13.1: El lenguaje de los conjuntos y funciones

Todas las matemáticas pueden verse como el estudio de las relaciones entre colecciones de objetos mediante rigurosos argumentos racionales. La mayoría de las veces los patrones en esas colecciones y sus relaciones son más importantes que la naturaleza de los propios objetos. El poder de las matemáticas tiene mucho que ver con llevar los patrones a la vanguardia y abstraer de la naturaleza “real” si los objetos. En matemáticas, las colecciones suelen llamarse conjuntos y los objetos se llaman los elementos del conjunto. Las funciones son el tipo de relación más común entre conjuntos y sus elementos y los objetos primarios de estudio en Análisis son funciones que tienen que ver con el conjunto de números reales. Por lo tanto, es importante desarrollar una buena comprensión de los conjuntos y funciones y conocer el vocabulario utilizado para definir conjuntos y funciones y discutir sus propiedades.

Conjuntos B.1

Un conjunto es una colección desordenada de objetos distintos, a los que llamamos sus elementos. \(A\)conjunto está determinado de manera única por sus elementos. Si un objeto a es un elemento de un conjunto\(A\), escribimos\(a \in A\), y decimos que a pertenece\(A\) o que\(A\) contiene a. La negación de esta afirmación se escribe como\(a \not\in A\), es decir, a no es un elemento de\(A.\) Note que ambas declaraciones no pueden ser verdaderas al mismo tiempo

Si\(A\) y\(B\) son conjuntos, son idénticos (esto significa uno y el mismo conjunto), que escribimos como\(A = B\), si tienen exactamente los mismos elementos. En otras palabras,\(A = B\) si y solo si para todo\(a \in A\) lo que\(b \in B\) tenemos\(a \in B\), y para todos tenemos\(b \in A.\) Equivalentemente,\(A \neq B\) si y solo si hay una diferencia en sus elementos: existe\(a \in A\) tal que\(a \not\in B\) o existe\(b \in B\) tal que\(b \not\in A.\)

Ejemplo B.1.1. Comenzamos con los ejemplos más simples de conjuntos.

1. El conjunto vacío (también conocido como el conjunto nulo), es lo que suena: el conjunto sin elementos. Normalmente lo denotamos por\(\emptyset\) o a veces por\(\{~\}\). El conjunto vacío,\(\emptyset\), está determinado de manera única por la propiedad que por todo\(x\) lo que tenemos\(x \not\in \emptyset\). Claramente, hay exactamente un conjunto vacío.
2. A continuación están los singletons. Un singleton es un conjunto con exactamente un elemento. Si ese elemento es\(x\), a menudo escribimos el singleton que contiene\(x\) como\(\{x\}\). En el lenguaje hablado, 'el singleton\(x\) 'en realidad significa el conjunto\(\{x\}\) y siempre debe distinguirse del elemento\(x: x \neq \) {\(x\)}. Un conjunto puede ser un elemento de otro conjunto pero ningún conjunto es un elemento de sí mismo (más precisamente, adoptamos esto como un axioma). Por ejemplo,\(\{\{x\}\}\) es el singleton del cual el elemento único es el singleton\(\{x\}\). En particular también tenemos\(\{x\} \neq \{\{x\}\}.\)
3. Una forma estándar de denotar conjuntos es enumerando sus elementos. Por ejemplo, el conjunto\(\{\alpha, \beta, \gamma\}\) contiene las tres primeras letras griegas minúsculas. El conjunto está completamente determinado por lo que está en la lista. El orden en que se enumeran los elementos es irrelevante. Entonces, tenemos\(\{\alpha, \gamma, \beta\} = \{\gamma, \beta, \alpha\} = \{\alpha, \beta, \gamma\},\) etc. ya que un conjunto no puede contener el mismo elemento dos veces (los elementos son distintos) el único significado razonable de algo así como\(\{ \alpha, \beta, \alpha, \gamma\}\) es que es lo mismo que\(\{\alpha, \beta, \gamma\}\). Ya que\(x \neq \{x\}, \{x, \{x\}\}\) es un conjunto con dos elementos. Cualquier cosa puede considerarse como un elemento de un conjunto y no hay ningún tipo de relación se requiere de los elementos en un conjunto. Por ejemplo, la palabra 'manzana' y el elemento uranio y el planeta Plutón pueden ser los tres elementos de un conjunto. No hay restricción en el número de conjuntos diferentes a los que puede pertenecer un elemento dado, excepto por la regla de que un conjunto no puede ser un elemento de sí mismo.
4. El número de elementos en un conjunto puede ser infinita. Por ejemplo,\(\mathbb{Z}, \mathbb{R},\) y\(\mathbb{C}\), denotan los conjuntos de todos los números enteros, reales y complejos, respectivamente. No se requiere que podamos enumerar todos los elementos.

A la hora de introducir un nuevo conjunto (nuevo para los fines de la discusión que nos ocupa) es crucial definirlo de manera inequívoca. No se requiere que a partir de una definición dada de un conjunto\(A\), sea fácil determinar cuáles\(A\) son los elementos de, o incluso cuántos hay, pero debe quedar claro que, en principio, hay una respuesta única e inequívoca a cada pregunta de la forma “¿es\(x\) un elemento de\(A\)?”. Hay varias formas comunes de definir conjuntos. Aquí hay algunos ejemplos.

Ejemplo B.1.2.
1. La forma más sencilla es una generalización de la notación de listas a listas infinitas que pueden ser descritas por un patrón. Por ejemplo, el conjunto de enteros positivos Se puede permitir que\(\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \ldots \}.\) la lista sea bidireccional, como en el conjunto de todos los enteros\(\mathbb{Z} = \{\ldots , -2, -1, 0, 1, 2, \ldots \}.\)
Tenga en cuenta el uso de puntos triples\(\ldots\) para indicar la continuación de la lista.
2. La denominada notación de constructor de conjuntos da más opciones para describir la pertenencia a un conjunto. Por ejemplo, el conjunto de todos los enteros pares, a menudo denotan por\(2 \mathbb{Z}\), está definido por

\[2\mathbb{Z} = \{2a ~|~ a \in \mathbb{Z}\} .\]

En lugar de la barra vertical, también se usa comúnmente |, un colon,:,. Por ejemplo, el intervalo abierto de los números reales estrictamente entre\(0\) y\(1\) es definido por

\[(0, 1) = \{x \in \mathbb{R} : 0 < x < 1\}.\]

B.2 Subconjunto, unión, intersección y producto cartesiano

Definición B.2.1. Dejar\(A\) y\(B\) ser conjuntos. \(B\)es un subconjunto de\(A\), denotado por\(B \subset A\), si y solo si por todos\(b \in B\) tenemos\(b \in A.\) Si\(B \subset A\) y\(B \neq A,\) decimos que\(B\) es un subconjunto propio de\(A.\)

Si\(B \subset A\), también se dice que\(B\) está contenido en\(A\), o que\(A\) contiene\(B\), que a veces se denota por\(A \supset B.\) La relación\(\subset\) se llama inclusión. Si\(B\) es un subconjunto adecuado de\(A\) la inclusión se dice que es estricto. Para enfatizar que una inclusión no es necesariamente estricta, se\(B \subseteq A\) puede utilizar la notación pero tenga en cuenta que su significado matemático es idéntico a la inclusión\(B \subset A.\) estricta a veces se denota por\(B \subsetneq A\), pero esto es menos común.

Ejemplo B.2.2. Las siguientes relaciones entre conjuntos son fáciles de verificar:

1. Tenemos\(\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R} \subset \mathbb{C}\), y todas estas inclusiones son estrictas.
2. Para cualquier conjunto\(A\), tenemos\( \emptyset \subset A\), y\(A \subset A.\)
3. \((0, 1] \subset (0, 2).\)
4. Para\(0 < a \leq b, [-a, a] \subset [-b, b].\) La inclusión es estricta si\(a < b.\)

Además de construir conjuntos directamente, los conjuntos también se pueden obtener de otros conjuntos mediante una serie de operaciones estándar. La siguiente definición introduce las operaciones básicas de la unión, intersección y división de conjuntos tomados.

Definición B.2.3. Dejar\(A\) y\(B\) ser conjuntos. Entonces

1. La unión de\(A\) y\(B\), denotada por\(A \cup B\), es delimitada por\[A \cup B = \{x ~|~ x \in A {\it{~or~}} x \in B\}.\]
2. La intersección de\(A\) y\(B\), denotada por\(A \cap B\), está delimitada por\[A \cap B = \{x~ |~ x \in A {\it{~and~}} x \in B\}.\]
3. La diferencia de conjunto de\(B\) desde\(A\), denotada por\(A \setminus B\), se define por\[A \setminus B = \{x ~|~ x \in A {\it{~and~}} x \not\in B\}.\]

A menudo, el contexto proporciona un 'universo' de todos los elementos posibles pertinentes a una discusión dada. Supongamos que hemos dado tal conjunto de 'todos' elementos y llamémoslo\(U\). Entonces, el complemento de un conjunto\(A\), denotado por\(A^c\), se define como\(A^c = U \setminus A.\) En el siguiente teorema\(U\) se asume tácitamente la existencia de un universo.

Teorema B.2.4. Dejar\(A, B,\) y\(C\) ser conjuntos. Entonces

1. (distributividad)\(A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)\) y\(A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C).\)
2. (Leyes de De Morgan)\((A \cup B)^c = A^c \cap B^c\) y\((A \cap B)^c = A^c \cup B^c .\)
3. (complementos relativos)\(A \setminus (B \cup C) = (A \setminus B) \cap (A \setminus C)\) y\(A \setminus (B \cap C) = (A \setminus B) \cup (A \setminus C).\)

Para familiarizarte con las propiedades básicas de los conjuntos y las operaciones básicas si conjuntos, es un buen ejercicio escribir pruebas para las tres propiedades establecidas en el teorema.

El llamado producto cartesiano de conjuntos es un método poderoso y ubicuo para construir nuevos conjuntos a partir de los antiguos.

Definición B.2.5. Dejar\(A\) y\(B\) ser conjuntos. Entonces el producto cartesiano de\(A\) y\(B\), denotado por\(A \times B\), es el conjunto de todos los pares ordenados\((a, b),\) con\(a \in A\) y\(b \in B.\) En otras palabras,

\[A \times B = \{(a, b) ~|~ a \in A, b \in B\} .\]

Un ejemplo importante de esta construcción es el plano euclidiano\(\mathbb{R}^2 = \mathbb{R} \times \mathbb{R}\). No es un accidente que\(x\) y\(y\) en la pareja\((x, y)\) se llamen las coordenadas cartesianas del punto\((x, y)\) en el avión.

B.3 Relaciones

En esta sección presentamos dos tipos importantes de relaciones: las relaciones de orden y las relaciones de equivalencia. Una relación\(R\) entre elementos de un conjunto\(A\) y elementos de un conjunto\(B\) es un subconjunto de su producto cartesiano:\(R \subset A \times B.\) Cuando\(A = B\), también llamamos\(R\) simplemente una relación sobre\(A\).

\(A\)Sea un conjunto y\(R\) una relación sobre\(A\). Entonces,

• \(R\)se llama reflexive si para todos\(a \in A, (a, a) \in R.\)
• \(R\)se llama simétrico si para todos\(a, b \in A,\) si\((a, b) \in R\) entonces\((b, a) \in R.\)
• \(R\)se llama antisimétrico si por todos\(a, b \in A\) tales que\((a, b) \in R\) y\((b, a) \in R, a = b.\)
• \(R\)se llama transitivo si por todo\(a, b, c \in A\) ello\((a, b) \in R\) y\((b, c) \in R\), tenemos\((a, c) \in R.\)

Definición B.3.1. Que\(R\) sea una relación en un set\(A\). \(R\)es una relación de orden si\(R\) es reflexive, antisimétrica y transitiva. \(R\)es una relación de equivalencia si\(R\) es reflexiva, simétrica y transitiva.

La noción de subconjunto es un ejemplo de una relación de orden. Para ver esto, primero define el conjunto de potencia de un conjunto\(A\) como el conjunto de todos sus subconjuntos. A menudo se denota por\({\cal{P}}(A).\) So, para cualquier conjunto\(A, {\cal{P}}(A) = \{B : B \subset A\}.\) El, la relación de inclusión se define como la relación\(R\) estableciendo

\[R = \{(B, C) \in {\cal{P}}(A) \times {\cal{P}}(A)~ |~ B \subset C\}\]

A las relaciones importantes, como la relación de subconjunto, se les da una notación conveniente de la forma\(a <symbol> b\), para denotar\((a, b) \in R.\) El símbolo para la relación de inclusión es\(\subset\).

Proposición B.3.2. La inclusión es una relación de orden. De manera explícita,

1. (Refexive) Para todos\(B \in {\cal{P}}(A), B \subset B.\)
2. (antisimétrico) Para todos\(B, C \in {\cal{P}}(A),\) si\(B \subset C\) y\(C \subset B\), entonces\(B = C.\)
3. (transitivo) Para todos\(B, C, D \in {\cal{P}}(A),\) si\(B \subset C\) y\(C \subset D,\) entonces\(B \subset D.\)

Escribir una prueba de esta proposición como ejercicio.

Para cualquier relación\(R \subset A \times B\), la relación inversa\(R^{-1} \subset B \times A\),, se define por

\[R^{-1} = \{(b, a) \in B \times A ~| ~(a, b) \in R\}.\]

B.4 Funciones

Dejar\(A\) y\(B\) ser conjuntos. Una función con dominio\(A\) y codominio\(B\), denotada por\(f : A \rightarrow B\), es la relación entre los elementos de\(A\) y\(B\) satisfaciendo las propiedades: para todos\(a \in A,\) hay una única\(b \in B\) tal que\((a, b) \in f \). El símbolo utilizado para denotar una función como relación es una flecha:\((a, b) \in f\) se escribe como\(a \rightarrow b\) (a menudo también\(a \mapsto b\)). No es necesario, y un poco engorroso, recordarnos que las funciones son un tipo especial de relación y se usa una notación más conveniente todo el tiempo:\(f (a) = b.\) Si\(f\) es una función que entonces tenemos, por definición,\(f (a) = b\) e\(f (a) = c\) implica\(b = c\). Es decir, para cada uno\(a \in A\), existe exactamente uno\(b \in B\) tal que\(f (a) = b.\)\(b\) se llama la imagen de un bajo\(f\). Cuando\(A\) y\(B\) son conjuntos de números, a veces\(a\) se conoce como el argumento de la función y a menudo\(b = f (a)\) se conoce como el valor de\(f\) in\(a\).

El requisito de que haya una imagen\(b \in B\) para todos a veces\(a \in A\) se relaja en el sentido de que el dominio de la función es un subconjunto, a veces no explícitamente especificado, de\(A\). Es importante recordar, sin embargo, que una función no está debidamente delimitada a menos que también hayamos dado su dominio.

Cuando consideramos la gráfica de una función, nos basamos en la definición de una función como relación. El gráfico\(G\) de una función\(f : A \rightarrow B\) es el\(A \times B\) subconjunto de definido por

\[G = \{(a, f (a)) ~|~ a \in A\}.\]

El rango de una función\(f : A \rightarrow B\), denotado por\(range (f ),\) o también\(f (A),\) es el subconjunto de su codominio que consiste en todos los\(b \in B\) que son la imagen de algunos\(a \in A:\)

\[range (f ) = \{b \in B ~|~ {\rm{~there ~exists~}} a \in A {\rm{~such ~that~}} f (a) = b\}.\]

La pre-imagen de\(b \in B\) es el subconjunto de todos los\(a \in A\) que tienen\(b\) como su imagen. Este subconjunto si a menudo se denota por\(f^{-1} (b).\)

\[f^{-1} (b) = \{a \in A ~|~ f (a) = b\}.\]

Tenga en cuenta que\(f^{-1} (b) = \emptyset\) si y solo si\(b \in B \setminus range (f ).\)

Funciones de diversa índole son ubicuas en las matemáticas y se ha desarrollado un amplio vocabulario, algunos de los cuales son redundantes. El término mapa se usa a menudo como una alternativa para la función y cuando el dominio y el codominio coinciden, el término transformación a menudo se usa en lugar de función. Existe una gran cantidad de términos para funciones en contexto particular con propiedades especiales. Las tres propiedades más básicas se dan en la siguiente definición.

Definición B.4.1. Dejar\(f : A \rightarrow B\) ser una función. Entonces llamamos\(f\)

1. inyectable (\(f\)es una inyección) si\(f (a) = f (b)\) implica\(a = b\). Es decir, no hay dos elementos del dominio que tengan la misma imagen. Una función de inyección también se llama uno a uno.
2. suryectiva (\(f\)es una suryección) si\(range (f ) = B.\) En otras palabras, cada uno\(b \in B\) es la imagen de al menos uno\(a \in A\). Tal función también es llamada a.
3. biyectiva (\(f\)es una biyección) si\(f\) es tanto inyectiva como suryectiva, es decir, uno a uno y sobre. Esto significa que f da una correspondencia uno a uno entre todos los elementos de\(A\) y todos los elementos de\(B\).

Dejar\(f : A \rightarrow B\) y\(g : B \rightarrow C\) ser dos funciones para que el codominio de\(f\) coincida con el dominio de\(g\). Entonces, la composición '\(g\)después\(f\)', denotada por\(g \circ f\), es\(g \circ f : A \rightarrow C,\) la función definida por\(a \mapsto g(f (a)).\)

Por cada conjunto\(A\), definiremos el mapa de identidad, que denotaremos aquí por\({\rm{id}}_A\) o\({\rm{id}}\) para abreviar. \({\rm{id}}_A : A \rightarrow A\)es definido por\({\rm{id}}_A (a) = a\) para todos\(a \in A\). Claramente,\({\rm{id}}_A\) es una biyección.

Si\(f\) es una biyección, es invertible, es decir, la relación inversa es también una función, denotada por\(f^{ -1} \). Es la bijección única\(B \rightarrow A\) tal que\(f^{-1} \circ f = {\rm{id}}_A\) y\(f \circ f^{-1 }= {\rm{id}}_B\).

Proposición B.4.2. Dejar\(f : A \rightarrow B\) y\(g : B \rightarrow C\) ser bijecciones. Entonces, su composición\(g \circ f\) es una bijección y

\[(g \circ f )^{-1} = f^{ -1} \circ g^{ -1} .\]

Demostrar esta proposición como ejercicio.

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