10.2: Cambio de Transformación de Bases

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Recordemos que podemos asociar una matriz\(A\in \mathbb{F}^{n\times n}\) a cada operador\(T\in\mathcal{L}(V,V)\). Más precisamente, la\(j^{\text{th}}\) columna de la matriz\(A=M(T)\) con respecto a una base\(e=(e_1,\ldots,e_n)\) se obtiene expandiendo\(Te_j\) en términos de la base\(e\). Si la base\(e\) es ortonormal, entonces el coeficiente de\(e_i\) es solo el producto interno del vector con\(e_i\).
Por lo tanto,

\ begin {ecuación*}
M (T) = (\ inner {te_j} {e_i}) _ {1\ le i, j\ le n},
\ end {equation*}
donde\(i\) está el índice de fila y\(j\) es el índice de columna de la matriz.

Por el contrario, si\(A\in \mathbb{F}^{n\times n}\) es una matriz, entonces podemos asociar un operador lineal\(T\in\mathcal{L}(V,V)\) a\(A\) estableciendo
\ begin {ecuation*}
\ begin {split}
Tv &=\ sum_ {j=1} ^n\ inner {v} {e_j} te_j
=\ sum_ {j=1} ^n\ sum_ {i=1} ^n\ inner {te_j} {e_i}\ inner {v} {e_j} e_i\\
&=\ suma_ {i=1} ^n\ izquierda (\ suma_ {j=1} ^n a_ {ij}\ interior {v} {e_j}\ derecha) e_i
=\ suma_ {i=1} (A [v] _e) _i e_i,
\ end {split}
\ end {ecuación*}

donde\((A[v]_e)_i\) denota el\(i^{\text{th}}\) componente del vector de columna\(A [v]_e\). Con esta construcción, tenemos\(M(T)=A\).
Los coeficientes de\(Tv\) en la base\((e_1,\ldots,e_n)\) son registrados por el vector de columna obtenido multiplicando la\(n\times n\) matriz\(A\) por el vector de\(n\times 1\) columna\([v]_e\) cuyos componentes\(([v]_e)_j=\inner{v}{e_j}\).

Ejemplo 10.2.1. Dado

\ begin {ecuation*}
A =\ begin {bmatrix} 1 & -i\\ i & 1\ end {bmatrix},
\ end {ecuación*}

podemos definir\(T\in \mathcal{L}(V,V)\) con respecto a la base canónica de la siguiente manera:

\ begin {ecuation*}
T\ begin {bmatrix} z_1\\ z_2\ end {bmatrix} =\ begin {bmatrix} 1&-i\\ i&1\ end {bmatrix}
\ begin {bmatrix} z_1\\ z_2\ end {bmatrix} =\ begin {bmatrix} z_1 -iz_2\\ iz_1+z_2\ end {bmatrix}.
\ end {ecuación*}

Supongamos que queremos usar otra base ortonormal\(f=(f_1,\ldots,f_n)\) para\(V\). Entonces, como antes, tenemos\(v = \sum_{i=1}^n \inner{v}{f_i} f_i.\) Comparando esto con\(v = \sum_{j=1}^n \inner{v}{e_j} e_j\), encontramos que

\ begin {ecuación*}
v =\ suma_ {i, j=1} ^n\ interior {\ interior {v} {e_j} e_j} {f_i} f_i
=\ suma_ {i=1} ^n\ izquierda (\ suma_ {j=1} ^n\ interior {e_j} {f_i}\ interior {v} {e_j}\ derecha) f_i.
\ final {ecuación*}

Por lo tanto,

\ begin {ecuación*}
[v] _f = S [v] _e,
\ end {ecuación*}

donde

\ begin {ecuación*}
S =( s_ {ij}) _ {i, j=1} ^n\ qquad\ texto {con\(s_{ij}=\inner{e_j}{f_i}\).}
\ end {ecuación*}

La\(j^{\text{th}}\) columna de\(S\) viene dada por los coeficientes de la expansión de\(e_j\) en términos de la base\(f=(f_1,\ldots,f_n)\). La matriz\(S\) describe un mapa lineal en\(\mathcal{L}(\mathbb{F}^n)\), que se llama el cambio de transformación de base.

También podemos intercambiar el papel de las bases\(e\) y\(f\). En este caso, obtenemos la
matriz\(R=(r_{ij})_{i,j=1}^n\), donde
\ begin {equation*}
r_ {ij} =\ inner {f_j} {e_i}.
\ end {ecuación*}

Entonces, por la singularidad de la expansión en una base, obtenemos
\ begin {ecuación*}
[v] _e = R [v] _f
\ end {ecuación*}
para que
\ begin {ecuación*}
RS [v] _e = [v] _e,\ qquad\ text {para todos\(v\in V\).}
\ end {ecuación*}

Dado que esta ecuación es cierta para todos\([v]_e\in \mathbb{F}^n\), se deduce que\(RS=I\) o bien\(R=S^{-1}\). En particular,\(S\) y\(R\) son invertibles. También podemos verificar esto explícitamente usando las propiedades de las bases ortonormales. A saber,
\ begin {ecuación*}
\ begin {split}
(RS) _ {ij} &=\ suma_ {k=1} ^n r_ {ik} s_ {kj} =\ suma_ {k=1} ^n\ inner {f_k} {e_i}\ inner {e_j} {f_k}\\
&=\ sum_ {k=1} ^n\ inner {e_j}} {f_k}\ overline {\ inner {e_i} {f_k}}
=\ interior {[e_j] _f} {[e_i] _f} _ _ {\ mathbb {F} ^n} =\ delta_ {ij}.
\ end {split}
\ end {ecuación*}

Matrix\(S\) (y de manera similar también\(R\)) tiene la interesante propiedad de que sus columnas son ortonormales entre sí. Esto se deduce del hecho de que las columnas son las coordenadas de vectores ortonormales con respecto a otra base ortonormal. Una declaración similar se mantiene para las filas de\(S\) (y de manera similar también\(R\)).

Ejemplo 10.2.2. Dejar\(V=\mathbb{C}^2\), y elegir las bases ortonormales\(e=(e_1,e_2)\) y\(f=(f_1,f_2)\) con
\ begin {align*}
e_1 &=\ begin {bmatrix} 1\\ 0\ end {bmatrix}, &
e_2 &=\ begin {bmatrix} 0\\ 1\ end {bmatrix},\\
f_1 &=\ frac {1} {\ sqrt {2}}\ begin {bmatrix} 1\\ 1\ end {bmatrix}, &
f_2 &=\ frac {1} {\ sqrt {2}}\ begin {bmatrix} -1\\ 1\ end {bmatrix}.
\ end {align*}
Luego
\ begin {ecuación*}
S =\ begin {bmatrix}\ inner {e_1} {f_1} &\ inner {e_2} {f_1} {f_1}
\\ inner {e_1} {f_2} &\ inner {e_2} {f_2}\ end {bmatrix}
=\ frac {1} {\ sqrt {2}}\ begin {bmatrix} 1 & 1\\ -1 & 1\ end {bmatrix}
\ end {ecuación*}
y
\ begin {ecuación*}
R =\ begin {bmatrix}\ inner {f_1} {e_1} {e_1} &\ inner {f_2} {e_1}
\\ inner {f_1} {e_2} &\ inner {f_2} {e_2}\ end {bmatrix}
= \ frac {1} {\ sqrt {2}}\ begin {bmatrix} 1 & -1\\ 1 & 1\ end {bmatrix}.
\ end {ecuation*}
Entonces se puede verificar explícitamente que efectivamente
\ begin {ecuation*}
RS =\ frac {1} {2}\ begin {bmatrix} 1 & -1\\ 1 & 1\ end {bmatrix}
\ begin {bmatrix} 1 & 1\\ -1 & 1\ end {bmatrix}
= \ begin {bmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1\ end {bmatrix} = I.
\ end {ecuación*}

Hasta el momento solo hemos discutido cómo el vector de coordenadas de un vector dado\(v\in V\) cambia bajo el cambio de base de\(e\) a\(f\). La siguiente pregunta que podemos hacer es cómo\(T\in \mathcal{L}(V)\) cambia la matriz\(M(T)\) de un operador si cambiamos la base. \(A\)Sea la matriz de\(T\) con respecto a la base\(e=(e_1,\ldots,e_n)\), y que\(B\) sea la matriz para\(T\) con respecto a la base\(f=(f_1,\ldots,f_n)\). ¿Cómo determinamos\(B\) a partir de\(A\)? Tenga en cuenta que

\ begin {ecuación*}
[Tv] _e = A [v] _e
\ end {ecuación*}
para que
\ comience {ecuación*}
[Tv] _f = S [Tv] _e = SA [v] _e = SAR [v] _f = SAS^ {-1} [v] _f.
\ end {ecuación*}

Esto implica que
\ begin {ecuación*}
B = SAS^ {-1}.
\ end {ecuación*}

Ejemplo 10.2.3. Continuando Ejemplo 10.2.2, vamos
\ begin {ecuation*}
A =\ begin {bmatrix} 1 & 1\\ 1 & 1\ end {bmatrix}
\ end {equation*}
sea la matriz de un operador lineal con respecto a la base\(e\). Entonces la matriz\(B\) con respecto a la base\(f\) viene dada por
\ begin {ecuation*}
B = SAS^ {-1} =\ frac {1} {2}\ begin {bmatrix} 1 & 1\\ -1 & 1\ end {bmatrix}
\ begin {bmatrix} 1 & 1\\ end {bmatrix}
\ begin {bmatrix} 1 & -1\ \ 1 & 1\ end {bmatrix}
=\ frac {1} {2}\ begin {bmatrix} 1 & 1\\ -1 & 1\ end {bmatrix}
\ begin {bmatrix}\ begin {bmatrix} 2 & 0\\ end {bmatrix}
=\ begin {bmatrix} 2 & 0\\ 0 & 0\ end {bmatrix}.
\ end {ecuación*}

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