10.1: Sets y Notación de Conjuntos
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Un conjunto es una colección de cosas llamadas elementos. Por ejemplo\(\left\{ 1,2,3,8\right\}\) sería un conjunto compuesto por los elementos 1,2,3, y 8. Para indicar que\(3\) es un elemento del\(\left\{ 1,2,3,8\right\} ,\) mismo es costumbre escribir También\(3\in \left\{ 1,2,3,8\right\}.\) podemos indicar cuando un elemento no está en un conjunto, mediante la escritura\(9\notin \left\{ 1,2,3,8\right\}\) que dice que no\(9\) es un elemento de\(\left\{ 1,2,3,8\right\}.\) A veces una regla especifica un conjunto. Por ejemplo, podría especificar un conjunto como todos los enteros mayores que\(2.\) Esto se escribiría como
\[S=\left\{ x\in \mathbb{Z}:x>2\right\} .\nonumber \]
Esta notación dice:\(S\) es el conjunto de todos los enteros,\(x,\) tal que\(x>2.\)
Supongamos\(A\) y\(B\) son conjuntos con la propiedad de la que cada elemento\(A\) es un elemento de\(B\). Entonces decimos que\(A\) es un subconjunto de\(B.\) Por ejemplo,\(\left\{ 1,2,3,8\right\}\) es un subconjunto de\(\left\{ 1,2,3,4,5,8\right\}.\) En símbolos, escribimos
\[\left\{ 1,2,3,8\right\} \subseteq \left\{ 1,2,3,4,5,8\right\} .\nonumber \]
A veces se dice que “\(A\)está contenido en\(B\)" o incluso “\(B\)contiene\(A\)”. La misma declaración sobre los dos conjuntos también puede escribirse como
\[\left\{ 1,2,3,4,5,8\right\} \supseteq \left\{ 1,2,3,8\right\}. \nonumber\]
También podemos hablar de la unión de dos conjuntos, que escribimos como\(A \cup B\). Este es el conjunto que consiste en todo lo que es un elemento de al menos uno de los conjuntos,\(A\) o\(B\). Como ejemplo de la unión de dos conjuntos, considere
\[\left\{ 1,2,3,8\right\} \cup \left\{ 3,4,7,8\right\} =\left\{ 1,2,3,4,7,8\right\}.\nonumber \]
Este conjunto se compone de los números que están en al menos uno de los dos conjuntos.
En general
\[A\cup B = \left\{ x:x\in A \text{ or }x\in B\right\}\nonumber \]
Observe que un elemento que está en ambos\(A\) y también\(B\) está en la unión, así como elementos que están en solo uno de\(A\) o\(B\).
Otro conjunto importante es la intersección de dos conjuntos\(A\) y\(B\), escrito\(A \cap B\). Este conjunto consiste en todo lo que está en ambos conjuntos. Así\(\left\{ 1,2,3,8\right\} \cap \left\{ 3,4,7,8\right\} =\left\{ 3,8\right\}\) porque\(3\) y\(8\) son esos elementos los dos conjuntos tienen en común. En general,\[A\cap B = \left\{ x:x\in A\text{ and }x\in B\right\}\nonumber \]
Si\(A\) y\(B\) son dos conjuntos,\(A\setminus B\) denota el conjunto de cosas que están en\(A\) pero no en\(B.\) Así\[A\setminus B = \left\{ x\in A:x\notin B\right\}\nonumber \] Por ejemplo, si\(A = \left\{1,2,3,8 \right\}\) y\(B = \left\{ 3,4,7,8 \right\}\), entonces\(A \setminus B = \left\{ 1,2,3,8\right\} \setminus \left\{ 3,4,7,8 \right\} =\left\{1,2 \right\}\).
Un conjunto especial que es muy importante en matemáticas es el conjunto vacío denotado por\(\emptyset\), que se define como el conjunto que no tiene elementos en él. De ello se deduce que el conjunto vacío es un subconjunto de cada conjunto. Esto es cierto porque si no fuera así, tendría que existir un conjunto\(A,\) tal que\(\emptyset\) tenga algo en él que no esté en\(A.\) Sin embargo, no\(\emptyset\) tiene nada en él y así debe ser que\(\emptyset \subseteq A.\)
También podemos usar corchetes para denotar conjuntos que son intervalos de números. Dejemos\(a\) y\(b\) sean números reales. Entonces
- \(\left[ a,b\right] = \{x \in \mathbb{R}: a\leq x\leq b \}\)
- \(\left[a,b \right) = \{x \in \mathbb{R}: a\leq x<b \}\)
- \(\left( a,b\right) = \{x \in \mathbb{R}: a<x<b \}\)
- \((a,b] = \{ x \in \mathbb{R}: a<x\leq b \}\)
- \([a,\infty ) = \{x \in \mathbb{R}: x\geq a \}\)
- \((-\infty ,a] = \{x \in \mathbb{R}: x \leq a \}\)
Este tipo de conjuntos de números reales se llaman intervalos. Los dos puntos\(a\) y se\(b\) denominan puntos finales, o límites, del intervalo. En particular,\(a\) es el límite inferior mientras que\(b\) es el límite superior de los intervalos anteriores, en su caso. Otros intervalos como\(\left( -\infty ,b\right)\) son definidos por analogía a lo que se acaba de explicar. En general, el paréntesis curvo,\((\), indica que el punto final no está incluido en el intervalo, mientras que el paréntesis cuadrado,\([\), indica que este punto final está incluido. La razón por la que siempre habrá un paréntesis curvo junto a\(\infty\) o\(-\infty\) es que estos no son números reales y no pueden incluirse en el intervalo de la manera en que un número real puede hacerlo.
Para ilustrar el uso de esta notación relativa a los intervalos, considere tres ejemplos de desigualdades. Sus soluciones se escribirán en la notación de intervalo que acabamos de describir.
Resolver la desigualdad\(2x+4\leq x-8\).
Solución
Tenemos que encontrar\(x\) tal que\(2x+4\leq x-8\). Resolviendo para\(x\), vemos que esa\(x\leq -12\) es la respuesta. Esto está escrito en términos de un intervalo como\((-\infty ,-12].\)
Considera el siguiente ejemplo.
Resolver la desigualdad\(\left( x+1\right) \left( 2x-3\right) \geq0.\)
Solución
Tenemos que encontrar\(x\) tal que\(\left( x+1\right) \left( 2x-3\right) \geq0.\) La solución viene dada por\(x\leq -1\) o\(x\geq \frac{3}{2}\). Por lo tanto,\(x\) que encajan en cualquiera de estos intervalos da una solución. En términos de notación de conjunto esto se denota por\((-\infty ,-1]\cup [ \frac{3}{2},\infty ).\)
Considera un último ejemplo.
Resolver la desigualdad\(x \left( x+2\right) \geq-4\).
Solución
Esta desigualdad es cierta para cualquier valor de\(x\) donde\(x\) es un número real. Podemos escribir la solución como\(\mathbb{R}\) o\(\left( -\infty ,\infty \right) .\)
En la siguiente sección, examinamos otro concepto matemático importante.