2: Secuencias
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Introducimos la noción de límite primero a través de secuencias. Como se menciona en el Capítulo 1, una secuencia es solo una función con dominio\(\mathbb{N}\). Más precisamente, una secuencia de elementos de un conjunto\(A\) es una función\(f: \mathbb{N} \rightarrow A\). Denotaremos la imagen de\(n\) debajo de la función con variables subinscritas, por ejemplo,\(a_{n}=f(n)\). También denotaremos secuencias por\(\left\{a_{n}\right\}_{n=1}^{\infty}\),\(\left\{a_{n}\right\}_{n}\), o incluso\(\left\{a_{n}\right\}\). Cada valor\(a_{n}\) se denomina término de la secuencia, más precisamente, el\(n\) -ésimo término de la secuencia.
Considera la secuencia\(a_{n}=\frac{1}{n}\) para\(n \in \mathbb{N}\).
Solución
Esta es una secuencia de números racionales. En ocasiones, cuando el patrón es claro, podemos enumerar los términos explícitamente como en
\[(1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \frac{1}{5}, \ldots \nonumber\]
Dejemos\(a_{n}=(-1)^{n}\) para\(n \in \mathbb{N}\). Esta es una secuencia de números enteros, a saber,
\[-1,1,-1,1,-1,1, \ldots \nonumber\]
Solución
Tenga en cuenta que la secuencia toma solo dos valores. Esto no debe confundirse con el conjunto de dos elementos\(\{1,-1\}\).
- 2.4: El teorema de Bolazno-Weierstrass
- El Teorema de Bolzano-Weierstrass está en la base de muchos resultados en el análisis. es, de hecho, equivalente al axioma de integridad de los números reales.