5.3: Serie Laurent

Recordemos que una función\(f\) de la variable compleja\(z\) es analítica en un punto\(z_0\) si tiene una derivada en cada punto en algún vecindario de\(z_0\). Una función completa es una función que es analítica en cada punto en todo el plano finito. Si una función\(f\) no puede ser analítica en un punto\(z_0\) pero es analítica en algún momento en cada vecindario de\(z_0\), entonces\(z_0\) se llama un punto singular, o singularidad, de\(f\).

Supongamos que\(f(z)\), o cualquier rama única valorada de\(f(z)\), si\(f(z)\) es multivalor, es analítica en la región\(0\lt|z-z_0|\lt R\) y no en el punto\(z_0\). Entonces el punto\(z_0\) se llama punto singular aislado de\(f(z)\).

Ahora bien, recordemos también que cualquier función que sea analítica a lo largo de un disco\(|z -z_0|\lt R_0\) debe tener una serie Taylor sobre\(z_0\). Si la función no logra ser analítica en algún momento\(z_0\), a menudo es posible encontrar una representación en serie para\(f(z)\) involucrar tanto los poderes positivos como negativos de\(z−z_0\). Formalmente hablando tenemos el siguiente resultado:

Teorema\(\PageIndex{1}\)

Supongamos que una función\(f\) es analítica a lo largo de un dominio anular\(R_1 \lt |z - z_0| \lt R_2\), centrada en\(z_0\), y dejar\(C\) denotar cualquier contorno cerrado simple orientado positivamente alrededor\(z_0\) y que se encuentra en ese dominio. Entonces, en cada punto del dominio,\(f(z)\) tiene la representación en serie

\ (\ begin {eqnarray}\ label {laurentfunction}
f (z) =\ suma_ {n=0} ^ {\ infty} a_n (z-z_0) ^n+\ suma_ {n=1} ^ {\ infty}\ frac {b_n} {(z-z_0) ^n},
\ end {eqnarray}\)

donde

\ (\ begin {eqnarray}\ label {non-principalpart}
a_n=\ frac {1} {2\ pi i}\ om_c\ frac {f (z) dz} {(z-z_0) ^ {n+1}},\ quad n=0,1,2,\ ldots
\ end {eqnarray}\)

y

\ (\ begin {eqnarray}\ label {principalpart}
b_n=\ frac {1} {2\ pi i}\ om_c\ frac {f (z) dz} {(z-z_0) ^ {-n+1}},\ quad n=1,2,\ ldots
\ end {eqnarray}\)

Figura 1:\(f(z)\) es analítica a lo largo de un dominio anular\(R_1 \lt |z - z_0| \lt R_2\).

En la práctica, las fórmulas integrales anteriores (2) y (3) pueden no ofrecer el método más práctico para computar los coeficientes\(a_n\) y\(b_n\) para una función dada\(f(z)\); en cambio, a menudo se junta la serie Laurent combinando expansiones conocidas de Taylor. Debido a que la expansión Laurent de una función es única siempre que existe, cualquier expresión de esta forma que realmente iguale a la función dada\(f(z)\) en algún anillo debe ser realmente la expansión Laurent de\(f(z)\).

Por ejemplo, considere la función

\(f(z)=\frac{1}{z(1+z^2)}\)

que tiene singularidades aisladas en\(z=0\) y\(z=±i\). En este caso, hay una representación de la serie Laurent para el dominio\(0\lt |z|\lt 1\) y también una para el dominio\(1\lt |z|\lt \infty\), que es exterior al círculo\(|z|=1\). Para encontrar cada una de estas series de Laurent, recordamos la representación de la serie Maclaurin

\(\frac{1}{1-z}=\sum_{n=0}^{\infty}z^n,\quad |z|\lt 1.\)

Para el dominio\(0\lt |z|\lt 1\), tenemos

\ (\ begin {eqnarray*}
f (z) &=&\ frac {1} {z}\ frac {1} {1+z^2} =\ frac {1} {z}\ sum_ {n=0} ^ {\ infty}\ izquierda (-z^2\ derecha) ^n\\
&=&\ sum_ {n=0} ^ {\ infty} (-1) ^nz^ {2n-1}\\
&=&\ frac {1} {z} +\ sum_ {n=1} ^ {\ infty} (-1) ^nz^ {2n-1}\\
&=&\ sum_ {n=0} ^ {\ infty} (-1) ^ {n+1} z^ {2n+1} +\ frac {1} {z}.
\ end {eqnarray*}\)

Por otra parte, cuando\(1\lt |z|\lt \infty\),

\ (\ begin {eqnarray*}
f (z) &=&\ frac {1} {z^3}\ frac {1} {1+\ frac {1} {z^2}} =\ frac {1} {z^3}\ sum_ {n=0} ^ {\ infty}\ izquierda (-\ frac {1} {z^2}
\ derecha) ^n\\
& =&\ sum_ {n=0} ^ {\ infty}\ frac {(-1) ^n} {z^ {2n+3}}\\
&=& amp;\ sum_ {n=1} ^ {\ infty}\ frac {(-1) ^ {n+1}} {z^ {2n+1}}
\ end {eqnarray*}\)

En esta última parte utilizamos el hecho de que\((-1)^{n-1}=(-1)^{n-1}(-1)^2=(-1)^{n+1}\).

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

Ampliar\(f(z)=e^{3/z}\) en una serie Laurent válida para\(0\lt |z| \lt \infty\).