2: Secuencias
- Page ID
- 107802
\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)
\( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)
\( \newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\)
\( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\)
\( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\)
\( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\)
\( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
\( \newcommand{\id}{\mathrm{id}}\)
\( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
\( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)
\( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\)
\( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\)
\( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\)
\( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\)
\( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\)
\( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\)
\( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)
\( \newcommand{\vectorA}[1]{\vec{#1}} % arrow\)
\( \newcommand{\vectorAt}[1]{\vec{\text{#1}}} % arrow\)
\( \newcommand{\vectorB}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)
\( \newcommand{\vectorC}[1]{\textbf{#1}} \)
\( \newcommand{\vectorD}[1]{\overrightarrow{#1}} \)
\( \newcommand{\vectorDt}[1]{\overrightarrow{\text{#1}}} \)
\( \newcommand{\vectE}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash{\mathbf {#1}}}} \)
\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)
\( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)
Introducimos la noción de límite primero a través de secuencias. Como se menciona en el Capítulo 1, una secuencia es solo una función con dominio\(\mathbb{N}\). Más precisamente, una secuencia de elementos de un conjunto\(A\) es una función\(f: \mathbb{N} \rightarrow A\). Denotaremos la imagen de\(n\) debajo de la función con variables subinscritas, por ejemplo,\(a_{n}=f(n)\). También denotaremos secuencias por\(\left\{a_{n}\right\}_{n=1}^{\infty}\),\(\left\{a_{n}\right\}_{n}\), o incluso\(\left\{a_{n}\right\}\). Cada valor\(a_{n}\) se denomina término de la secuencia, más precisamente, el\(n\) -ésimo término de la secuencia.
Considera la secuencia\(a_{n}=\frac{1}{n}\) para\(n \in \mathbb{N}\).
Solución
Esta es una secuencia de números racionales. En ocasiones, cuando el patrón es claro, podemos enumerar los términos explícitamente como en
\[(1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \frac{1}{5}, \ldots \nonumber\]
Dejemos\(a_{n}=(-1)^{n}\) para\(n \in \mathbb{N}\). Esta es una secuencia de números enteros, a saber,
\[-1,1,-1,1,-1,1, \ldots \nonumber\]
Solución
Tenga en cuenta que la secuencia toma solo dos valores. Esto no debe confundirse con el conjunto de dos elementos\(\{1,-1\}\).
- 2.4: El teorema de Bolazno-Weierstrass
- El Teorema de Bolzano-Weierstrass está en la base de muchos resultados en el análisis. es, de hecho, equivalente al axioma de integridad de los números reales.