5.6: El Set Julia

Última actualización

30 oct 2022
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- 5.5: El Set Mandelbrot
- 6: Capítulo 6

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En la sección anterior mostramos cómo se puede generar el conjunto de Mandelbrot usando la expresión

$z_{n+1}=z_{n}^2+z_0.$

Este es un caso particular de la ecuación de recurrencia cuadrática

\ (\ begin {eqnarray}\ label {julia}
z_ {n+1} =z_ {n} ^2+c
\ end {eqnarray}\)

con $c$ un número complejo fijo. El conjunto que obtenemos con esta ecuación se conoce como el conjunto de Julia. De hecho, hay un conjunto diferente de Julia para casi todos $c$ .

De manera similar a lo que hicimos para el conjunto de Mandelbrot, obtenemos una secuencia de números complejos $z_n$ con $n=0,1,2,\ldots$ . Nuevamente, $z_n$ se dice que los puntos forman la órbita de $z_0$ , y el conjunto Julia se define de la siguiente manera:

Si la órbita $z_n$ no logra escapar al infinito, $z_0$ se dice que la inicial pertenece a la Julia Set rellenada.

El conjunto de Julia lleva el nombre del matemático francés Gastón Julia quien investigó sus propiedades en 1915 y culminó en su famoso trabajo en 1918: Mémoire sur l'itération des fonctions rationnelles. Si bien el conjunto Julia se asocia ahora con el polinomio cuadrático en (1), Julia estaba interesada en las propiedades iterativas de una expresión más general, a saber

$z^4 + \frac{z^3}{z-1} + \frac{z^2}{z^3 + 4 z^2 + 5} + c.$

Los conjuntos de Julia, definidos por la ecuación (1), pueden tomar todo tipo de formas, y un pequeño cambio en $c$ puede cambiar el conjunto de Julia muy grandemente. En 1979, con la ayuda de la computadora, B. B. Mandelbrot estudió los sets de Julia e intentó clasificar todas las formas posibles y se le ocurrió una nueva forma: el Set Mandelbrot.

Explora los sets de Julia en el applet a continuación. Acercar o alejar el zoom en diferentes regiones. Cambiar el número de iteraciones y observar lo que sucede con la trama. Mueve el ratón alrededor y observa los diferentes conjuntos de Julia dependiendo del valor de $c$ .

+: Acercar -: Alejar R =Restablecer vista I =Información y Marco

El Mandelbrot y Julia establece la conexión

Debido a la definición del conjunto de Mandelbrot, existe una estrecha correspondencia entre la geometría del conjunto de Mandelbrot en un punto dado y la estructura del conjunto Julia correspondiente. Es decir, el conjunto de Mandelbrot forma una especie de índice en el conjunto de Julia. Un conjunto de Julia está conectado o desconectado, los valores de $c$ elegidos dentro del conjunto de Mandelbrot están conectados mientras que los del exterior del conjunto Mandelbrot están desconectados. Los conjuntos desconectados a menudo se llaman polvo, consisten en puntos individuales sin importar en qué resolución se vean.

Explora la relación entre los conjuntos de Mandelbrot y Julia en el siguiente applet. Mueve el mouse sobre el set de Mandelbrot para observar diferentes conjuntos de Julia. Acercar o alejar el zoom en diferentes regiones. Abra el menú Controles para cambiar el número de iteraciones o elija un valor específico de $c$ .

+: Acercar -: Alejar R =Restablecer vista I =Información y Marco

Abrir en una pestaña separada

Lectura adicional

Los applets se hicieron con p5.js y el código fuente se puede encontrar:

Conjunto Julia
Relación Julia-Mandelbrot

Si quieres aprender a programarlo tú mismo, te recomiendo este tutorial:

Desafío de codificación: conjunto de Julia

Por último, te recomiendo dos de las introducciones básicas más leídas a los sets de Mandelbrot y Julia:

La belleza de los fractales de Heinz-Otto Peitgen & Peter H. Richter, Munich: Springer-Verlang, 1986.
Los colores del infinito, de Nigel Lesmoir-Gordon (ed), Londres: Springer-Verlang, 2010.

Ambos cubren otros fractales fascinantes y contienen muchas imágenes espectaculares.

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