Prefacio

Bellman ha llamado teoría matricial 'la aritmética de las matemáticas superiores'. Bajo la influencia de Bellman y Kalman, ingenieros y científicos han encontrado en la teoría matricial un lenguaje para representar y analizar sistemas multivariables. Nuestro objetivo en estas notas es demostrar el papel de las matrices en el modelado de sistemas físicos y el poder de la teoría de matrices en el análisis y síntesis de dichos sistemas.

Comenzando con el modelado de estructuras en equilibrio estático, nos enfocamos en la naturaleza lineal de la relación entre variables de estado relevantes y expresamos estas relaciones como productos simples de matriz-vector. Por ejemplo, las caídas de voltaje a través de las resistencias en una red son combinaciones lineales de los potenciales en cada extremo de cada resistencia. De manera similar, se supone que la corriente a través de cada resistencia es una función lineal de la caída de voltaje a través de ella. Y, finalmente, en equilibrio, una combinación lineal (en menos fuera) de las corrientes debe desvanecerse en cada nodo de la red. En definitiva, el vector de corrientes es una transformación lineal del vector de caídas de tensión que es en sí misma una transformación lineal del vector de potenciales. Una transformación lineal de n números en m números se logra multiplicando el vector de n números por una matriz m-por-n. Una vez que hemos aprendido a detectar el omnipresente producto matriz-vector pasamos al análisis de los sistemas lineales de ecuaciones resultantes. Logramos esto extendiendo tu conocimiento del espacio tridimensional. Es decir, nos preguntamos ¿qué significa que la matriz m-by- n X transforma Rn (espacio n-dimensional real) en Rm? Visualizaremos esta transformación dividiendo tanto Rn como Rm cada uno en dos espacios más pequeños entre los cuales la X dada se comporta de manera muy manejable. La comprensión de esta división de los espacios ambientales en los llamados cuatro subespacios fundamentales de X permite responder prácticamente a todas las preguntas que puedan surgir en el estudio de estructuras en equilibrio estático.

En la segunda mitad de las notas argumentamos que los métodos matriciales son igualmente efectivos en el modelado y análisis de sistemas dinámicos. Si bien nuestra metodología de modelado se adapta fácilmente a problemas dinámicos veremos, con respecto al análisis, que en lugar de dividir los espacios ambientales seremos mejor atendidos dividiendo X en sí mismo. El proceso es análogo a descomponer una señal complicada en una suma de armónicos simples que oscilan a las frecuencias naturales de la estructura bajo investigación. Porque veremos que (la mayoría) las matrices pueden escribirse como sumas ponderadas de matrices de tipo muy especial. Los pesos son valores propios, o frecuencias naturales, de la matriz mientras que las matrices componentes son proyecciones compuestas a partir de productos simples de vectores propios. Nuestro acercamiento a la descomposición propia de matrices requiere una breve exposición al hermoso campo de las Variables Complejas. Esta incursión tiene el beneficio agregado de que nos permite un estudio más cuidadoso de la Transformación de Laplace, otra herramienta fundamental en el estudio de los sistemas dinámicos.

—Steve Cox