. el conjunto\(A_{n}\) de permutaciones pares en\(\mathcal{S}_{n}\) forma un grupo bajo composición.

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