5.3: Serie Laurent
( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)
Recordemos que una funciónf de la variable complejaz es analítica en un puntoz0 si tiene una derivada en cada punto en algún vecindario dez0. Una función completa es una función que es analítica en cada punto en todo el plano finito. Si una funciónf no puede ser analítica en un puntoz0 pero es analítica en algún momento en cada vecindario dez0, entoncesz0 se llama un punto singular, o singularidad, def.
Supongamos quef(z), o cualquier rama única valorada def(z), sif(z) es multivalor, es analítica en la región0<|z−z0|<R y no en el puntoz0. Entonces el puntoz0 se llama punto singular aislado def(z).
Ahora bien, recordemos también que cualquier función que sea analítica a lo largo de un disco|z−z0|<R0 debe tener una serie Taylor sobrez0. Si la función no logra ser analítica en algún momentoz0, a menudo es posible encontrar una representación en serie paraf(z) involucrar tanto los poderes positivos como negativos dez−z0. Formalmente hablando tenemos el siguiente resultado:
Teorema5.3.1
Supongamos que una funciónf es analítica a lo largo de un dominio anularR1<|z−z0|<R2, centrada enz0, y dejarC denotar cualquier contorno cerrado simple orientado positivamente alrededorz0 y que se encuentra en ese dominio. Entonces, en cada punto del dominio,f(z) tiene la representación en serie
\ (\ begin {eqnarray}\ label {laurentfunction}
f (z) =\ suma_ {n=0} ^ {\ infty} a_n (z-z_0) ^n+\ suma_ {n=1} ^ {\ infty}\ frac {b_n} {(z-z_0) ^n},
\ end {eqnarray}\)
donde
\ (\ begin {eqnarray}\ label {non-principalpart}
a_n=\ frac {1} {2\ pi i}\ om_c\ frac {f (z) dz} {(z-z_0) ^ {n+1}},\ quad n=0,1,2,\ ldots
\ end {eqnarray}\)
y
\ (\ begin {eqnarray}\ label {principalpart}
b_n=\ frac {1} {2\ pi i}\ om_c\ frac {f (z) dz} {(z-z_0) ^ {-n+1}},\ quad n=1,2,\ ldots
\ end {eqnarray}\)
En la práctica, las fórmulas integrales anteriores (2) y (3) pueden no ofrecer el método más práctico para computar los coeficientesan ybn para una función dadaf(z); en cambio, a menudo se junta la serie Laurent combinando expansiones conocidas de Taylor. Debido a que la expansión Laurent de una función es única siempre que existe, cualquier expresión de esta forma que realmente iguale a la función dadaf(z) en algún anillo debe ser realmente la expansión Laurent def(z).
Por ejemplo, considere la función
f(z)=1z(1+z2)
que tiene singularidades aisladas enz=0 yz=±i. En este caso, hay una representación de la serie Laurent para el dominio0<|z|<1 y también una para el dominio1<|z|<∞, que es exterior al círculo|z|=1. Para encontrar cada una de estas series de Laurent, recordamos la representación de la serie Maclaurin
11−z=∑∞n=0zn,|z|<1.
Para el dominio0<|z|<1, tenemos
\ (\ begin {eqnarray*}
f (z) &=&\ frac {1} {z}\ frac {1} {1+z^2} =\ frac {1} {z}\ sum_ {n=0} ^ {\ infty}\ izquierda (-z^2\ derecha) ^n\\
&=&\ sum_ {n=0} ^ {\ infty} (-1) ^nz^ {2n-1}\\
&=&\ frac {1} {z} +\ sum_ {n=1} ^ {\ infty} (-1) ^nz^ {2n-1}\\
&=&\ sum_ {n=0} ^ {\ infty} (-1) ^ {n+1} z^ {2n+1} +\ frac {1} {z}.
\ end {eqnarray*}\)
Por otra parte, cuando1<|z|<∞,
\ (\ begin {eqnarray*}
f (z) &=&\ frac {1} {z^3}\ frac {1} {1+\ frac {1} {z^2}} =\ frac {1} {z^3}\ sum_ {n=0} ^ {\ infty}\ izquierda (-\ frac {1} {z^2}
\ derecha) ^n\\
& =&\ sum_ {n=0} ^ {\ infty}\ frac {(-1) ^n} {z^ {2n+3}}\\
&=& amp;\ sum_ {n=1} ^ {\ infty}\ frac {(-1) ^ {n+1}} {z^ {2n+1}}
\ end {eqnarray*}\)
En esta última parte utilizamos el hecho de que(−1)n−1=(−1)n−1(−1)2=(−1)n+1.
Ejercicio5.3.1
Ampliarf(z)=e3/z en una serie Laurent válida para0<|z|<∞.