12.1: De sistemas lineales a ecuaciones matriciales

Comenzamos esta sección revisando la definición y notación de matrices. Luego revisamos varias convenciones diferentes para denotar y estudiar sistemas de ecuaciones lineales, siendo la más fundamental como una ecuación de matriz única. Este punto de vista tiene una larga historia de exploración, y numerosos dispositivos computacionales, incluidos varios lenguajes de programación de computadoras, se han desarrollado y optimizado específicamente para analizar ecuaciones matriciales.

A.1.1 Definición y notación para matrices

Dejar\(m, n \in \mathbb{Z}_{+}\) ser enteros positivos, y, como de costumbre, dejar\(\mathbb{F}\) denotar cualquiera\(\mathbb{R}\) o\(\mathbb{C}\). Luego comenzamos definiendo una\(m \times n\) matriz\(A\) para que sea una matriz rectangular de números

\[ A = (a_{i j})_{i,j=1}^{m,n} = (A^{(i, j)})_{i,j=1}^{m,n} = \,
\left.
\begin{bmatrix}
a_{1 1} & \cdots & a_{1 n} \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
a_{m 1} & \cdots & a_{m n}
\end{bmatrix}
\right\}
m \mbox{ numbers}
\hspace{-5.675cm}
\underbrace{
\phantom{
\begin{bmatrix}
a & a & a & a_{a_{a}}\\
a & a & a\\
a & a & a\\
a & a & a\\
\end{bmatrix}
}
}_{\textstyle n \mbox{ numbers}}
\]

donde cada elemento\(a_{i j} \in \mathbb{F}\) de la matriz se llama una entrada de\(A\) (específicamente,\(a_{i j}\) se llama la\(i, j\) entrada ``”). Decimos que\(i\) indexa las filas de\(A\) como va sobre el conjunto\(\{1, \ldots, m\}\) y que\(j\) indexa las columnas de\(A\) como va sobre el conjunto\(\{1, \ldots, n\}\). También decimos que la matriz\(A\) tiene tamaño\(m \times n\) y notamos que es una secuencia (finita) de números doblemente subíndices para los que los dos subíndices de ninguna manera dependen uno del otro.

Definición A.1.1. Dados enteros positivos\(m, n \in \mathbb{Z}_{+}\), usamos\(\mathbb{F}^{m \times n}\) para denotar el conjunto de todas las\(m \times n\) matrices que tienen entradas sobre\(\mathbb{F}.\)

Ejemplo A.1.2. La matriz\( A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 \\ -1 & 3 & i \end{bmatrix} \in \mathbb{C}^{2 \times 3}\), pero\(A \notin \mathbb{R}^{2 \times 3}\) dado que la entrada "\(2,3\)“'de no\(A\) está en\(\mathbb{R}.\)

Dada la ubicuidad de las matrices tanto en la matemática abstracta como en la aplicada, se ha desarrollado un rico vocabulario para describir diversas propiedades y características de las matrices. Además, también hay un rico conjunto de notaciones equivalentes. Para los efectos de estas notas, utilizaremos la notación anterior a menos que el tamaño de la matriz se entienda desde el contexto o no sea importante. En este caso, dejaremos caer gran parte de esta notación y denotaremos una matriz simplemente como

\[ A = (a_{i j}) \mbox{ or } A = (a_{i j})_{m \times n}. \]

Para tener una idea del vocabulario esencial, supongamos que tenemos una\(m \times n\) matriz\(A = (a_{i j})\) con\(m = n\). Entonces llamamos a\(A\) una matriz cuadrada. Los elementos\(a_{1 1}, a_{2 2}, \ldots, a_{n n}\) en una matriz cuadrada forman la diagonal principal de\(A\), y los elementos\(a_{1 n}, a_{2, n-1}, \ldots, a_{n 1}\) forman lo que a veces se llama la diagonal principal sesgada de\(A\). Las entradas que no están en la diagonal principal también se denominan a menudo entradas fuera de la diagonal, y una matriz cuyas entradas fuera de la diagonal son todas cero se denomina matriz diagonal. Es común llamar a\(a_{1 2}, a_{2 3}, \ldots, a_{n-1,n}\) la superdiagonal de\(A\) y\(a_{2 1}, a_{3 2}, \ldots, a_{n,n-1}\) la subdiagonal de\(A\). La motivación para esta terminología debe ser clara si crea una matriz cuadrada de muestra y traza las entradas dentro de estas subsecuencias particulares de la matriz.

Las matrices cuadradas son importantes porque son fundamentales para las aplicaciones del Álgebra Lineal. En particular, prácticamente todos los usos del Álgebra Lineal implican matrices cuadradas directamente o las emplean de alguna manera indirecta. Además, prácticamente todos los usos también implican la noción de vector, donde aquí nos referimos a una\(m \times 1\) matriz (a.k.a.~un vector de columna) o una\(1 \times n\) matriz (a.k.a. un vector de fila).

Ejemplo A.1.3. Supongamos que\(A = (a_{i j})\)\(B = (b_{i j})\)\(C = (c_{ij})\),\(D = (d_{i j})\),, y\(E = (e_{i j})\) son las siguientes matrices sobre\(\mathbb{F}\):

\[ A = \left[
\begin{array}{r}
3 \\
-1 \\
1
\end{array}
\right]\hspace{-.1cm},\hspace{.1cm}
B =
\left[
\begin{array}{rr}
4 & -1 \\
0 & 2
\end{array}
\right]\hspace{-.1cm},\hspace{.1cm}
C =
\left[
\begin{array}{rrr}
1, & 4, & 2
\end{array}
\right]\hspace{-.1cm},\hspace{.1cm}
D =
\left[
\begin{array}{rrr}
1 & 5 & 2 \\
-1 & 0 & 1 \\
3 & 2 & 4
\end{array}
\right]\hspace{-.1cm},\hspace{.1cm}
E =
\left[
\begin{array}{rrr}
6 & 1 & 3 \\
-1 & 1 & 2 \\
4 & 1 & 3
\end{array}
\right]\hspace{-.1cm}.
\]

Entonces decimos que\(A\) es una\(3 \times 1\) matriz (a.k.a.~un vector de columna),\(B\) es una matriz\(2 \times 2\) cuadrada,\(C\) es una\(1 \times 3\) matriz (a.k.a. un vector de fila), y ambas\(D\) y\(E\) son\(3 \times 3\) matrices cuadradas. Además, solo\(B\) es una matriz triangular superior (como se define a continuación), y ninguna de las matrices en este ejemplo son matrices diagonales.

Podemos discutir entradas individuales en cada matriz. Por ejemplo,

1. la\(2^{\text{th}}\) fila de\(D\) es\(d_{2 1} = -1\),\(d_{2 2} = 0\), y\(d_{2 3} = 1\).
2. la diagonal principal de\(D\) es la secuencia\(d_{1 1} = 1, d_{2 2} = 0, d_{3 3} = 4\).
3. la diagonal principal sesgada de\(D\) es la secuencia\(d_{1 3} = 2, d_{2 2} = 0, d_{3 1} = 3\).
4. las entradas fuera de diagonal de\(D\) son (por fila)\(d_{1 2}\)\(d_{1 3}\),\(d_{2 1}\),\(d_{2 3}\),\(d_{3 1}\), y\(d_{3 2}\).
5. la\(2^{\text{th}}\) columna de\(E\) es\(e_{1 2} = e_{2 2} = e_{3 2} = 1\).
6. la superdiagonal de\(E\) es la secuencia\(e_{1 2} = 1, e_{2 3} = 2\).
7. la subdiagonal de\(E\) es la secuencia\(e_{2 1} = -1, e_{3 2} = 1\).

Una matriz cuadrada\(A = (a_{i j}) \in \mathbb{F}^{n \times n}\) se llama triangular superior (resp. triangular inferior) si\(a_{i j} = 0\) por cada par de enteros\(i,j \in \{1, \ldots, n\}\) tal que\(i > j\) (resp. \(i < j\)). En otras palabras,\(A\) es triangular si tiene la forma

\[
\begin{bmatrix}
a_{1 1} & a_{1 2} & a_{1 3} & \cdots & a_{1 n} \\
0 & a_{2 2} & a_{2 3} & \cdots & a_{2 n} \\
0 & 0 & a_{3 3} & \cdots & a_{3 n} \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & 0 & \cdots & a_{n n}
\end{bmatrix}
\ \
\text{or}
\ \
\begin{bmatrix}
a_{1 1} & 0 & 0 & \cdots & 0 \\
a_{2 1} & a_{2 2} & 0 & \cdots & 0 \\
a_{3 1} & a_{3 2} & a_{3 3} & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{n 1} & a_{n 2} & a_{n 3} & \cdots & a_{n n}
\end{bmatrix}.
\]

Tenga en cuenta que una matriz diagonal es simultáneamente una matriz triangular superior y una matriz triangular inferior.

Dos ejemplos particularmente importantes de matrices diagonales se definen de la siguiente manera: Dado cualquier entero positivo\(n \in \mathbb{Z}_{+}\), podemos construir la matriz de identidad\(I_{n}\) y la matriz cero\(0_{n \times n}\) estableciendo

\[
I_{n} =
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & \cdots & 0 & 0 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\
0 & 0 & 0 & \cdots & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 1 \\
\end{bmatrix}
\mbox{ and }
0_{n \times n} =
\begin{bmatrix}
0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\
0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\
\end{bmatrix},
\]

donde cada una de estas matrices se entiende como una matriz cuadrada de tamaño\(n \times n\). La matriz cero\(0_{m \times n}\) se define análogamente para cualquiera\(m, n \in \mathbb{Z}_{+}\) y tiene tamaño\(m \times n\). Es decir,

\[
0_{m \times n} =
\left.
\begin{bmatrix}
0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\
0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\
\end{bmatrix}
\right\}
m \mbox{ rows}
\hspace{-5.675cm}
\underbrace{
\phantom{
\begin{bmatrix}
a & a & a & a_{a_{a}} & a_{a} \\
a & a & a\\
a & a & a\\
a & a & a\\
a & a & a\\
a & a & a\\
a & a & a\\
\end{bmatrix}
}
}_{\textstyle n \mbox{ columns}}
\]

A.1.2 Uso de matrices para codificar sistemas lineales

Dejar\(m, n \in \mathbb{Z}_{+}\) ser enteros positivos. Entonces un sistema de ecuaciones\(m\) lineales en\(n\) incógnitas\(x_{1}, \ldots, x_{n}\) parece

\ begin {ecuación}
\ label {EQN:GenericLinearSystem}
\ left.
\ begin {alineado}
a_ {1 1} x_ {1} + a_ {1 2} x_ {2} + a_ {1 3} x_ {3} +\ cdots + a_ {1 n} x_ {n} & = b_ {1}\\
a_ {2 1} x_ {1} + a_ {2} x_ {2} + a_ {2} + a_ {2} + a_ {2} + a_ {2} + a_ {2} + a_ {2}} x_ {3} +\ cdots + a_ {2 n} x_ {n} & =
b_ {2}\\ a_ {3 1} x_ {1} + a_ {3 2} x_ {2} + a_ {3} x_ {3} +\ cdots + a_ {3 n} x_ {n} & = b_ {3}\\
&\\,\ vdots\\
a_ {m 1} x_ {1} + a_ {m 2} x_ {2} + a_ {m 3} x_ {3} +\ cdots + a_ {m n} x_ {n} & = b_ {m}
\ end {alineado}
\ derecho\},\ tag {A.1.1}
\ end {ecuación}

donde cada uno\(a_{i j}, b_{i} \in \mathbb{F}\) es un escalar para\(i = 1, 2, \ldots, m\) y\(j = 1, 2, \ldots, n\). En otras palabras, cada escalar\(b_{1}, \ldots, b_{m} \in \mathbb{F}\) se escribe como una combinación lineal de las incógnitas\(x_{1}, \ldots, x_{n}\) usando coeficientes del campo\(\mathbb{F}\). Resolver Sistema (A.1.1) significa describir el conjunto de todos los valores posibles para\(x_{1}, \ldots, x_{n}\) (cuando se consideran escalares en\(\mathbb{F}\)) tal que cada una de\(m\) las ecuaciones en el Sistema (A.1.1) se satisfaga simultáneamente.

En lugar de tratar directamente con un sistema lineal dado, a menudo es conveniente codificar primero el sistema usando notación menos engorrosa. Específicamente, System (A.1.1) se puede resumir usando exactamente tres matrices. Primero, recogemos los coeficientes de cada ecuación en la\(m \times n\) matriz\(A = (a_{i j}) \in \mathbb{F}^{m \times n}\), a la que llamamos la matriz de coeficientes para el sistema lineal. De manera similar, ensamblamos las incógnitas\(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\) en un vector de\(n \times 1\) columna\(x = (x_{i}) \in \mathbb{F}^{n}\), y los lados\(b_{1}, b_{2}, \ldots, b_{m}\) de la derecha de la ecuación se utilizan para formar un vector de\(m \times 1\) columna\(b = (b_{i}) \in \mathbb{F}^{m}\). En otras palabras,

\[
A =
\begin{bmatrix}
a_{1 1} & a_{1 2} & \cdots & a_{1 n} \\
a_{2 1} & a_{2 2} & \cdots & a_{2 n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{m 1} & a_{m 2} & \cdots & a_{m n}
\end{bmatrix}, \ \
x =
\begin{bmatrix}
x_{1}\\
x_{2}\\
\vdots\\
x_{n}
\end{bmatrix},
\text{ and }
b =
\begin{bmatrix}
b_{1}\\
b_{2}\\
\vdots\\
b_{m}
\end{bmatrix}.
\]

Entonces el lado izquierdo de la\(i^{\text{th}}\) ecuación en Sistema (A.1.1) se puede recuperar tomando el producto punto (también conocido como producto interno euclidiano) de\(x\) con la\(i^{\text{th}}\) fila en\(A\):

\[
\begin{bmatrix}
a_{i 1} & a_{i 2} & \cdots & a_{i n}
\end{bmatrix}
\cdot x
=
\sum_{j = 1}^{n} a_{i j}x_{j}
=
a_{i 1}x_{1} + a_{i 2}x_{2} + a_{i 3}x_{3} + \cdots + a_{i n}x_{n}.
\]

En general, podemos extender el producto punto entre dos vectores para formar el producto de dos matrices cualesquiera (como en la Sección A.2.2). Para los efectos de esta sección, sin embargo, basta con definir simplemente el producto de la matriz\(A \in \mathbb{F}^{m \times n}\) y el vector\(x \in \mathbb{F}^{n}\) a ser

\ begin {ecuación}
\ label {eqn:matrixvectorProduct}
Ax =
\ begin {bmatrix}
a_ {1 1} & a_ {1 2} &\ cdots &
a_ {1 n}\\ a_ {2 1} & a_ {2 2} &
\ cdots & a_ {2 n}\\ vdots &\ vdots\\
a_ {m 1} & a_ {m 2} &\ cdots & a_ {m n}
\ end {bmatrix}
\ begin {bmatrix}
x_ {1}\\
x_ {2}\\
\ vdots\\
x_ {n}
\ end {bmatrix}
=
\ begin {bmatrix}
a_ {1 1} x_ {1} + a_ {1 2} x_ {2} +\ cdots + a_ {1 n} x_ {n}\\
a _ {2 1} x_ {1} + a_ {2 2} x_ {2} +\ cdots + a_ {2 n} x_ {n}\\
\ vdots\\
a_ {m 1} x_ {1} + a_ {m 2} x_ {2} +\ cdots + a_ {m n} x_ {n}\
\ end {bmatrix}. \ tag {A.1.2}
\ fin {ecuación}

Entonces, dado que cada entrada en el vector de\(m \times 1\) columna resultante\(Ax \in \mathbb{F}^{m}\) corresponde exactamente al lado izquierdo de cada ecuación en System (A.1.1), hemos codificado efectivamente System (A.1.1) como la ecuación de matriz única

\ begin {ecuación}
Ax =
\ begin {bmatrix}
a_ {1 1} x_ {1} + a_ {1 2} x_ {2} +\ cdots + a_ {1 n} x_ {n}\\
a_ {2 1} x_ {1} + a_ {2 2} x_ {2} +\ cdots + a_ {2 n} x_ {n}\\
\ vdots\\
a_ {m 1} x_ {1} + a_ {m 2} x_ {2} +\ cdots + a_ {m n} x_ {n}\\
\ end {bmatrix}
=
\ begin {bmatrix}
b_ {1}\\
\ vdots\\
b_ {m}
\ end {bmatrix}
= b.\ tag {A.1.3}
\ end {ecuación}

Ejemplo A.1.4. El sistema lineal
\[
\left.
\begin{array}{rrrrrrrrrrrr}
x_{1} & + & 6 x_{2} & ~ & ~ & ~ & + & 4 x_{5} & - & 2 x_{6} & = & 14 \\
~ & ~ & ~ & ~ & x_{3} & ~ & + & 3 x_{5} & + & x_{6} & = & -3 \\
~ & ~ & ~ & ~ & ~ & x_{4} & + & 5 x_{5} & + & 2 x_{6} & = & 11
\end{array}
\right\}.
\]

tiene tres ecuaciones e involucra las seis variables\(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{6}\). Se puede comprobar que las posibles soluciones a este sistema incluyen

\[
\begin{bmatrix}
x_{1} \\
x_{2} \\
x_{3} \\
x_{4} \\
x_{6} \\
x_{6}
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
14 \\
0 \\
-3 \\
11 \\
0 \\
0
\end{bmatrix}
\text{ and }
\begin{bmatrix}
x_{1} \\
x_{2} \\
x_{3} \\
x_{4} \\
x_{6} \\
x_{6}
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
6 \\
1 \\
-9 \\
-5 \\
2 \\
3
\end{bmatrix}.
\]

Tenga en cuenta que, al describir estas soluciones, hemos utilizado las seis incógnitas\(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{6}\) para formar el vector de\(6 \times 1\) columna\(x = (x_{i}) \in \mathbb{F}^{6}\). Podemos formar de manera similar la matriz de coeficientes\(A \in \mathbb{F}^{3 \times 6}\) y el vector de\(3 \times 1\) columna\(b \in \mathbb{F}^{3}\), donde

\[ A =
\begin{bmatrix}
1 & 6 & 0 & 0 & 4 & -2 \\
0 & 0 & 1 & 0 & 3 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 5 & 2
\end{bmatrix}
\text{ and }
\begin{bmatrix}
b_{1} \\
b_{2} \\
b_{3}
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
14 \\
-3 \\
11
\end{bmatrix}.
\]

Debe verificar que, dadas estas matrices, cada una de las soluciones dadas anteriormente satisface la Ecuación (A.1.3).

Cerramos esta sección mencionando otras convenciones comunes para codificar sistemas lineales. Específicamente, en lugar de intentar resolver la Ecuación (A.1.1) directamente, uno puede mirar el problema equivalente de describir todos los coeficientes\(x_{1}, \ldots, x_{n} \in \mathbb{F}\) para los que se satisface la siguiente ecuación vectorial:

\ begin {ecuación}
\ label {eqn:GenericVectorSystem}
x_ {1}
\ begin {bmatrix}
a_ {1 1}\\
a_ {2 1}\\
a_ {3 1}
\\ vdots\\
a_ {m 1}\
\ end {bmatrix}
+ x_ {2}
\ begin {bmatrix}
a_ {1 2}\
a_ {2 2}\\
a_ {3 2}\
\ vdots\\
a_ {m 2}\\
\ fin {bmatrix}
+ x_ {3}
\ comenzar {bmatrix}
a_ {1 3}\\
a_ {2 3}\\
a_ {3}\
\ vdots\\
a_ {m 3}\
\ final {bmatrix}
+\ cdots + x_ {n}
\ begin {bmatrix}
a_ {1 n}\\
a_ {2 n}\\
a_ {3 n}\\
\ vdots\\
a_ {m n}\\
\ end {bmatrix}
=
\ begin {bmatrix}
b_ {1}\\
b_ {2}\\
b_ {3}\\
\ vdots\\
b_ {m}\\
\ end {bmatrix}. \ tag {A.1.4}
\ fin {ecuación}

Este enfoque enfatiza el análisis de los llamados vectores\(A^{(\cdot, j)}\)\(j = 1, \ldots, n \) de columna de la matriz de coeficientes\(A\) en la ecuación matricial\(A x = b\). (Consulte en la Sección A.2.1 para más detalles sobre cómo Ecuación (A.1.4). Por el contrario, también es común encontrar directamente la Ecuación (A.1.4) al estudiar ciertas preguntas sobre vectores en\(\mathbb{F}^{n}\).

Es importante señalar que el Sistema (A.1.1) difiere de las Ecuaciones (A.1.3) y (A.1.4) sólo en términos de notación. El aspecto común de estas diferentes representaciones es que el lado izquierdo de cada ecuación en Sistema (A.1.1) es una suma lineal. Debido a esto, también es común reescribir System (A.1.1) usando notación más compacta como

\[
\sum_{k = 1}^{n}a_{1 k}x_{k} = b_{1},\
\sum_{k = 1}^{n}a_{2 k}x_{k} = b_{2},\
\sum_{k = 1}^{n}a_{3 k}x_{k} = b_{3},\
\ldots,\
\sum_{k = 1}^{n}a_{m k}x_{k} = b_{m}.
\]

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