13.4: Resumen de la notación utilizada

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Además de la notación para conjuntos y funciones (tal como se revisa en el Apéndice B), la notación para matrices y sistemas lineales, y los símbolos matemáticos comunes revisados en el Apéndice D, la siguiente notación se utiliza frecuentemente en el estudio del Álgebra Lineal.

Sets Especiales

1. El conjunto de enteros positivos se denota por\(\mathbb{Z}_{+} = \{1, 2, 3, 4, \ldots\}\).
2. El conjunto de enteros se denota por\(\mathbb{Z} = \{\ldots, -2, -1, 0, 1, 2, \ldots\}\).
3. El conjunto de números reales se denota por\(\mathbb{R}\).
4. El conjunto de números complejos se denota por\(\mathbb{C} = \{ x + y i \ | \ x, y \in \mathbb{R} \}\). (a menudo\(\mathbb{F}\) se usa para denotar un conjunto que puede igualmente elegirse como cualquiera\(\mathbb{R}\) o\(\mathbb{C}\).)
5. El conjunto de polinomios de grado como máximo\(n\) en la variable\(z\) y con coeficientes superiores\(\mathbb{F}\) se denota por\(\mathbb{F}_{n}[z] = \left\{ a_{0} + a_{1}z + a_{2}z^{2} + \cdots + a_{n}z^{n} \ | \ a_{0}, a_{1}, \ldots, a_{n} \in \mathbb{F} \right\}\).
6. El conjunto de polinomios de todos los grados en\(z\) con coeficientes sobre\(\mathbb{F}\) se denota por\(\mathbb{F}[z]\).
7. El conjunto de matrices de tamaño\(m \times n\) sobre\(\mathbb{F}\) se denota por\(\mathbb{F}^{m \times n}\).
8. El grupo lineal general de matrices\(n \times n\) invertibles sobre\(\mathbb{F}\) se denota por\(GL(n, \mathbb{F})\).
9. El conjunto de funciones continuas con dominio\(D \subset \mathbb{R}\) y codominio\(\mathbb{R}\) se denota por\(\mathcal{C}(D)\), y el conjunto de funciones suaves (a.k.a. infinitamente diferenciables) con dominio\(D \subset \mathbb{R}\) y codominio\(\mathbb{R}\) se denota por\(\mathcal{C}^{\infty}(D)\).

Números Complejos

Dado\(z = x + y i \in \mathbb{C}\) con\(x, y \in \mathbb{R}\), y donde\(i\) denota la unidad imaginaria, denotamos

1. la inversa aditiva de\(z\) by\(\mathrm{-}z = (\mathrm{-}x) + (\mathrm{-}y) i\).
2. la inversa multiplicativa de\(z\) por\({\displaystyle z^{-1} = \left(\frac{x}{x^{2} + y^{2}}\right) + \left(\frac{-y}{x^{2} + y^{2}}\right) i}\), asumiendo\(z \neq 0\).
3. el complejo conjugado de\(z\) by\(\overline{z} = x + (\mathrm{-}y) i\).
4. la parte real de\(z\) por\(\RealPart(z) = x\).
5. la parte imaginaria de\(z\) por\(\ImaginaryPart(z) = y\).
6. el módulo de\(z\) por\(|z| = \sqrt{x^{2} + y^{2}}\).
7. el argumento de\(z\) por\({\displaystyle \Argument(z) = \min_{\theta\,\geq\,0}\left\{ \,\theta \ | \ x = \cos(\theta),\, y = \sin(\theta)\right\}}\).

Espacios vectoriales

Dejar\(V\) ser un espacio vectorial arbitrario, y dejar\(U_{1}\) y\(U_{2}\) ser subespacios de\(V\). Entonces denotamos

1. la identidad aditiva de\(V\) by\(0\).
2. la inversa aditiva de cada uno\(v \in V\) por\(\mathrm{-}v\).
3. la suma (subespacial) de\(U_{1}\) y\(U_{2}\) por\(U_{1} + U_{2}\).
4. la suma directa de\(U_{1}\) y\(U_{2}\) por\(U_{1} \oplus U_{2}\).
5. el lapso de\(v_{1}, v_{2}, \ldots, v_{n} \in V\) por\(\Span\left(v_{1}, v_{2}, \ldots, v_{n}\right)\).
6. la dimensión de\(V\) por\(\dim(V)\), donde

\[ \dim(V) =\begin{cases} 0 & \mbox{if \(V = \{0\}\) is the zero vector space}, \\ n & \mbox{if every basis for \(V\) has \(n \in \mathbb{Z}_{+}\) elements in it}, \\ \infty & \mbox{otherwise}. \end{cases} \]

7. el cambio de mapa de base con respecto a una base dada\(B\) para\(V\) por\([\,\cdot\,]_{B} : V \to \mathbb{R}^{n}\), donde\(V\) se supone que es\(n\) -dimensional.

Mapas Lineales

Dejar\(U\),\(V\), y\(W\) denotar espacios vectoriales sobre el campo\(\mathbb{F}\). Entonces denotamos

1. el espacio vectorial de todos los mapas lineales desde\(V\) hacia\(W\) por\(\mathcal{L}(V, W)\) o\(\mathrm{Hom}_{\mathbb{F}}(V, W)\).
2. el espacio vectorial de todos los operadores lineales en\(V\) por\(\mathcal{L}(V)\) o\(\mathrm{Hom}_{\mathbb{F}}(V)\).
3. la composición (a.k.a. producto) de\(S \in \mathcal{L}(U, V)\) y\(T \in \mathcal{L}(V, W)\) por\(T \circ S\) (o, equivalentemente,\(TS\)), donde\((T \circ S)(u) = T(S(u))\) para cada uno\(u \in U\).
4. el espacio nulo (también conocido como kernel) de\(T \in \mathcal{L}(V, W)\) by\(\kernel(T) = \{ v \in V \ | \ T(v) = 0\}\).
5. el rango de\(T \in \mathcal{L}(V, W)\) por\(\range(T) = \{ w \in W \ | \ \) w = T (v)\) para algunos\(v \in V\}\).
6. el espacio propio de\(T \in \mathcal{L}(V)\) asociado al valor propio\(\lambda \in \mathbb{C}\) por\(V_{\lambda} = \kernel(T - \lambda\mathrm{id}_{V})\), donde\(\mathrm{id}_{V}\) denota el mapa de identidad en\(V\).
7. la matriz de\(T \in \mathcal{L}(V, W)\) con respecto a la base\(B\) sobre\(V\) y con respecto a la base\(C\) en\(W\) por\(\mathcal{M}(T, B, C)\) (o simplemente como\(\mathcal{M}(T)\)).

Espacios interiores de productos

Dejar\(V\) ser un espacio de producto interno arbitrario, y dejar\(U\) ser un subespacio de\(V\). Entonces denotamos

1. el producto interno en\(V\) por\(\langle\cdot, \cdot\rangle\).
2. la norma sobre\(V\) inducido por\(\langle\cdot, \cdot\rangle\) as\(\|\cdot\| = \sqrt{\langle\cdot, \cdot\rangle}\).
3. el complemento ortogonal de\(U\) by\(U^{\perp} = \left\{ v \in V \ | \ \langle u, v \rangle = 0, \, \forall \, u \in V \right\}\).
4. la proyección ortogonal sobre\(U\) por\(P_{U}\), que, para cada uno\(v \in V\), se define por\(P_{U}(v) = u\) tal que\(v = u + w\) para\(u \in U\) y\(w \in U^{\perp}\).
5. el colindante del operador\(T \in \mathcal{L}(V)\) por\(T^{*}\), donde\(T^{*}\) satisface\(\langle T(v), w \rangle = \langle v, T^{*}(w) \rangle\) para cada uno\(v, w \in V\).
6. la raíz cuadrada del operador positivo\(T \in \mathcal{L}(V)\) por\(\sqrt{T}\), que satisface\(T = \sqrt{T}\sqrt{T}\).
7. la parte positiva del operador\(T \in \mathcal{L}(V)\) por\(|T| = \sqrt{T^{*}T}\).

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