8.2: Determinantes

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Ahora que hemos desarrollado el material de fondo apropiado sobre las permutaciones, finalmente estamos listos para definir el determinante y explorar sus muchas propiedades importantes.

Sumaciones indexadas por el conjunto de todas las permutaciones

Dado un entero positivo\(n \in \mathbb{Z}_{+}\), comenzamos con la siguiente definición:

Definición 8.2.1: determinante

Dada una matriz cuadrada\(A = (a_{i j}) \in \mathbb{F}^{n \times n}\), el determinante de\(A\) se define como

\ begin {ecuación}
\ det (A) =
\ suma_ {\ pi\,\ in\,\ mathcal {S} _ {n}}
\ mbox {signo} (\ pi) a_ {1,\ pi (1)} a_ {2,\ pi (2)}\ cdots a_ {n,\ pi (n)}\,,
\ label {eqn:det} final
\ {ecuación}

donde la suma está sobre todas las permutaciones de\(n\) elementos (es decir, sobre el grupo simétrico).

Tenga en cuenta que cada permutación en la suma de la Ecuación\ ref {eqn:det} permuta las\(n\) columnas de la\(n\times n\) matriz.

Ejemplo 8.2.2

Supongamos que\(A \in \mathbb{F}^{2 \times 2}\) es la\(2\times 2\) matriz

\ begin {ecuación*}
A =\ begin {bmatrix} a_ {11} & a_ {12}\\ a_ {21} & a_ {22}\ end {bmatrix}.
\ end {ecuación*}

Solución

Para calcular el determinante de\(A\), primero enumeramos las dos permutaciones en\(S_2\):

\ begin {ecuación*}
\ mathrm {id} =\ begin {pmatrix} 1 & 2\\ 1 & 2\ end {pmatrix}
\ qquad\ text {y}\ qquad
\ sigma =\ begin {pmatrix} 1 & 2\\ 2 & 1\ end {pmatrix}.
\ end {ecuación*}

La permutación\(\mathrm{id}\) tiene signo\(1\), y la permutación\(\sigma\) tiene signo\(-1\). Así, el determinante de\(A\) viene dado por

\ begin {ecuación*}
\ det (A) = a_ {11} a_ {22} - a_ {12} a_ {21}.
\ end {ecuación*}

Si uno intentara calcular determinantes directamente usando la Ecuación\ ref {eqn:det}, entonces uno necesitaría resumir\(n!\) términos, donde cada suma es en sí mismo un producto de\(n\) factores. Este es un método increíblemente ineficiente para encontrar determinantes ya que\(n!\) aumenta de tamaño muy rápidamente a medida que\(n\) aumenta, por ejemplo,\(10!=3628800\). Así, incluso si pudieras calcular una suma por segundo sin parar, aún te llevaría más de un mes calcular el determinante de una\(10 \times 10\) matriz usando la ecuación\ ref {eqn:det}. Afortunadamente, existen propiedades del determinante (como se resume en la Sección 8.2.2 a continuación) que pueden ser utilizadas para reducir en gran medida el tamaño de dichos cálculos. Estas propiedades del determinante se derivan de propiedades generales que se mantienen para cualquier suma tomada sobre el grupo simétrico, las cuales a su vez se basan en propiedades de permutaciones y el hecho de que la suma y la multiplicación son operaciones conmutativas en el campo\(\mathbb{F}\) (que, como de costumbre, nosotros tomar para ser cualquiera\(\mathbb{R}\) o\(\mathbb{C}\)).

Let\(T:\mathcal{S}_{n} \to V\) Ser una función definida en el grupo simétrico\(\mathcal{S}_{n}\) que toma valores en algún espacio vectorial\(V\). Por ejemplo,\(T(\pi)\) podría ser el término correspondiente a la permutación\(\pi\) en la Ecuación\ ref {eqn:det}. Entonces, como la suma\[ \sum_{\pi \, \in \, \mathcal{S}_{n}} T(\pi) \] es finita, somos libres de reordenar los summands. Es decir, la suma es independiente del orden en que se agregan los términos, por lo que somos libres de permutar el orden de término sin afectar el valor de la suma. Algunos reordenamientos de tales sumas de uso común son los siguientes:

\ begin {eqnarray}
\ sum_ {\ pi\,\ in\,\ mathcal {S} _ {n}} T (\ pi)
& = &\ sum_ {\ pi\,\ in\,\ mathcal {S} _ {n}} T (\ sigma\ circ\ pi)
\ label {eqn:sum_composition}\\
& = &\ sum_ {\ pi\,\ in\,\ mathcal {S} _ {n}} T (\ pi\ circ\ sigma)
\ etiqueta {eqn:suma_producto}\\
& = &\ suma_ {\ pi\,\ in\,\ mathcal {S} _ {n}} T (\ pi^ {-1}),
\ label {eqn:sum_inverse}
\ end {eqnarray}

donde\(\sigma\) es una permutación fija.

La ecuación\ ref {eqn:sum_inverse} se desprende del hecho de que, si\(\pi\) se ejecuta a través de cada permutación\(\mathcal{S}_{n}\) exactamente una vez, entonces de\(\sigma \circ \pi\) manera similar corre a través de cada permutación pero en un orden potencialmente diferente. Es decir, la acción de\(\sigma\) sobre algo así como Ecuación\ ref {eqn:det} es que\(\sigma\) simplemente permuta las permutaciones que indexan los términos. Dicho de otra manera, existe una correspondencia uno a uno entre las permutaciones en general y las permutaciones compuestas con\(\sigma\).

Razonamiento similar se mantiene para Ecuaciones\ ref {8.2.3} y\ ref {8.2.4}.

Propiedades del Determinante

A continuación resumimos algunas de las propiedades más básicas del determinante. La prueba del siguiente teorema utiliza las propiedades de las permutaciones, las propiedades de la función de signo sobre las permutaciones y las propiedades de las sumas sobre el grupo simétrico como se discutió en la Sección 8.2.1 anterior. Al pensar en estas propiedades, es útil tener en cuenta que, usando la ecuación\ ref {eqn:det}, el determinante de una\(n \times n\) matriz\(A\) es la suma sobre todas las formas posibles de seleccionar\(n\) entradas de\(A\), donde exactamente se selecciona un elemento de cada fila y de cada columna de \(A\).

Teorema 8.2.3

Dejar\(n \in \mathbb{Z}_{+}\) ser un entero positivo, y supongamos que\(A = (a _{i j}) \in \mathbb{F}^{n\times n}\) es una\(n \times n\) matriz. Entonces:

1. \(\det(0_{n \times n}) = 0\)y\(\det(I_{n}) = 1\), donde\(0_{n \times n}\) denota la matriz\(n \times n\) cero y\(I_{n}\) denota la matriz de\(n \times n\) identidad.

2. \(\det(A^T)=\det(A)\), donde\(A^T\) denota la transposición de\(A\).

3. denotando por\(A^{(\cdot, 1)}, A^{(\cdot, 2)}, \ldots, A^{(\cdot, n)} \in \mathbb{F}^n\) las columnas de\(A\),\(\det(A)\) es una función lineal de columna\(A^{(\cdot, i)}\), para cada una\(i\) en\(\{1, \ldots, n\}\). En otras palabras, si denotamos\[ A = \left[ A^{(\cdot, 1)} \mid A^{(\cdot, 2)} \mid \cdots \mid A^{(\cdot, n)} \right] \] entonces, dado cualquier escalar\(z\) adentro\(\mathbb{F}\) y cualquier vector\(a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}, c ,b \in \mathbb{F}^n\),

\[ \begin{eqnarray*} \det \left[ a_1 \mid \cdots \mid a_{i-1} \mid z a_{i} \mid \cdots \mid a_n \right] & = & z \det \left[ a_1 \mid \cdots \mid a_{i-1} \mid a_{i} \mid \cdots \mid a_n \right], \\ \det \left[ a_1 \mid \cdots \mid a_{i-1} \mid b+c \mid \cdots \mid a_n \right] & = & \det \left[ a_1 \mid \cdots \mid b \mid \cdots \mid a_n \right] + \det \left[ a_1 \mid \cdots \mid c \mid \cdots \mid a_n \right]. \end{eqnarray*} \]

4. \(\det(A)\)es una función antisimétrica de las columnas de\(A\). En otras palabras, dado cualquier número entero positivo\(1\leq i<j\leq n\) y denotando\(A = \left[ A^{(\cdot, 1)} \mid A^{(\cdot, 2)} \mid \cdots \mid A^{(\cdot, n)} \right]\),\[ \det(A) = - \det \left[ A^{(\cdot, 1)} \mid \cdots \mid A^{(\cdot, j)} \mid \cdots \mid A^{(\cdot, i)} \mid \cdots \mid A^{(\cdot, n)} \right]. \]

5. si\(A\) tiene dos columnas idénticas,\(\det(A) = 0\).

6. si\(A\) tiene una columna de ceros's,\(\det(A) = 0\).

7. Las propiedades 3-6 también se mantienen cuando se utilizan filas en lugar de columnas.

8. dada cualquier otra matriz\(B \in \mathbb{F}^{n\times n}\),\[ \det(A B) =\det(A)\;\det(B).\]

9. si\(A\) es triangular superior o triangular inferior,\[ \det(A) = a_{1 1} a_{2 2} \cdots a_{n n}.\]

Prueba

Primero, tenga en cuenta que las Propiedades 1, 3, 6 y 9 siguen directamente de la suma dada en la Ecuación\ ref {eqn:det}. Además, la Propiedad 5 sigue directamente de la Propiedad 4, y la Propiedad 7 sigue directamente de la Propiedad 2. Por lo tanto, solo necesitamos probar las Propiedades 2, 4 y 8.

Prueba de 2: Dado que las entradas de\(A^T\) se obtienen de las de\(A\) intercambiando los índices de fila y columna, se deduce que\(\det(A^T)\) viene dada por

\ [
\ det (A^T) =\ suma_ {\ pi\,\ in\,\ mathcal {S} _ {n}}
\ mbox {signo} (\ pi)\; a_ {\ pi (1) ,1} a_ {\ pi (2) ,2}\ cdots
a_ {\ pi (n), n}\,.
\]

Usando la conmutatividad del producto en\(\mathbb{F}\) y la Ecuación (8.1.3), vemos que

\ [
\ det (A^T) =\ suma_ {\ pi\,\ in\,\ mathcal {S} _ {n}}
\ mbox {signo} (\ pi^ {-1})\; a_ {1,\ pi^ {-1} (1)} a_ {2,\ pi^ {-1} (2)}
\ cdots a_ {n,\ pi^ {-1} (n)}\,,
\]

que es igual\(\det(A)\) por Ecuación\ ref {8.2.5}.

Prueba de 4:\(B=\left[ A^{(\cdot, 1)} \mid \cdots \mid A^{(\cdot, j)} \mid \cdots \mid A^{(\cdot, i)} \mid \cdots \mid A^{(\cdot, n)} \right]\) Sea la matriz obtenida de\(A\) intercambiando la\(i\) th y la\(j\) th columna. Entonces tenga en cuenta que

\ [\ det (B) =\ suma_ {\ pi\,\ in\,\ mathcal {S} _ {n}}
\ mbox {signo} (\ pi)\; a_ {1,\ pi (1)}\ cdots
a_ {j,\ pi (i)}\ cdots a_ {i,\ pi (j)}\ cdots a_ {n,\ pi ()}\,.
\]

Definir\(\tilde{\pi}=\pi\circ t_{i j}\), y anotar eso\(\pi=\tilde{\pi}\circ t_{i j}\). En particular,\(\pi(i)=\tilde{\pi}(j)\) y\(\pi(j)=\tilde{\pi}(i)\), de la cual
\ [\ det (B) =\ sum_ {\ pi\,\ in\,\ mathcal {S} _ {n}}
\ mbox {signo} (\ tilde {\ pi}\ circ t_ {i j})\; a_ {1,
\ tilde {\ pi} (1)}\ cdots a_ {i,\ tilde {\ pi} (i)}\ cdots
a_ {j,\ tilde {\ pi} (j)}\ cdots a_ {n,\ tilde {\ pi} (n)}\,.
\]

De las Ecuaciones (8.1.1) y (8.1.2) se desprende que\(\mbox{sign}(\tilde{\pi}\circ t_{i j}) = -\mbox{sign}\;(\tilde{\pi})\). Así, usando la Ecuación\ ref {8.2.4}, obtenemos\(\det(B) = -\det(A)\).

Prueba de 8: Usando la expresión estándar para las entradas matriciales del producto\(AB\) en términos de las entradas matriciales de\(A=(a_{i j})\) y\(B=(b_{i j})\), tenemos que

\ begin {eqnarray*}
\ det (AB)
& = &
\ sum_ {\ pi\,\ in\,\ mathcal {S} _ {n}}\ mbox {signo} (\ pi)\ suma_ {k_1=1} ^n\ cdots\ suma_ {k_n=1} ^n
a_ {1, k_1} b_ {k_1,\ pi (1)}\ cdots a_ {n, k_n} b_ {k_n,\ pi (n)}
\\
& = &
\ sum_ {k_1=1} ^n\ cdots\ suma_ {k_n=1} ^n a_ {1, k_1}\ cdots a_ {n, k_n}
\ suma_ {\ pi\,\ in\,\ mathcal {S} _ {n}}\ mbox {signo}\ ;(\ pi) b_ {k_1,\ pi (1)}\ cdots b_ {k_n,\ pi (n)}.
\ end {eqnarray*}

Obsérvese que\(k_1, \ldots, k_n \in \{1, \ldots, n\}\), para fijo, la suma\(\sum_{\pi \, \in \, \mathcal{S}_{n}} \mbox{sign}\;(\pi) b_{k_1,\pi(1)}\cdots b_{k_n,\pi(n)}\) es el determinante de una matriz compuesta por filas\(k_1,\ldots, k_n\) de\(B\). Así, por la propiedad 5, se deduce que esta expresión se desvanece a menos que los\(k_i\) sean distintos por pares. En otras palabras, la suma sobre todas las opciones de\(k_1, \ldots, k_n \) puede restringirse a aquellos conjuntos de índices\(\sigma(1),\ldots , \sigma(n)\) que están etiquetados por una permutación\(\sigma\in\mathcal{S}_n\). En otras palabras,

\ [
\ det (AB) =\ suma_ {\ sigma\,\ in\,\ mathcal {S} _ {n}} a_ {1,\ sigma (1)}\ cdots
a_ {n,\ sigma (n)}\ suma_ {\ pi\,\ in\,\ mathcal {S} _ _ {n}}\ mbox {signo} (\ pi)\;
b_ {\ sigma (1),\ pi (1)}\ cdots b_ {\ sigma (n),\ pi (n)}\,.
\]

Ahora, procediendo con los mismos argumentos que en la prueba de Propiedad 4 pero con el papel de\(t_{i j}\) sustituido por una permutación arbitraria\(\sigma\), obtenemos

\ [
\ det (AB) =\ suma_ {\ sigma\,\ in\,\ mathcal {S} _ {n}}\ mbox {signo} (\ sigma)\;
a_ {1,\ sigma (1)}\ cdots a_ {n,\ sigma (n)}\ sum_ {\ pi\,\ in\,\ mathcal {S} _ {n}}
\ mbox {firmar} (\ pi\ circ\ sigma^ {-1})\;
b_ {1,\ pi\ circ\ sigma^ {-1} (1)}\ cdots
b_ {n,\ pi\ circ\ sigma ^ {-1} (n)}\,.
\]

Usando la ecuación (8.2.4), esta última expresión se convierte entonces\((\det(A))(\det(B))\).

Obsérvese que las Propiedades 3 y 4 del Teorema 8.2.3 resumen efectivamente cómo la multiplicación por una Matriz Elemental interactúa con la operación determinante. Estas Propiedades junto con la Propiedad 9 facilitan el cálculo numérico de determinantes para matrices muy grandes.

\(\square\)

Otras propiedades y aplicaciones

Hay muchas aplicaciones del Teorema 8.2.3. Concluimos estas notas con algunas consecuencias que son particularmente útiles a la hora de computar con matrices. En particular, utilizamos el determinante para enumerar varias caracterizaciones para la invertibilidad de la matriz y, como corolario, damos un método para usar determinantes para calcular valores propios. Debe proporcionar una prueba de estos resultados para su propio beneficio.

Teorema 8.2.4

Dejar\(n \in \mathbb{Z}_{+}\) y\(A \in \mathbb{F}^{n\times n}\). Entonces las siguientes declaraciones son equivalentes:

1. \(A\)es invertible.
2. denotando\(x = \begin{bmatrix} x_{1} \\ \vdots \\ x_{n} \end{bmatrix}\), la ecuación matricial\(A x = 0\) tiene sólo la solución trivial\(x = 0\).
3. denotando\(x = \begin{bmatrix} x_{1} \\ \vdots \\ x_{n} \end{bmatrix}\), la ecuación matricial\(A x = b\) tiene una solución para todos\(b = \begin{bmatrix} b_{1} \\ \vdots \\ b_{n} \end{bmatrix} \in \mathbb{F}^{n}\).
4. \(A\)se puede factorizar en un producto de matrices elementales.
5. \(\det(A) \neq 0\).
6. las filas (o columnas) de\(A\) forman un conjunto linealmente independiente en\(\mathbb{F}^{n}\).
7. cero no es un valor propio de\(A\).
8. el operador lineal\(T : \mathbb{F}^{n} \to \mathbb{F}^{n}\) definido por\(T(x) = A x\), para cada\(x \in \mathbb{F}^{n}\), es biyective.

Además, debería\(A\) ser invertible, entonces\[ \det(A^{-1}) = \frac{1}{\det(A)}.\]

Dada una matriz\(A \in \mathbb{C}^{n\times n}\) y un número complejo\(\lambda \in \mathbb{C}\), la expresión

\[ P(\lambda) = \det(A - \lambda I_{n}) \]

se llama el polinomio característico de\(A\). Tenga en cuenta que\(P(\lambda)\) es un polinomio de grado independiente de base\(n\). Así, al igual que con el determinante, podemos\(P(\lambda)\) considerar estar asociados con el mapa lineal que tiene matriz\(A\) con respecto a alguna base. Dado que los valores propios de\(A\) son exactamente aquellos\(\lambda \in \mathbb{C}\) tales que\(A - \lambda I\) no son invertibles, lo siguiente es entonces un corolario inmediato.

Corolario 8.2.5

Las raíces del polinomio\(P(\lambda)=\det (A-\lambda I)\) son exactamente los valores propios de\(A\).

Determinantes informáticos con expansiones de cofactores

Como se señala en la Sección 8.2.1, generalmente no es práctico computar determinantes directamente con la Ecuación (8.2.1). En esta sección, describimos brevemente las llamadas expansiones cofactoriales de un determinante. Cuando se aplican correctamente, las expansiones de cofactores son particularmente útiles para calcular determinantes a mano.

Definición 8.2.6: Cofactores

Dejar\(n \in \mathbb{Z}_{+}\) y\(A \in \mathbb{F}^{n\times n}\). Entonces, para cada uno\(i, j \in \{ 1, 2, \ldots, n \}\), el\(i\) -\(j\) menor de\(A\)\(M_{i j}\), denotado, se define como el determinante de la matriz obtenida quitando la\(i^{\text{th}}\) fila y\(j^{\text{th}}\) columna de\(A\). Además, el\(i\) -\(j\) cofactor de\(A\) se define como

\[ A_{i j} = (-1)^{i + j}M_{i j}. \]

Los cofactores en sí mismos, sin embargo, no son terriblemente útiles a menos que se armen de la manera correcta.

Definición8.2.7: Expansión del cofactor

Dejar\(n \in \mathbb{Z}_{+}\) y\(A = (a_{i j}) \in \mathbb{F}^{n\times n}\). Entonces, para cada uno\(i, j\) en\(\{ 1, 2, \ldots, n \}\), la\(i^{\text{th}}\) fila (resp. \(j^{\text{th}}\)columna) cofactor expansión de\(A\) es la suma\({\displaystyle \sum_{j = 1}^{n} a_{i j} A_{i j}}\) (resp. \({\displaystyle \sum_{i = 1}^{n} a_{i j} A_{i j}}\)).

Teorema 8.2.8

Dejar\(n \in \mathbb{Z}_{+}\) y\(A \in \mathbb{F}^{n\times n}\). Entonces cada expansión de factor de fila y columna de\(A\) es igual al determinante de\(A\).

Dado que el determinante de una matriz es igual a cada expansión de cofactor de fila o columna, se puede calcular el determinante usando una elección conveniente de expansiones hasta que el cálculo se reduzca a uno o más\(2 \times 2\) determinantes. Cerramos con un ejemplo.

Ejemplo\(\PageIndex{9}\)

Al expandirnos primero a lo largo de la segunda columna, obtenemos

\ [
\ izquierda|\ begin {array} {rrrr}
1 & 2 & -3 & 4\\
-4 & 2 & 1 & 3\\
3 & 0 & 0 & 0 & -3\\
2 & 0 & 2 & 3\\
\ end {array}
\ derecha|
=
(-1) ^ { 1 + 2} (2)
\ izquierda|\ begin {array} {rrrr}
-4 & 1 & 3\\
3 & 0 & -3\\
2 & -2 & 3\
\ end {array}
\ derecha|
+
(-1) ^ {2 + 2} (2)
\ izquierda|\ begin {array} {rrrr}
1 & -3 & 4\\
3 & 0 & -3\\
2 & -2 & 3\\
\ end {array}
\ derecha|.
\]

Entonces, cada uno de los\(3 \times 3\) determinantes resultantes se puede calcular por expansión adicional:

\ [
\ izquierda|
\ begin {array} {rrrr}
-4 & 1 & 3\\
3 & 0 & -3\\
2 & -2 & 3\
\ end {array}
\ derecha|
=
(-1) ^ {1 + 2} (1)
\ izquierda|
\ begin {array} {rrrr}
3 y -3\\
2 & 3\\
\ end {array}
\ derecha|
+
(-1) ^ {3 + 2} (-2)
\ izquierda|
\ begin {array} {rrrr}
-4 & 3\\
3 y -3\\
\ end {array}
\ right|
= -15 + 6
= -9.
\]

\ [
\ izquierda|
\ begin {array} {rrrr}
1 & -3 & 4\\
3 & 0 & -3\\
2 & -2 & 3\
\ end {array}
\ derecha|
=
(-1) ^ {2 + 1} (3)
\ izquierda|
\ begin {array} {rrrr}
-3 & 4\\
-2 & 3\\
\ end {array}
\ derecha|
+
(-1) ^ {2 + 3} (-3)
\ izquierda|
\ begin {array} {rrrr}
1 & -3\\
2 & -2\\
\ end {array}
\ derecha|
= 3 + 12
= 15.
\]

De ello se deduce que el determinante original es entonces igual a\(-2(-9) + 2(15) = 48\).

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