13.2: Resumen de Estructuras Algebraicas

Hablando libremente, una estructura algebraica es cualquier conjunto sobre el cual se han definido operaciones “aritméticas”. La importancia de tales estructuras en las matemáticas abstractas no puede ser exagerada. Al reconocer un conjunto dado\(S\) como una instancia de una estructura algebraica bien conocida, cada resultado que se conoce acerca de esa estructura algebraica abstracta es entonces automáticamente también conocido por mantener\(S\). Esta utilidad es, en gran parte, la principal motivación detrás de la abstracción.

Antes de revisar las estructuras algebraicas que son más importantes para el estudio del Álgebra Lineal, primero definimos cuidadosamente lo que significa para una operación ser “aritmética”.

C.1 Operaciones binarias y operaciones de escalado

Al discutir un conjunto arbitrario no vacío\(S\), nunca se debe asumir que\(S\) tiene algún tipo de “estructura” (algebraica o de otro tipo) a menos que el contexto sugiera de manera diferente. Dicho de otra manera, los elementos en solo\(S\) pueden estar realmente relacionados entre sí de manera subjetiva. Por ejemplo, si tomamos\(S = \{\text{Alice},\,\text{Bob},\,\text{Carol}\}\), entonces no hay nada intrínseco en la definición de\(S\) que sugiera cómo estos nombres deberían relacionarse objetivamente entre sí.

Si, por otro lado, tomamos\(S = \mathbb{R}\), entonces sin duda se le ha condicionado a esperar que ya existe una gran cantidad de “estructura” en su interior\(S\). Por ejemplo, dados dos números reales cualesquiera\(r_{1}, r_{2} \in \mathbb{R}\), se puede formar la suma\(r_{1} + r_{2}\), la diferencia\(r_{1} - r_{2}\), el producto\(r_{1}r_{2}\), el cociente\(r_{1} / r_{2}\) (asumiendo\(r_{2} \neq 0\)), el máximo\(\max\{r_{1}, r_{2}\}\), el mínimo\(\min\{r_{1}, r_{2}\}\), el promedio\((r_{1} + r_{2})/2\), y así sucesivamente. Cada una de estas operaciones sigue el mismo patrón: tomar dos números reales y “combinarlos” (o “compararlos”) para formar un nuevo número real.

Además, cada una de estas operaciones impone un sentido de “estructura” en su interior\(\mathbb{R}\) al relacionar números reales entre sí. Podemos abstraer esto a un conjunto arbitrario no vacío de la siguiente manera:

Definición C.1.1. Una operación binaria en un conjunto no vacío\(S\) es cualquier función que tenga como su dominio\(S \times S\) y como su codominio\(S\).

En otras palabras, una operación binaria on\(S\) es cualquier regla\(f : S \times S \to S\) que asigna exactamente un elemento\(f(s_{1}, s_{2}) \in S\) a cada par de elementos\(s_{1}, s_{2} \in S\). Ilustramos esta definición en los siguientes ejemplos.

Ejemplo C.1.2.

1. La suma, la resta y la multiplicación son ejemplos de operaciones binarias familiares en\(\mathbb{R}\). Formalmente, uno denotaría estos por algo así como

\[ + : \mathbb{R} \times \mathbb{R} \to \mathbb{R}, \ - : \mathbb{R} \times \mathbb{R} \to \mathbb{R}, \ \text{and} \ * : \mathbb{R} \times \mathbb{R} \to \mathbb{R}, \ \text{respectively}. \]

Entonces, dados dos números reales\(r_{1}, r_{2} \in \mathbb{R}\), denotaríamos su suma por\(+(r_{1}, r_{2})\), su diferencia por\(-(r_{1}, r_{2})\), y su producto por\(*(r_{1}, r_{2})\). (Por ejemplo,\(+(17, 32) = 49\),\(-(17, 32) = -15\), y\(*(17, 32) = 544\).) Sin embargo, este nivel de formalidad notacional puede ser bastante inconveniente, por lo que a menudo recurrimos a la escritura\(+(r_{1}, r_{2})\) como la expresión más familiar\(r_{1} + r_{2}\),\(-(r_{1}, r_{2})\) como\(r_{1} - r_{2}\), y\(*(r_{1}, r_{2})\) como cualquiera\(r_{1} * r_{2}\) o\(r_{1}r_{2}\).

2. La función de división no\(\div : \mathbb{R} \times \left( \mathbb{R}\setminus\{0\} \right) \to \mathbb{R}\) es una operación binaria\(\mathbb{R}\) ya que no tiene el dominio adecuado. Sin embargo, la división es una operación binaria en\(\mathbb{R}\setminus\{0\}\).

3. Otras operaciones binarias\(\mathbb{R}\) incluyen la función máxima\(\max:\mathbb{R}\times\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), la función\(\min:\mathbb{R}\times\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) mínima y la función promedio\((\cdot + \cdot)/2:\mathbb{R}\times\mathbb{R}\to\mathbb{R}\).

4. Un ejemplo de una operación binaria\(f\) en el conjunto\(S = \{\text{Alice},\,\text{Bob},\,\text{Carol}\}\) viene dado por

\[ f(s_{1}, s_{2}) = \begin{cases} s_{1} & {\rm{if~}} s_{1} {\rm{~alphabetically ~precedes~}} s_{2}, \\ \text{Bob} & \text{otherwise}. \end{cases}\]

Esto se debe a que el único requisito para una operación binaria es que se asigne exactamente un elemento de\(S\) a cada par de elementos ordenados\((s_{1}, s_{2}) \in S \times S\).

Aunque uno podría definir cualquier número de operaciones binarias sobre un conjunto no vacío dado, generalmente solo estamos interesados en operaciones que satisfagan condiciones adicionales “aritméticas”. En otras palabras, las operaciones binarias más interesantes son aquellas que, en cierto sentido, abstraen las propiedades sobresalientes de las operaciones binarias comunes como la suma y la multiplicación en\(\mathbb{R}\). Esto lo hacemos preciso con la definición de un llamado “grupo” en la Sección C.2.

Al mismo tiempo, sin embargo, las operaciones binarias solo pueden usarse para imponer “estructura” dentro de un conjunto. En muchos escenarios, es igualmente útil imponer “estructura” adicional sobre un conjunto. Específicamente, se pueden definir relaciones entre elementos en un conjunto arbitrario de la siguiente manera:

Definición C.1.3. Una operación de escalado (también conocida como operación binaria externa) en un conjunto no vacío\(S\) es cualquier función que tenga como su dominio\(\mathbb{F} \times S\) y como su codominio\(S\), donde\(\mathbb{F}\) denota un campo arbitrario. (Como de costumbre, solo debes pensar en\(\mathbb{F}\) como siendo cualquiera\(\mathbb{R}\) o\(\mathbb{C}\)).

En otras palabras, una operación de escalado\(S\) es cualquier regla\(f : \mathbb{F} \times S \to S\) que asigne exactamente un elemento\(f(\alpha, s) \in S\) a cada par de elementos\(\alpha \in \mathbb{F}\) y\(s \in S\). Esto resume el concepto de “escalar” un objeto\(S\) sin cambiar qué “tipo” de objeto ya es. Como tal, a menudo\(f(\alpha, s)\) se escribe simplemente como\(\alpha s\). Ilustramos esta definición en los siguientes ejemplos.

Ejemplo C.1.4.

1. La multiplicación escalar de\(n\) -tuplas in\(\mathbb{R}^{n}\) es probablemente la operación de escalado más familiar para usted. Formalmente, la multiplicación escalar en\(\mathbb{R}^{n}\) se define como la siguiente función:

\[ \left( \alpha, (x_{1}, \ldots, x_{n}) \right) \longmapsto \alpha (x_{1}, \ldots, x_{n}) = (\alpha x_{1}, \ldots, \alpha x_{n}), \ \forall \, \alpha \in \mathbb{R}, \ \forall \, (x_{1}, \ldots, x_{n}) \in \mathbb{R}^n.\]

En otras palabras, dada cualquier\(\alpha \in \mathbb{R}\) y cualquier\(n\) -tupla\((x_{1}, \ldots,x_{n}) \in \mathbb{R}^n\), su multiplicación escalar da como resultado una nueva\(n\) - tupla denotada por\(\alpha (x_{1}, \ldots, x_{n})\). Esta nueva\(n\) -tupla es prácticamente idéntica a la original, cada componente acaba de ser “reescalado” por\(\alpha\).

2. La multiplicación escalar de funciones continuas es otra operación de escalado familiar. Dado cualquier número real\(\alpha \in \mathbb{R}\) y cualquier función\(f \in \mathcal{C}(\mathbb{R})\), su multiplicación escalar da como resultado una nueva función que se denota por\(\alpha f\), donde\(\alpha f\) se define por la regla\[ (\alpha f)(r) = \alpha (f(r)), \forall \, r \in \mathbb{R}. \] En otras palabras, esta nueva función continua\(\alpha f \in \mathcal{C}(\mathbb{R})\) es prácticamente idéntica a la original función\(f\); simplemente ``resalta” la imagen de cada\(r \in \mathbb{R}\) bajo\(f\) por\(\alpha\).

3. La función de división\(\div : \mathbb{R} \times \left( \mathbb{R}\setminus\{0\} \right) \to \mathbb{R}\) es una operación de escalado en\(\mathbb{R}\setminus\{0\}\). En particular, dado dos números reales\(r_{1}, r_{2} \in \mathbb{R}\) y cualquier número real distinto de cero\(s \in \mathbb{R}\setminus\{0\}\), tenemos eso\(\div(r_{1}, s) = r_{1}(1/s)\) y\(\div(r_{2}, s) = r_{2}(1/s)\), y así\(\div(r_{1}, s)\) y\(\div(r_{2}, s)\) puede ser visto como diferentes ``escalamientos” de la inversa multiplicativa\(1/s\) de\(s\).

Este es en realidad un caso especial del ejemplo anterior. En particular, podemos definir una función\(f \in \mathcal{C}(\mathbb{R}\setminus\{0\})\) por\(f(s) = 1/s\), para cada uno\(s \in \mathbb{R}\setminus\{0\}\). Entonces, dados dos números reales cualesquiera\(r_{1}, r_{2} \in \mathbb{R}\), las funciones\(r_{1}f\) y\(r_{2}f\) pueden ser definidas por

\[ r_{1}f(\cdot) = \div(r_{1}, \cdot) \ \ \text{and} \ \ r_{2}f(\cdot) = \div(r_{2}, \cdot), \ \text{respectively}.\]

4. Estrictamente hablando, no hay nada en la definición que\(S\) impida igualar\(\mathbb{F}\). En consecuencia, la suma, la resta y la multiplicación pueden verse como ejemplos de operaciones de escalado en\(\mathbb{R}\).

Al igual que con las operaciones binarias, es fácil definir cualquier número de operaciones de escalado en un conjunto no vacío dado\(S\). Sin embargo, generalmente solo nos interesan las operaciones que son esencialmente como la multiplicación escalar\(\mathbb{R}^{n}\), y también es bastante común imponer condiciones adicionales para cómo las operaciones de escalado deben interactuar con cualquier operación binaria que también pueda definirse\(S\). Esto lo hacemos preciso cuando presentamos una formulación alternativa de la definición de un espacio vectorial en la Sección C.2.

Dicho de otra manera, las definiciones de operación binaria y operación de escalado no son particularmente útiles cuando se toman tal cual. Dado que se permite que estas operaciones sean cualquier función que tenga los dominios adecuados, no hay sentido inmediato de abstracción significativa. En cambio, las operaciones binarias y de escalado se vuelven útiles cuando adicionalmente se les colocan condiciones para que puedan usarse para abstraer propiedades “aritméticas”. En otras palabras, generalmente solo nos interesan las operaciones que abstraen las propiedades sobresalientes de las operaciones familiares para combinar cosas como números,\(n\) -tuplas y funciones.

C.2 Grupos, campos y espacios vectoriales

Comenzamos esta sección con la siguiente definición, que es inequívocamente una de las nociones más fundamentales y ubicuas en todas las matemáticas abstractas.

Definición C.2.1.

Dejar\(G\) ser un conjunto no vacío, y dejar\(*\) ser una operación binaria en\(G\). (En otras palabras,\(*:G \times G \to G\) es una función con\(*(a, b)\) denotado por\(a*b\), para cada uno\(a, b \in G\).) Entonces\(G\) se dice formar un grupo bajo\(*\) si se cumplen las siguientes tres condiciones:

1. (asociatividad) Teniendo en cuenta tres elementos cualesquiera\(a, b, c \in G\),\[ (a * b) * c = a * (b * c). \]
2. (existencia de un elemento de identidad) Existe un elemento\(e \in G\) tal que, dado cualquier elemento\(a \in G\),\[ a * e = e * a = a. \]
3. (existencia de elementos inversos) Dado cualquier elemento\(a \in G\), hay un elemento\(b \in G\) tal que\[ a * b = b * a = e. \]

Debe reconocer estas tres condiciones (que a veces se denominan colectivamente los axiomas de grupo) como propiedades que se satisfacen por la operación de adición en\(\mathbb{R}\). Esto no es un accidente. En particular, dados los números reales\(\alpha, \beta \in \mathbb{R}\), los axiomas grupales forman el conjunto mínimo de supuestos necesarios para resolver la ecuación\(x + \alpha = \beta\) para la variable\(x\), y es en este sentido que los axiomas grupales son una abstracción de las propiedades más fundamentales de adición de números reales.

Un comentario similar se mantiene con respecto a la multiplicación\(\mathbb{R}\setminus\{0\}\) y resolución de la ecuación\(\alpha x = \beta\) para la variable\(x\). Obsérvese, sin embargo, que esto no se puede extender a todos\(\mathbb{R}\).

Debido a que los axiomas de grupo son tan generales, son particularmente útiles en la construcción de estructuras algebraicas más complicadas. Esto se hace sumando cualquier número de axiomas adicionales, el más fundamental de los cuales es el siguiente.

Definición C.2.2. Dejar\(G\) ser un grupo bajo operación binaria\(*\). Entonces\(G\) se llama un grupo abeliano (también conocido como grupo conmutativo) si, dados dos elementos cualesquiera\(a, b \in G\),\(a * b = b * a\).

Ejemplos de grupos están en todas partes en matemáticas abstractas. Ahora damos algunos de los ejemplos más importantes que ocurren en Álgebra Lineal. Tenga en cuenta, sin embargo, que estos ejemplos están dirigidos principalmente a motivar las definiciones de estructuras algebraicas más complicadas. (En general, los grupos pueden ser mucho “extraños” que los de abajo.)

Ejemplo C.2.3.

1. Si\(G \in \left\{ \mathbb{Z}, \,\mathbb{Q}, \,\mathbb{R}, \,\mathbb{C} \right\}\), entonces\(G\) forma un grupo abeliano bajo la definición habitual de adición.

Tenga en cuenta, sin embargo, que el conjunto\(\mathbb{Z}_{+}\) de enteros positivos no forma un grupo bajo adición ya que, por ejemplo, no contiene un elemento de identidad aditivo.

2. De igual manera\(G \in \left\{ \,\mathbb{Q}\setminus\{0\}, \,\mathbb{R}\setminus\{0\}, \,\mathbb{C}\setminus\{0\} \right\}\), si, entonces\(G\) forma un grupo abeliano bajo la definición habitual de multiplicación.

Tenga en cuenta, sin embargo, que\(\mathbb{Z}\setminus\{0\}\) no forma un grupo bajo multiplicación ya que solo\(\pm 1\) tienen inversos multiplicativos.

3. Si\(m, n \in \mathbb{Z}_{+}\) son números enteros positivos y\(\mathbb{F}\) denota cualquiera\(\mathbb{R}\) o\(\mathbb{C}\), entonces el conjunto\(\mathbb{F}^{m \times n}\) de todas las\(m \times n\) matrices forma un grupo abeliano bajo adición de matriz.

Tenga en cuenta, sin embargo, que\(\mathbb{F}^{m \times n}\) no forma un grupo bajo multiplicación matricial a menos que\(m = n = 1\), en cuyo caso\(\mathbb{F}^{1 \times 1} = \mathbb{F}\).

4. Del mismo modo, si\(n \in \mathbb{Z}_{+}\) es un entero positivo y\(\mathbb{F}\) denota cualquiera\(\mathbb{R}\) o\(\mathbb{C}\), entonces el conjunto\(GL(n, \mathbb{F})\) de\(n \times n\) matrices invertibles forma un grupo bajo multiplicaciones matriciales. Este grupo, que a menudo se llama el grupo lineal general, no es abeliano cuando\(n \geq 2\).

Tenga en cuenta, sin embargo, que\(GL(n, \mathbb{F})\) no forma un grupo bajo adición de matriz para ninguna elección de\(n\) ya, por ejemplo, la matriz cero\(0_{n \times n} \notin GL(n, \mathbb{F})\).

En los ejemplos anteriores, debes notar dos cosas. En primer lugar, es importante especificar la operación bajo la cual un conjunto podría o no ser un grupo. Segundo, y quizás lo más importante, todos menos un ejemplo es un grupo abeliano. La mayoría de los conjuntos importantes en Álgebra Lineal poseen algún tipo de estructura algebraica, y los grupos abelianos son el componente principal de prácticamente cada una de estas estructuras algebraicas. En particular, los campos y espacios vectoriales (como se definen a continuación) y los anillos y álgebra (como se define en la Sección C.3) pueden describirse como “grupos abelianos más estructura adicional”.

Dado un grupo abeliano\(G\), agregar “estructura adicional” equivale a imponer una o más operaciones adicionales sobre\(G\) tal que cada nueva operación sea “compatible” con la operación binaria preexistente en\(G\). Como nuestro primer ejemplo de esto, agregamos otra operación binaria a para obtener la definición de un campo:\(G\)

Definición C.2.4. Dejar\(F\) ser un conjunto no vacío, y dejar\(+\) y\(*\) ser operaciones binarias en\(F\). Luego\(F\) forma un campo bajo\(+\) y\(*\) si se cumplen las siguientes tres condiciones:

1. \(F\)forma un grupo abeliano bajo\(+\).
2. Denotando el elemento de identidad para\(+\) por\(0\),\(F\setminus\{0\}\) forma un grupo abeliano bajo\(*\).
3. (\(*\)distribuye sobre\(+\)) Teniendo en cuenta tres elementos cualesquiera\(a, b, c \in F\),\[ a * (b + c) = a * b + a * c. \]

Debe reconocer estas tres condiciones (que a veces se denominan colectivamente los axiomas de campo) como propiedades que se satisfacen cuando se toman juntas las operaciones de suma y multiplicación\(\mathbb{R}\). Esto no es un accidente. Al igual que con los axiomas de grupo, los axiomas de campo forman el conjunto mínimo de supuestos necesarios para abstraer las propiedades fundamentales de estas operaciones aritméticas familiares. Específicamente, los axiomas de campo garantizan que, dado cualquier campo\(F\), se cumplan siempre tres condiciones:

1. Dado cualquiera\(a, b \in F\), la ecuación se\(x + a = b\) puede resolver para la variable\(x\).
2. Dado cualquiera\(a \in F\setminus\{0\}\) y\(b \in F\), la ecuación se\(a * x = b\) puede resolver para\(x\).
3. La operación binaria\(*\) (que es como la multiplicación en\(\mathbb{R}\)) se puede distribuir sobre (es decir, es “compatible” con) la operación binaria\(+\) (que es como la adición en\(\mathbb{R}\)).

Ejemplo C.2.5.

Debe quedar claro que, si\(F \in \left\{\mathbb{Q}, \,\mathbb{R}, \,\mathbb{C} \right\}\), entonces\(F\) forma un campo bajo las definiciones habituales de suma y multiplicación.

Tenga en cuenta, sin embargo, que el conjunto\(\mathbb{Z}\) de enteros no forma un campo bajo estas operaciones ya que\(\mathbb{Z} \setminus \{0\}\) no logra formar un grupo bajo multiplicación. Del mismo modo, ninguno de los otros conjuntos del Ejemplo C.2.3 se puede convertir en un campo.

En cierto sentido\(\mathbb{Q}\),\(\mathbb{R}\), y\(\mathbb{C}\) son los únicos campos fácilmente descriptibles. Si bien hay muchos otros ejemplos interesantes y útiles de campos, ninguno de ellos puede describirse utilizando conjuntos y operaciones completamente familiares. Esto se debe a que los axiomas de campo son extremadamente específicos en la descripción de la estructura algebraica. Como veremos en la siguiente sección, sin embargo, podemos construir una estructura algebraica mucho más general llamada “anillo” al exigir aún que\(F\) formen un grupo abeliano bajo\(+\) pero al mismo tiempo relajando el requisito de que\(F\) simultáneamente forman un grupo abeliano bajo\(*\).

Por ahora, sin embargo, cerramos esta sección tomando un punto de vista completamente diferente. En lugar de colocar una operación binaria adicional (y similar a la multiplicación) en un grupo abeliano, en su lugar imponemos un tipo especial de operación de escalado llamada multiplicación escalar. En esencia, la multiplicación escalar imparte una estructura algebraica útil sobre un conjunto arbitrario no vacío\(S\) imponiendo indirectamente la estructura algebraica de\(\mathbb{F}\) como un grupo abeliano bajo multiplicación. (Recordemos que se\(\mathbb{F}\) puede sustituir por cualquiera\(\mathbb{R}\) o\(\mathbb{C}\).)

Definición C.2.6. Dejar\(S\) ser un conjunto no vacío, y dejar\(*\) ser una operación de escalado en\(S\). (En otras palabras,\(* : \mathbb{F} \times S \to S\) es una función con\(*(\alpha, s)\) denotada por\(\alpha*s\) o incluso simplemente\(\alpha s\), para cada\(\alpha \in \mathbb{F}\) y\(s \in S\).) Entonces\(*\) se llama multiplicación escalar si cumple las dos condiciones siguientes:

1. (existencia de un elemento de identidad multiplicativo para\(*\)) Denotar por\(1\) el elemento de identidad multiplicativo para\(\mathbb{F}\). Entonces, dado alguno\(s \in S\),\(1 * s = s\).
2. (la multiplicación en\(\mathbb{F}\) es cuasi-asociativa con respecto a\(*\)) Dado cualquiera\(\alpha, \beta \in \mathbb{F}\) y cualquiera\(s \in S\),\[ (\alpha \beta) * s = \alpha * (\beta * s). \]

Tenga en cuenta que elegimos tener la parte multiplicativa de\(\mathbb{F}\) “actuar” sobre\(S\) porque estamos abstrayendo la multiplicación escalar como se define intuitivamente en el Ejemplo C.1.4 en ambos\(\mathbb{R}^{n}\) y\(\mathcal{C}(\mathbb{R})\). Esto se debe a que, al requerir también una estructura aditiva “compatible” (llamada adición vectorial), obtenemos la siguiente formulación alternativa para la definición de un espacio vectorial.

Definición C.2.7.

Dejar\(V\) ser un grupo abeliano bajo la operación binaria\(+\), y dejar\(*\) ser una operación de multiplicación escalar\(V\) con respecto a\(\mathbb{F}\). Luego\(V\) forma un espacio vectorial sobre\(\mathbb{F}\)\(+\) y\(*\) si se cumplen las siguientes dos condiciones:

1. (\(*\)distribuye sobre\(+\)) Dado cualquiera\(\alpha \in \mathbb{F}\) y cualquiera\(u, v \in V\),\[ \alpha * (u + v) = \alpha * u + \alpha * v. \]
2. (\(*\)distribuye sobre adición en\(\mathbb{F}\)) Dado cualquiera\(\alpha, \beta \in \mathbb{F}\) y cualquiera\(v \in V\),\[ (\alpha + \beta) * v = \alpha * v + \beta * v. \]

C.3 Anillos y álgebras

En esta sección, mencionamos brevemente otras dos estructuras algebraicas comunes. Específicamente, primero “relajamos” la definición de un campo para definir un anillo, y luego combinamos las definiciones de anillo y espacio vectorial para definir un álgebra. En cierto sentido, los grupos, anillos y campos son las estructuras algebraicas más fundamentales, siendo los espacios vectoriales y álgebras variantes particularmente importantes dentro del estudio del Álgebra Lineal y sus aplicaciones.

Definición C.3.1.

Dejar\(R\) ser un conjunto no vacío, y dejar\(+\) y\(*\) ser operaciones binarias en\(R\). Luego\(R\) forma un anillo (asociativo) bajo\(+\) y\(*\) si se cumplen las siguientes tres condiciones:

1. \(R\)forma un grupo abeliano bajo\(+\).
2. (\(*\)es asociativo) Dados tres elementos cualesquiera\(a, b, c \in R\),\(a * (b * c) = (a * b) * c\).
3. (\(*\)distribuye sobre\(+\)) Teniendo en cuenta tres elementos cualesquiera\(a, b, c \in R\),

\[ a * (b + c) = a * b + a * c \ \ \text{and} \ \ (a + b) * c = a * c + b * c.\]

Al igual que con la definición de grupo, hay muchas propiedades adicionales que se pueden agregar a un anillo; aquí, cada propiedad adicional hace que un anillo sea más parecido a un campo de alguna manera.

Definición C.3.2. Dejar\(R\) ser un anillo bajo las operaciones binarias\(+\) y\(*\).

Entonces llamamos\(R\)

1. conmutativa si\(*\) es una operación conmutativa; es decir, dada alguna\(a, b \in R\),\(a * b = b * a\).
2. unital si hay un elemento de identidad para\(*\); es decir, si existe un elemento\(i \in R\) tal que, dado alguno\(a \in R\),\(a * i = i * a = a\).
3. un anillo conmutativo con identidad (también conocido como CRI) si es tanto conmutativo como unital.

En particular, tenga en cuenta que un anillo conmutativo con identidad es casi un campo; lo único que falta es la suposición de que cada elemento tiene una inversa multiplicativa. Es esta una diferencia la que da como resultado que muchos conjuntos familiares sean CRI (o al menos anillos unitales) pero no campos. Por ejemplo,\(\mathbb{Z}\) es un CRI bajo las operaciones habituales de suma y multiplicación, sin embargo, por la falta de inversas multiplicativas para todos los elementos excepto\(\pm 1\), no\(\mathbb{Z}\) es un campo.

En cierto sentido,\(\mathbb{Z}\) es el ejemplo prototípico de un anillo, pero hay muchos otros ejemplos familiares. Por ejemplo, si\(F\) hay algún campo, entonces el conjunto de polinomios\(F[z]\) con coeficientes de\(F\) es un CRI bajo las operaciones habituales de suma y multiplicación polinomiales, pero nuevamente, por la falta de inversas multiplicativas para cada elemento, no\(F[z]\) es en sí mismo un campo. Otro ejemplo importante de un anillo proviene del Álgebra Lineal. Dado cualquier espacio vectorial\(V\), el conjunto\(\mathcal{L}(V)\) de todos los mapas lineales desde\(V\) hacia\(V\) es un anillo unital bajo las operaciones de adición y composición de funciones. Sin embargo, no\(\mathcal{L}(V)\) es un CRI a menos que\(\dim(V) \in \{0, 1\}\).

Alternativamente, si un anillo\(R\) forma un grupo bajo\(*\) (pero no necesariamente un grupo abeliano), entonces a veces\(R\) se llama campo sesgado (también conocido como anillo de división). Tenga en cuenta que un campo sesgado también es casi un campo; lo único que falta es la suposición de que la multiplicación es conmutativa. Sin embargo, a diferencia de los CRI, no hay ejemplos simples de campos sesgados que no sean también campos.

Como probablemente puedas imaginar, muchas otras propiedades que se pueden anexar a la definición de un anillo, algunas de las cuales son más útiles que otras. Cerramos esta sección definiendo el concepto de álgebra sobre un campo. En esencia, un álgebra es un espacio vectorial junto con una estructura anular “compatible”. En consecuencia, cualquier cosa que se pueda hacer ya sea con un anillo o un espacio vectorial también se puede hacer con un álgebra.

Definición C.3.3.

Dejar\(A\) ser un conjunto no vacío, dejar\(+\) y\(\times\) ser operaciones binarias en\(A\), y dejar\(*\) ser multiplicación escalar en\(A\) con respecto a\(\mathbb{F}\). Luego\(A\) forma un álgebra (asociativa) sobre\(\mathbb{F}\) con respecto a\(+\)\(\times\), y\(*\) si se cumplen las siguientes tres condiciones:

1. \(A\)forma un anillo (asociativo) bajo\(+\) y\(\times\).
2. \(A\)forma un espacio vectorial\(\mathbb{F}\) con respecto a\(+\) y\(*\).
3. (\(*\)es cuasiasociativo y homogéneo con respecto a\(\times\)) Dado cualquier elemento\(\alpha \in \mathbb{F}\) y cualesquiera dos elementos\(a, b \in R\),\[ \alpha * (a \times b) = (\alpha * a) \times b {\rm{~and~}} \alpha * (a \times b) = a \times (\alpha * b). \]

Dos ejemplos particularmente importantes de álgebras ya se definieron anteriormente:\(F[z]\) (que es unital y conmutativo) y\(\mathcal{L}(V)\) (que es, en general, solo unital). Por otro lado, también hay muchos conjuntos importantes en Álgebra Lineal que no son álgebras. Por ejemplo,\(\mathbb{Z}\) es un anillo que no se puede convertir fácilmente en álgebra, y\(\mathbb{R}^{3}\) es un espacio vectorial pero no se puede convertir fácilmente en un anillo (ya que la operación de producto cruzado de Cálculo vectorial no es asociativa).

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