13.3: Algunos símbolos matemáticos comunes y abreviaturas

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Este Apéndice contiene una lista bastante larga de símbolos matemáticos comunes así como una lista de algunas abreviaturas y frases latinas comunes. Si bien no necesariamente necesitará todos los símbolos incluidos para su estudio de Álgebra Lineal, esta lista ojalá le dé una idea de dónde proviene gran parte de nuestra notación matemática moderna.

Relaciones Binarias

• \(=\)(el signo igual) significa “es lo mismo que” y fue introducido por primera vez en el libro de 1557 La piedra de afilar de Witte por el médico y matemático Robert Recorde (c.~1510—1558). Escribió: “Voy a sette como yo doe a menudo en uso woorke, un paire de parralles, o líneas Gemowe de una lengthe, así:\(=\kern-1.75pt=\kern-1.75pt=\kern-1.75pt=\kern-1.75pt=\), bicause noe 2 thynges pueden ser moare equalle”. (El signo igual de Recorde era significativamente más largo que el de uso moderno y se basa en la idea de “Gemowe” o líneas “idénticas”, donde “Gemowe” significa “gemelo” y proviene de la misma raíz que el nombre de la constelación “Géminis”.)
• Robert Recorde también introdujo el signo más, "\(+\)“, y el signo menos,"\(-\) “, en La piedra de afilar de Witte.
• \(<\)(el signo menor que) significa “es estrictamente menor que”, y\(>\) (el signo mayor que) significa “es estrictamente mayor que”. Estos aparecieron por primera vez en el libro Artis Analyticae Praxis ad Aequationes Algebraicas Resolvendas (“Las artes analíticas aplicadas a la resolución de ecuaciones algebraicas”) del matemático y astrónomo Thomas Harriot (1560—1621), que fue publicado póstumamente en 1631.
• Pierre Bouguer (1698—1758) posteriormente los refinó para\(\leq\) (“es menor que o igual”) y\(\geq\) (“es mayor que o igual”) en 1734. Bouger es a veces llamado “el padre de la arquitectura naval” debido a su trabajo fundacional en la teoría de la navegación naval.
• \(:=\)(el signo igual por definición) significa “es igual por definición a”. Esta es una forma alternativa común del símbolo "\(=_{\mathrm{\scriptscriptstyle Def}}\)“, este último habiendo aparecido por primera vez en el libro de 1894 Logica Matematica del lógico Cesare Burali-Forti (1861-1931). Otras formas alternas comunes del símbolo "\(=_{\mathrm{\scriptscriptstyle Def}}\)" incluyen ""\(\stackrel{\mathrm{\scriptscriptstyle def}}{=}\) "y"\(\equiv\) “, siendo"\(\equiv\) "" especialmente común en las matemáticas aplicadas.
• \(\approx\)(el signo aproximadamente igual) significa “es aproximadamente igual a” y fue introducido por primera vez en el libro Aplicaciones de funciones elípticas de 1892 del matemático Alfred Greenhill (1847—1927).

Otros símbolos modernos para “aproximadamente iguales” incluyen "\(\doteq\)" (leer como “es casi igual a”), "\(\cong\)" (leer como “es congruente con”), "\(\simeq\)" (leer como “es similar a”),\(\asymp\) "" (leer como “es asintóticamente igual a”) y "\(\propto\)" (leer como “es proporcional a”). El uso varía, y estos a veces se utilizan para denotar diversos grados de “igualdad aproximada” dentro de un contexto dado.

Algunos símbolos de la lógica matemática

• \(\therefore\)(tres puntos) significa “por lo tanto” y apareció por primera vez impreso en el libro de 1659 Teusche Algebra (“Teach Yourself Algebra”) del matemático Johann Rahn (1622—1676). El álgebra teusche también contiene el primer uso del óbelo, "\(\div\)“, para denotar división.
• \(\because\)(puntos al revés) significa “porque” y parece haber aparecido por primera vez en el libro de 1805 The Gentleman's Mathematical Companion. Sin embargo, es mucho más común (y menos ambiguo) simplemente abreviar “porque” como “b/c”.
• \(\ni\)(el tal ese signo) significa “bajo la condición de que” y apareció por primera vez en la edición de 1906 de Formulaire de mathematics por el lógico Giuseppe Peano (1858—1932). Sin embargo, es mucho más común (y menos ambiguo) simplemente abreviar “tal que” como “s.t.”.

Hay dos buenas razones para evitar usar "\(\ni\)" en lugar de “tal que”. En primer lugar, la abreviatura “s.t.” es significativamente más sugerente de su significado que "\(\ni\)”. Quizás lo más importante, sin embargo, el símbolo\(\ni\) "" se usa ahora comúnmente para significar “contiene como un elemento”, que es una extensión lógica del uso del símbolo incuestionablemente estándar "\(\in\)" para significar “está contenido como un elemento en”.

• \(\Rightarrow\)(el signo implica) significa “lógicamente implica eso”, y\(\Leftarrow\) (el está implícito por signo) significa “está implícito lógicamente por”. Ambos tienen un origen histórico poco claro. (Por ejemplo, “si está lloviendo, entonces está vertiendo” equivale a decir “está lloviendo,\(\Rightarrow\) está vertiendo”.)
• \(\iff\)(el símbolo iff) significa “si y solo si” (abreviado “iff”) y se utiliza para conectar dos declaraciones matemáticas lógicamente equivalentes. (Por ejemplo, “está lloviendo si está vertiendo” significa simultáneamente que “si está lloviendo, entonces está vertiendo” y que “si está vertiendo, entonces está lloviendo”. En otras palabras, la afirmación “está\(\iff\) lloviendo está vertiendo” significa simultáneamente que “está\(\Rightarrow\) lloviendo está vertiendo” y “está\(\Leftarrow\) lloviendo está vertiendo”.) La abreviatura “iff” se atribuye al matemático Paul Halmos (1916—2006).
• \(\forall\)(el cuantificador universal) significa “para todos” y fue utilizado por primera vez en la publicación de 1935 Untersuchungen ueber das logische Schliessen (“Investigaciones sobre razonamiento lógico”) del lógico Gerhard Gentzen (1909—1945). Lo llamó el All-Zeichen (“todo carácter”) por analogía con el símbolo "\(\exists\)“, que significa “existe”.
• \(\exists\)(el {cuantificador existencial) significa “existe” y fue utilizado por primera vez en la edición de 1897 del Formulaire de mathematics por el lógico Giuseppe Peano (1858—1932).
• \(\Box\)(la lápida de Halmos} o símbolo de Halmos) significa “Q.E.D.”, que es una abreviatura de la frase latina quod erat demonstrandum (“que debía probarse”). “Q.E.D.” ha sido la forma más común de simbolizar el fin de un argumento lógico durante muchos siglos, pero la convención moderna de la “lápida” ahora es generalmente preferida tanto porque es más fácil de escribir como porque es visualmente más compacta. El símbolo "\(\Box\)" fue popularizado por primera vez por el matemático Paul Halmos (1916—2006).

Alguna notación a partir de la teoría de conjuntos

• \(\subset\)(el se incluye en el signo) significa “es un subconjunto de” y\(\supset\) (el signo incluye) significa “tiene como subconjunto”. Ambos símbolos fueron introducidos en el libro de 1890 Vorlesungen uber die Algebra der Logik (“Conferencias sobre el álgebra de la lógica”) del lógico Ernst Schroder (1841—1902).
• \(\in\)(el está en signo) significa “es un elemento de” y apareció por primera vez en la edición de 1895 de Formulaire de mathematics por el lógico Giuseppe Peano (1858—1932). Peano originalmente usó la letra griega "\(\epsilon\)" (viz.~la primera letra de la palabra latina est para “es”). La versión estilizada moderna de este símbolo fue posteriormente introducida en el libro de 1903 Principles of Mathematics por el lógico y filósofo Betrand Russell (1872—1970).

También es común usar el símbolo "\(\ni\)" para significar “contiene como elemento”, lo que no debe confundirse con el uso más arcaico de "\(\ni\)" para significar “tal que”.

• \(\cup\)(el signo de unión) significa “tomar los elementos que están en cualquiera de los conjuntos”, y\(\cap\) (el signo de intersección) significa “tomar los elementos que los dos conjuntos tienen en común”. Ambos fueron introducidos en el libro Calcolo geometrico de 1888 segundo L'ausdehnungslehre di H. Grassmann preceduto dale operazioni della logica deduttiva (“Cálculo geométrico basado en las enseñanzas de H. Grassman, precedido por las operaciones de la lógica deductiva”) del lógico Giuseppe Peano (1858— 1932).
• \(\emptyset\)(el conjunto nulo o conjunto vacío) significa “el conjunto sin ningún elemento en él” y fue utilizado por primera vez en el libro Elementos de matemáticos de 1939 de Nicolas Bourbaki. (Bourbaki es el seudónimo colectivo de un grupo de matemáticos principalmente europeos que han escrito muchos libros de matemáticas juntos). Fue tomado prestado simultáneamente de los alfabetos noruego, danés y feroés por el miembro del grupo Andre Weil (1906—1998).
• \(\infty\)(infinito) denota “una cantidad o número de magnitud arbitrariamente grande” y apareció por primera vez impresa en la publicación de 1655 De Sectionibus Conicus (“Tract on Conic Sections”) del matemático John Wallis (1616—1703). Las posibles explicaciones para la elección de ""\(\infty\) "Wallis incluyen su parecido con el símbolo"\(oo\) "" (utilizado por los antiguos romanos para denotar el número 1000), a la letra final del alfabeto griego\(\omega\) (utilizada simbólicamente para significar el número “final”), y a una curva simple llamada “lemniscate”, que puede ser atravesada sin cesar con poco esfuerzo.

Algunos números importantes en matemáticas

• \(\pi\)(la relación entre la circunferencia y el diámetro de un círculo) denota el número\(3.141592653589\ldots\), y se utilizó por primera vez en el libro de 1706 Sinopsis palmariorum mathesios (“Una nueva introducción a las matemáticas”) del matemático William Jones (1675—1749). El uso de\(\pi\) para denotar este número fue luego popularizado por el gran matemático Leonhard Euler (1707—1783) en su libro de 1748 Introductio in Analysin Infinitorum. (Se especula que Jones eligió la letra\(\pi\) "" porque es la primera letra de la palabra griega perimetron\(\pi\epsilon\rho\iota\mu\epsilon\tau\rho o \nu\), que aproximadamente significa “alrededor”).
• \(e\)\(= \lim_{n \to \infty} (1 + \frac{1}{n})^{n}\)(la base del logaritmo natural, también llamada a veces número de Euler) denota el número\(2.718281828459\ldots\), y se utilizó por primera vez en el manuscrito de 1728 Meditatio en Experimenta explosion tormentorum nuper instituta (“Meditación sobre experimentos realizados recientemente sobre el disparo de cañón”) de Leonhard Euler. (Se especula que Euler eligió\(e\) "" porque es la primera letra de la palabra latina para “exponencial”.) El matemático Edmund Landau (1877-1938) escribió una vez que: “La carta ya no\(e\) puede ser utilizada para denotar otra cosa que no sea esta constante universal positiva”.
• \(i\)\(= \sqrt{-1}\)(la unidad imaginaria) fue utilizada por primera vez en las memorias de 1777 Institutionum calculi integralis (“Fundamentos del Cálculo Integral”) de Leonhard Euler. Los cinco números más importantes en matemáticas son ampliamente considerados como (en orden)\(0\)\(1\),\(i\),\(\pi\), y\(e\). Estos números están incluso notablemente vinculados por la ecuación\(e^{i \pi} + 1 = 0\), que el físico Richard Feynman (1918—1988) alguna vez llamó “la fórmula más notable en matemáticas”.
• \(\gamma\)\(= \lim_{n \to \infty} (\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k} - \ln{n})\)(la constante de Euler-Mascheroni, también conocida como la constante de Euler), “Anotaciones al cálculo integral de Euler”) por el geómetro Lorenzo Mascheroni (1750—1800). El número\(\gamma\) es ampliamente considerado como el sexto número más importante en matemáticas debido a su frecuente aparición en fórmulas de teoría de números y matemáticas aplicadas. No obstante, a partir de este escrito, aún no se sabe si\(\gamma\) es o no un número irracional.
• \(\phi\)\(= \frac{1}{2}(1+\sqrt{5})\)(la proporción áurea) denota el número%\(1.618033988749 \ldots\). Su uso fue atribuido por primera vez al% del matemático estadounidense Mr. Mark Barr en Las curvas de la vida: ser un relato de las formaciones espirales y su aplicación al crecimiento en la naturaleza, a la ciencia y al arte: Con especial referencia a los manuscritos de Leonardo da Vinci (1914)} de Sir Theodore Andrea Cook (1867—1928): “El símbolo\(\phi\) se le dio a esta proporción en parte porque tiene un sonido familiar para quienes luchan constantemente\(\pi\) y en parte porque es la\(1^{\textrm{st}}\) letra del nombre de Feidias, en cuya escultura se ve prevalecer este número cuando la distancia entre se miden los puntos sobresalientes”.

El número también\(\phi\) suele llamarse la “proporción divina” o la “proporción dorada”, y se ha reconocido desde la antigüedad como una relación especialmente estéticamente agradable para las longitudes laterales de un rectángulo. Tal rectángulo se llama “rectángulo dorado”.

Algunas abreviaturas y frases comunes en latín

• es decir, (id est) significa “es decir” o “en otras palabras”. (Se utiliza para parafrasear una afirmación que se acaba de hacer, no para significar “por ejemplo”, y siempre va seguida de una coma).
• ej. (exempli gratia) significa “por ejemplo”. (Se suele utilizar para dar un ejemplo de una declaración que se acaba de hacer y siempre va seguida de una coma).
• viz. (videlicet) significa “a saber” o “más específicamente”. (Se utiliza para aclarar una afirmación que se acaba de hacer proporcionando más información y nunca va seguida de una coma).
• etc. (etcétera) significa “y así sucesivamente” o “y así sucesivamente”. (Se utiliza para sugerir que el lector debe inferir más ejemplos de una lista que ya se ha iniciado y que generalmente no va seguida de una coma).
• et al. (et alii) significa “y otros”. (Se utiliza en lugar de enumerar varios autores más allá del primero y nunca es seguido por una coma). La abreviatura “et al.” ~también se puede usar en lugar de et coartada}, que significa “y en otros lugares”.
• cf. (conferre) significa “comparar con” o “ver también”. (Se utiliza ya sea para dibujar una comparación o para referir al lector a algún otro lugar donde pueda encontrar más información, y nunca le sigue una coma).
• q.v. (quod vide) significa “que ven” o “ve a buscarlo si te interesa”. (Se utiliza para hacer referencia cruzada a una obra escrita diferente o a una parte diferente de la misma obra escrita, y nunca va seguida de una coma). La forma plural de “q.v.” ~es “q.q.”
• v.s. (vide supra) significa “ver arriba”. (Se utiliza para dar a entender que se puede encontrar más información antes del punto actual en una obra escrita y nunca va seguida de una coma).
• N.B. (Nota Bene) significa “anotar bien” o “prestar atención a lo siguiente”. (Se utiliza para dar a entender que el lector sabio prestará especial atención a lo que sigue y nunca es seguido por una coma. cf.~La abreviatura “verbo. ~sap.”)
• verbo. sap. (verbum sapienti sat est) significa “una palabra al sabio es suficiente” o “ya se ha dicho suficiente”. (Se utiliza para dar a entender que, si bien algo aún puede quedar sin decir, se ha dicho lo suficiente para que el lector pueda inferir todo el significado.)
• vs. (versus) significa “contra” o “en contraste con”. (Se utiliza para contrastar dos cosas y nunca le sigue una coma). La abreviatura “vs.” ~ también se escribe a menudo como “v.”
• c. (circa) significa “alrededor” o “cerca”. (Se utiliza cuando se da una aproximación, generalmente para una fecha, y nunca va seguida de una coma). La abreviatura “c.” ~también se escribe comúnmente como “ca.”, “cir. “, o “circ”.
• ex lib. (ex libris) significa “de la biblioteca de”. (Se utiliza para indicar la propiedad de un libro y nunca le sigue una coma.).
• viceversa significa “al revés” y se utiliza para indicar que una implicación puede revertirse lógicamente. (Esto a veces se abrevia como “v.v.”)
• a fortiori significa “desde el más fuerte” o “lo más importante”.
• a priori significa “de antes del hecho” y se refiere al razonamiento que se hace mientras aún no ha ocurrido un suceso.
• a posteriori significa “desde después del hecho” y se refiere al razonamiento que se hace después de que ya ocurrió un suceso.
• ad hoc significa “a esto” y se refiere al razonamiento que es específico de un evento tal como está sucediendo. (Se considera que tal razonamiento no es generalizable a otras situaciones.)
• ad infinitum significa “hasta el infinito” o “sin límite”.
• ad nauseam significa “causar mareo” o “excesivo”.
• mutatis mutandis significa “cambiar lo que necesita cambiar” o “habiéndose realizado los cambios necesarios”.
• non sequitur significa “no sigue” y se refiere a algo que está fuera de lugar en un argumento lógico. (Esto a veces se abrevia como “non seq.”)
• ¡Me transmitte súmen, Caledoni! significa: “¡Transmítame, Scotty!”
• Illud Latine dici non potest significa “No se puede decir eso en latín”.
• Quid quid latine dictum sit, altum videtur significa algo así como, “Todo lo que se diga en latín sonará profundo”.

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