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2: Secuencias

Última actualización

30 oct 2022
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- 1.6: Aplicaciones del axioma de integridad
- 2.1: Convergencia

Lafferriere, Lafferriere, and Nguyen
Portland State University via PDXOpen: Open Educational Resources

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Introducimos la noción de límite primero a través de secuencias. Como se menciona en el Capítulo 1, una secuencia es solo una función con dominio $\mathbb{N}$ . Más precisamente, una secuencia de elementos de un conjunto $A$ es una función $f: \mathbb{N} \rightarrow A$ . Denotaremos la imagen de $n$ debajo de la función con variables subinscritas, por ejemplo, $a_{n}=f(n)$ . También denotaremos secuencias por $\left\{a_{n}\right\}_{n=1}^{\infty}$ , $\left\{a_{n}\right\}_{n}$ , o incluso $\left\{a_{n}\right\}$ . Cada valor $a_{n}$ se denomina término de la secuencia, más precisamente, el $n$ -ésimo término de la secuencia.

Ejemplo $\PageIndex{1}$

Considera la secuencia $a_{n}=\frac{1}{n}$ para $n \in \mathbb{N}$ .

Solución

Esta es una secuencia de números racionales. En ocasiones, cuando el patrón es claro, podemos enumerar los términos explícitamente como en

$(1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \frac{1}{5}, \ldots \nonumber$

Ejemplo $\PageIndex{2}$

Dejemos $a_{n}=(-1)^{n}$ para $n \in \mathbb{N}$ . Esta es una secuencia de números enteros, a saber,

$-1,1,-1,1,-1,1, \ldots \nonumber$

Solución

Tenga en cuenta que la secuencia toma solo dos valores. Esto no debe confundirse con el conjunto de dos elementos $\{1,-1\}$ .

2.1: Convergencia
2.2: Teoremas de Límite
2.3: Secuencias monótona
2.4: El teorema de Bolazno-Weierstrass
El Teorema de Bolzano-Weierstrass está en la base de muchos resultados en el análisis. es, de hecho, equivalente al axioma de integridad de los números reales.
2.5: Límite Superior y Límite Inferior
2.6: Juegos Abiertos, Conjuntos Cerrados, Conjuntos Compactos y Puntos Límite

Ejemplo2.1\PageIndex{1}

Ejemplo2.2\PageIndex{2}

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Ejemplo $\PageIndex{1}$

Ejemplo $\PageIndex{2}$