Comenzamos esta sección con alguna notación importante. La notación de suma, escrita\(\sum_{i=1}^{j} i\) , representa una suma. Aquí,\(i\) se llama el índice de la suma, y agregamos iteraciones hasta\(i=j\) . Por ejemplo,\[\sum_{i=1}^{j} i = 1 + 2 + \cdots + j\nonumber \] Otro ejemplo:\[a_{11} + a_{12} + a_{13} = \sum_{i=1}^{3} a_{1i}\nonumber \]
La siguiente notación es un uso específico de la notación de suma.
Notación\(\PageIndex{1}\) : Notación desuma
\(a_{ij}\) Dejen ser números reales, y supongamos\(1\leq i\leq r\) mientras\(1\leq j\leq s\) . Estos números se pueden enumerar en una matriz rectangular según lo dado por\[\begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1s} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2s} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{r1} & a_{r2} & \cdots & a_{rs} \end{array}\nonumber \]
Después\(\sum_{j=1}^{s}\sum_{i=1}^{r} a_{ij} \) significa sumar primero los números en cada columna (usando\(i\) como índice) y luego sumar las sumas que resultan (usando\(j\) como índice). Del mismo modo,\(\sum_{i=1}^{r}\sum_{j=1}^{s} a_{ij} \) significa sumar los vectores en cada fila (usando\(j\) como índice) y luego sumar las sumas que resultan (usando\(i\) como índice).
Observe que dado que la adición es conmutativa,
\[\sum_{j=1}^{s}\sum_{i=1}^{r} a_{ij} = \sum_{i=1}^{r}\sum_{j=1}^{s} a_{ij}. \nonumber\]
Consideramos ahora el concepto principal de esta sección. La inducción matemática y el ordenamiento del pozo son dos principios extremadamente importantes en matemáticas. A menudo se utilizan para probar cosas significativas que sería difícil demostrar lo contrario.
Definición\(\PageIndex{1}\) : Un conjunto está bien ordenado si cada subconjunto no vacío\(S,\) contiene un elemento más pequeño\(z\) que tiene la propiedad que\(z\leq x\) para todos\(x\in S.\)
En particular, el conjunto de números naturales definidos como\[\mathbb{N} = \left\{ 1,2,\cdots \right\}\nonumber \] está bien ordenado.
Considera la siguiente proposición.
Proposición\(\PageIndex{1}\) : Well Ordered Sets Cualquier conjunto de enteros mayores que un número dado está bien ordenado.
Esta proposición afirma que si un conjunto tiene un límite inferior que es un número real, entonces este conjunto está bien ordenado.
Además, esta proposición implica el principio de inducción matemática. El símbolo\(\mathbb{Z}\) denota el conjunto de todos los enteros. Tenga en cuenta que si\(a\) es un número entero, entonces no hay números enteros entre\(a\) y\(a+1.\)
Teorema\(\PageIndex{1}\) : Mathematical Induction Un conjunto\(S\subseteq \mathbb{Z},\) que tiene la propiedad que\(a\in S\) y\(n+1\in S\) siempre que\(n\in S\) , contiene todos los enteros de\(x\in \mathbb{Z}\) tal manera que\(x\geq a.\)
Prueba
Dejar\(T\) consistir en todos los enteros mayores o iguales a los\(a\) que no están en\(S.\) El teorema se probará\(T=\emptyset .\) si\(T\neq \emptyset\) entonces por el principio de ordenamiento del pozo, tendría que existir un elemento más pequeño de\(T,\) denotado como\(b.\) Debe darse el caso de que \(b>a\) ya que por definición,\(a\notin T.\) Así\(b\geq a+1\) , y así\(b-1\geq a\) y\(b-1\notin S\) porque si\(b-1\in\) \(S,\) entonces\(b-1+1=b\in S\) por la supuesta propiedad de\(S.\) Por lo tanto, lo\(b-1\in T\) que contradice la elección de\(b\) como el elemento más pequeño de\(T.\) ( \(b-1\) es más pequeño.) Ya que se obtiene una contradicción asumiendo\(T\neq \emptyset ,\) debe ser el caso que\(T=\emptyset\) y esto dice que cada entero al menos tan grande como\(a\) está también en\(S\) .
La inducción matemática es un dispositivo muy útil para probar teoremas sobre los enteros. El procedimiento es el siguiente.
Procedimiento\(\PageIndex{1}\) : Supongamos que\(S_{n}\) es una declaración que es una función del número\(n\) \(n=1,2,\cdots\) , para, y deseamos demostrar que\(S_{n}\) es verdad para todos\(n \geq 1\) . Para hacerlo mediante inducción matemática, siga los siguientes pasos.
Caso Base: \(S_{1}\) El espectáculo es cierto.Asumir\(S_{n}\) es cierto para algunos\(n\) , que es la hipótesis de inducción . Entonces, usando esta suposición, demuestra que eso\(S_{n+1}\) es cierto.
Demostrar estos dos pasos demuestra que\(S_{n}\) es cierto para todos\(n = 1,2,\cdots\) .
Podemos utilizar este procedimiento para resolver los siguientes ejemplos.
Ejemplo\(\PageIndex{1}\) : Demostrar por inducción que\(\sum_{k=1}^{n}k^{2}=\displaystyle \frac{n\left( n+1\right) \left( 2n+1\right) }{6}\) .
Solución
Por Procedimiento\(\PageIndex{1}\) , primero tenemos que demostrar que esta afirmación es cierta para\(n=1\) . Cuando\(n=1\) , el comunicado dice que\[\begin{aligned} \sum_{k=1}^{1}k^{2}&=\frac{1\left( 1+1\right) \left( 2(1)+1\right) }{6}\\ &=\frac{6}{6} \\ &=1\end{aligned}\]
La suma en el lado izquierdo también es igual\(1\) , por lo que esta ecuación es cierta para\(n=1\) .
Ahora supongamos que esta fórmula es válida para algunos\(n\geq 1\) donde\(n\) es un entero. De ahí que la siguiente ecuación sea cierta.
\[\sum_{k=1}^{n}k^{2}= \frac{n\left( n+1\right) \left( 2n+1\right) }{6} \label{induction1}\]
Queremos demostrar que esto es cierto para\(n+1\) .
Supongamos que sumamos\((n+1)^2\) a ambos lados de la Ecuación\(\eqref{induction1}\) . \[\begin{aligned} \sum_{k=1}^{n+1}k^{2}&=\sum_{k=1}^{n}k^{2}+\left( n+1\right) ^{2} \\ &=\frac{n\left( n+1\right) \left( 2n+1\right) }{6}+\left( n+1\right) ^{2}\end{aligned}\]
El paso que va de la primera a la segunda línea se basa en el supuesto de que la fórmula es cierta para\(n.\) Ahora simplificar la expresión en la segunda línea,\[\frac{n\left( n+1\right) \left( 2n+1\right) }{6}+\left( n+1\right) ^{2}\nonumber \]
Esto equivale a\[\left( n+1\right) \left( \frac{n\left( 2n+1\right) }{6}+\left( n+1\right) \right)\nonumber \] y\[\frac{n\left( 2n+1\right) }{6}+\left( n+1\right) =\frac{6\left( n+1\right) +2n^{2}+n}{6}=\frac{ \left( n+2\right) \left( 2n+3\right) }{6}\nonumber \]
Por lo tanto,\[\sum_{k=1}^{n+1}k^{2}=\frac{ \left( n+1\right) \left( n+2\right) \left( 2n+3\right) }{6}=\frac{ \left( n+1\right) \left( \left( n+1\right) +1\right) \left( 2\left( n+1\right) +1\right) }{6}\nonumber \] mostrar la fórmula se mantiene para\(n+1\) siempre que se mantenga para\(n.\) Esto prueba la fórmula por inducción matemática. En otras palabras, esta fórmula es cierta para todos\(n = 1, 2, \cdots\) .
Considera otro ejemplo.
Ejemplo\(\PageIndex{2}\) : Demostrar que para todos\(n\in \mathbb{N}\) ,\(\displaystyle \frac{1}{2}\cdot \displaystyle \frac{3}{4}\cdots \displaystyle \frac{2n-1}{2n}<\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2n+1}}.\)
Solución
Nuevamente utilizaremos el procedimiento dado en Procedimiento\(\PageIndex{1}\) para acreditar que esta afirmación es cierta para todos\(n\) . Supongamos\(n=1\) . Entonces la afirmación dice\[\frac{1}{2}< \frac{1}{\sqrt{3}}\nonumber \] cual es verdad.
Supongamos entonces que la desigualdad se sostiene para\(n.\) En otras palabras,\[\frac{1}{2}\cdot \frac{3}{4}\cdots \frac{2n-1}{2n} < \frac{1}{\sqrt{2n+1}}\nonumber \] es cierto.
Ahora multiplicar ambos lados de esta desigualdad por\(\frac{2n+1}{2n+2}\) . Esto rinde\[\frac{1}{2}\cdot \frac{3}{4}\cdots \frac{2n-1}{2n}\cdot \frac{2n+1}{2n+2}< \frac{1}{\sqrt{2n+1}}\frac{2n+1}{2n+2}=\frac{\sqrt{2n+1}}{2n+2}\nonumber \]
El teorema se probará si esta última expresión es menor que\(\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2n+3}}.\) Esto sucede si y sólo si\[\left( \frac{1}{\sqrt{2n+3}}\right) ^{2}=\frac{1}{2n+3}>\frac{2n+1}{\left( 2n+2\right) ^{2}}\nonumber \] que ocurre si y sólo si\(\left( 2n+2\right) ^{2}>\left( 2n+3\right) \left( 2n+1\right)\) y esto es claramente cierto lo que se puede ver desde la expansión de ambos lados. Esto prueba la desigualdad.
Revisemos el proceso que acabamos de usar. Si\(S\) es el conjunto de enteros al menos tan grande como\(1\) para el que se sostiene la fórmula, el primer paso fue mostrar\(1\in S\) y luego que siempre\(n\in S,\) que siga\(n+1\in S.\) Por lo tanto, por el principio de inducción matemática,\(S\) contiene\([1,\infty )\cap \mathbb{Z} ,\) todos los enteros positivos. Al hacer una prueba inductiva de este tipo, normalmente no\(S\) se menciona el conjunto. Uno solo verifica los pasos anteriores.
