5.2: CAPÍTULO 2

Ejercicio\(2.1.12\)

Contestar

1. Supongamos que\(\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=\ell\). Entonces por Teorema 2.1.9,\[\lim _{n \rightarrow \infty} a_{2 n}=\ell \text { and } \lim _{n \rightarrow \infty} a_{2 n+1}=\ell .\] Ahora supongamos que (5.2) está satisfecho. Arreglar cualquier\(\varepsilon > 0\). Elige\(N_{1} \in \mathbb{N}\) tal que\[\left|a_{2 n}-\ell\right|<\varepsilon \text { whenever } n \geq N_{1} ,\] y elige\(N_{2} \in \mathbb{N}\) tal que\[\left|a_{2 n+1}-\ell\right|<\varepsilon \text { whenever } n \geq N_{2} .\] Let\(N=\max \left\{2 N_{1}, 2 N_{2}+1\right\}\). Entonces\[\left|a_{n}-\ell\right|<\varepsilon \text { whenever } n \geq N .\] Por lo tanto,\(\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=\ell\).

Este problema a veces es muy útil para demostrar que existe un límite. Por ejemplo, considere la secuencia definida por

\[x_{1}=1 / 2 ,\]\[x_{n+1}=\frac{1}{2+x_{n}} \text { for } n \in \mathbb{N} . \nonumber\]

Veremos más adelante eso\(\left\{x_{2 n+1}\right\}\) y\(\left\{x_{2 n}\right\}\) ambos convergen a\(\{x_n\}\), así podemos concluir que\(\left\{x_{n}\right\}\) converge a\(\left\{x_{n}\right\}\).

2. Utilizar un método similar a la solución de la parte (a).

Ejercicio\(2.1.8\)

Contestar

Considera el caso donde\(\ell > 0\). Por la definición de límite, podemos encontrar\(n_{1} \in \mathbb{N}\) tal que\[\left|a_{n}\right|>\ell / 2 \text { for all } n \geq n_{1} .\] Dado cualquiera\(\varepsilon > 0\), podemos encontrar\(n_{2} \in \mathbb{N}\) tal que\[\left|a_{n}-\ell\right|<\frac{\ell \varepsilon}{4} \text { for all } n \geq n_{2} .\] Elija\(n_{0}=\max \left\{n_{1}, n_{2}\right\}\). Para cualquiera\(n \geq n_{0}\), uno tiene\[\left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}-1\right|=\frac{\left|a_{n}-a_{n+1}\right|}{\left|a_{n}\right|} \leq \frac{\left|a_{n}-\ell\right|+\left|a_{n+1}-\ell\right|}{\left|a_{n}\right|}<\frac{\frac{\ell \varepsilon}{4}+\frac{\ell \varepsilon}{4}}{\frac{\ell}{2}}=\varepsilon .\] Por lo tanto,\(\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n+1}}{a_{n}}=1\). Si\(\ell < 0\), considere la secuencia\(\left\{-a_{n}\right\}\).

La conclusión ya no es cierta si\(\ell = 0\). Un contraejemplo es\(a_{n}=\lambda^{n}\) donde\(\lambda \in (0, 1)\).

Ejercicio\(2.2.3\)

Contestar

1. El límite se calcula de la siguiente manera:\ [\ begin {alineado}
   \ lim _ {n\ fila derecha\ infty}\ izquierda (\ sqrt {n^ {2} +n} -n\ derecha) &=\ lim _ {n\ fila derecha\ infty}\ frac {\ left (\ sqrt {n^ {2} +n} -n\ derecha)\ izquierda (\ sqrt {n^ {n^ ^ {2} +n} +n\ derecha)} {\ sqrt {n^ {2} +n} +n}\\
   &=\ lim _ {n\ fila derecha\ infty}\ frac {n } {\ sqrt {n^ {2} +n} +n}\\
   &=\ lim _ {n\ fila derecha\ infty}\ frac {n} {\ sqrt {n^ {2} (1+1/n)} +n}\\
   &=\ lim _ {n\ fila derecha\ infty}\ frac {1} {\ sqrt {1+1/n}} =1/2\ texto {.}
   \ end {alineado}\]
2. El límite se calcula de la siguiente manera:\ [\ begin {alineado}
   \ lim _ {n\ fila derecha\ infty}\ izquierda (\ sqrt [3] {n^ {3} +3 n^ {2}} -n\ derecha) &=\ lim _ {n\ fila derecha\ infty}\ frac {\ izquierda (\ sqrt [3] {n^ {3} +3 n^ {2}} -n\ derecha)\ izquierda (\ sqrt [3] {\ izquierda (n^ {3} +3 n^ {2}\ derecha) ^ {2}} +n\ sqrt [3] {n^ {3} +3 n^ {2}} +n^ {2}\ derecha)} {\ izquierda. \ sqrt [3] {\ izquierda (n^ {3} +3 n^ {2}\ derecha) ^ {2}} +n\ sqrt [3] {n^ {3} +3 n^ {2}} +n^ {2}\ derecha)}\\
   &=\ lim _ {n\ fila derecha\ infty}\ frac {3 n^ {2}} {\ sqrt [3] {\ izquierda (n^ {3} +3 n^ {2}\ derecha) ^ {2}} +n\ sqrt [3] {n^ {3} +3 n^ {2}} +n^ {2}}\\
   &=\ lim _ {n\ fila derecha\ infty}\ frac {3 n^ {2}} {\ sqrt [3] {n^ {6} ( 1+3/n) ^ {2}} +n\ sqrt [3] {n^ {3} (1+3/n)} +n^ {2}}\\
   &=\ lim _ {n\ fila derecha\ infty}\ frac {3 n^ {2}} {n^ {2}} {n^ {2}\ izquierda (\ sqrt [3] {(1+3/n) ^ {2}} +\ sqrt [3] {(1+3/n)} +1\ derecha)}\\
   &=\ lim _ {n\ fila derecha\ infty}\ frac {3} {\ izquierda (\ sqrt [3] {(1+3/n) ^ {2}} +\ sqrt [3] {(1+3/n)} +1\ derecha)} =1\ texto {.}
   \ end {alineado}\]
3. Usamos el resultado en la parte (a) y parte (b) para obtener\ [\ begin {alineado}
   \ lim _ {n\ fila derecha\ infty}\ left (\ sqrt [3] {n^ {3} +3 n^ {2}} -\ sqrt {n^ {2} +1}\ right) &=\ lim _ {n\ fila derecha\ infty}\ left (\ sqrt [3] {n^ {3} +3 n^ {2}} -n+n-\ sqrt {n^ {2} +1}\ derecha)\\
   &=\ lim _ {n\ fila derecha\ infty}\ izquierda (\ sqrt [3] {n^ {3} +3 n^ {2}} -n\ derecha) +\ lim _ {n\ fila derecha\ infty}\ izquierda (n-\ sqrt {n^ {2} +1}\ derecha) =1-1/2=1/2\ text {.}
   \ end {aligned}\] Usando una técnica similar, podemos encontrar el siguiente límite:\[\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\sqrt[3]{a n^{3}+b n^{2}+c n+d}-\sqrt{\alpha n^{2}+\beta n+\gamma}\right) ,\] dónde\(a > 0\) y\(\alpha > 0\).

Ejercicio\(2.3.1\)

Contestar

1. Claramente,\(a_{1} < 2\). Supongamos que\(a_{k}<2\) para\(k \in \mathbb{N}\). Entonces\[a_{k+1}=\sqrt{2+a_{k}}<\sqrt{2+2}=2 .\] Por inducción,\(a_{n}<2\) para todos\(n \in \mathbb{N}\).
2. Claramente,\(a_{1}=\sqrt{2}<\sqrt{2+\sqrt{2}}=a_{2}\). Supongamos que\(a_{k}<a_{k+1}\) para\(k \in \mathbb{N}\). Entonces\[a_{k}+2<a_{k+1}+2 ,\] lo que implica\[\sqrt{a_{k}+2}<\sqrt{a_{k+1}+2} .\] Así,\(a_{k+1}<a_{k+2}\). Por inducción,\(a_{n}<a_{n+1}\) para todos\(n \in \mathbb{N}\). Por lo tanto,\(\left\{a_{n}\right\}\) es una secuencia creciente.
3. Por el teorema de convergencia monótona,\(\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}\) existe. Vamos\(\ell=\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}\). Desde\(a_{n+1}= \sqrt{2+a_{n}}\) y\(\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n+1}=\ell\), tenemos\[\ell=\sqrt{2+\ell} \text { or } \ell^{2}=2+\ell .\] Resolviendo esta ecuación cuadrática rendimientos\(\ell = -1\) o\(\ell = 2\). Por lo tanto,\(\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=2\). Defina una secuencia más general de la siguiente manera:\ [\ begin {aligned}
   a_ {1} &=c>0\ text {,}\\
   a_ {n+1} &=\ sqrt {c+a_ {n}}\ quad\ text {for} n\ in\ mathbb {N}\ text {.}
   \ end {alineado}\] Podemos demostrar que\(\left\{a_{n}\right\}\) es monótona creciente y delimitada arriba por\(\frac{1+\sqrt{1+4 c}}{2}\). De hecho,\(\left\{a_{n}\right\}\) converge a este límite. El número\(\frac{1+\sqrt{1+4 c}}{2}\) se obtiene resolviendo la ecuación\(\ell=\sqrt{c+\ell}\), donde\(\ell > 0\).

Ejercicio\(2.3.2\)

Contestar

1. El límite es\(3\).
2. El límite es\(3\).
3. Utilizamos la conocida desigualdad\[\frac{a+b+c}{3} \geq \sqrt[3]{a b c} \text { for } a, b, c \geq 0 .\] Por inducción, vemos eso\(a_{n}>0\) para todos\(n \in \mathbb{N}\). Por otra parte, También\[a_{n+1}=\frac{1}{3}\left(2 a_{n}+\frac{1}{a_{n}^{2}}\right)=\frac{1}{3}\left(a_{n}+a_{n}+\frac{1}{a_{n}^{2}}\right) \geq \frac{1}{3} \sqrt[3]{a_{n} \cdot a_{n} \cdot \frac{1}{a_{n}^{2}}}=1 .\] tenemos, para\(n \geq 2\),\[a_{n+1}-a_{n}=\frac{1}{3}\left(2 a_{n}+\frac{1}{a_{n}^{2}}\right)-a_{n}=\frac{-a_{n}^{3}+1}{3 a_{n}^{2}}=\frac{-\left(a_{n}-1\right)\left(a_{n}^{2}+a_{n}+1\right)}{3 a_{n}^{2}}<0 .\] Así,\(\left\{a_{n}\right\}\) es monótona defunción (para\(n \geq 2\)) y acotada a continuación. Eso lo podemos demostrar\(\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=1\).
4. Usa la desigualdad\(\frac{a+b}{2} \geq \sqrt{a b}\)\(a, b \geq 0\) para mostrar eso\(a_{n+1} \geq \sqrt{b}\) para todos\(n \in \mathbb{N}\). Después sigue la parte 3 para mostrar que\(\left\{a_{n}\right\}\) es monótona decreciente. El límite es\(\sqrt{b}\).

Ejercicio\(2.3.3\)

Contestar

1. \(\left\{a_{n}\right\}\)Sea la secuencia dada. Observe eso\(a_{n+1}=\sqrt{2 a_{n}}\). Entonces muestran que\(\left\{a_{n}\right\}\) es monótona creciente y acotada arriba. El límite es\(2\).
2. \(\left\{a_{n}\right\}\)Sea la secuencia dada. Entonces\[a_{n+1}=\frac{1}{2+a_{n}} .\] Mostrar que\(\left\{a_{2 n+1}\right\}\) es monótona decreciente y acotada por debajo;\(\left\{a_{2 n}\right\}\) es monótona creciente y acotada arriba. Así\(\left\{a_{n}\right\}\) converge por el Ejercicio 2.1.12. El límite es\(\sqrt{2} - 1\).

Ejercicio\(2.3.5\)

Contestar

Observe que\[b_{n+1}=\frac{a_{n}+b_{n}}{2} \geq \sqrt{a_{n} b_{n}}=a_{n+1} \text { for all } n \in \mathbb{N} .\] Así, De\[a_{n+1}=\sqrt{a_{n} b_{n}} \geq \sqrt{a_{n} a_{n}}=a_{n} \text { for all } n \in \mathbb{N} ,\]\[b_{n+1}=\frac{a_{n}+b_{n}}{2} \leq \frac{b_{n}+b_{n}}{2}=b_{n} \text { for all } n \in \mathbb{N} .\] ello se deduce que\(\left\{a_{n}\right\}\) es monótona creciente y delimitada arriba por\(b_{1}\), y\(\left\{b_{n}\right\}\) es decreciente y delimitada por debajo por\(a_{1}\). Dejar\(x=\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}\) y\(y=\lim _{n \rightarrow \infty} b_{n}\). Entonces\[x=\sqrt{x y} \text { and } y=\frac{x+y}{2} .\] Por lo tanto,\(x = y\).

Ejercicio\(2.4.1\).

Contestar

Aquí utilizamos el hecho de que en\(\mathbb{R}\) una secuencia es una secuencia de Cauchy si y sólo si es convergente.

1. No es una secuencia de Cauchy. Ver Ejemplo 2.1.7.
2. Una secuencia de Cauchy. Esta secuencia converge a\(0\).
3. Una secuencia de Cauchy. Esta secuencia converge a\(1\).
4. Una secuencia de Cauchy. Esta secuencia converge a\(0\) (ver Ejercicio 2.1.5).

Ejercicio\(2.5.4\)

Contestar

1. Definir\[\alpha_{n}=\sup _{k \geq n}\left(a_{n}+b_{n}\right), \beta_{n}=\sup _{k \geq n} a_{k}, \gamma_{n}=\sup _{k \geq n} b_{k} .\] Por la definición,\[\limsup _{n \rightarrow \infty}\left(a_{n}+b_{n}\right)=\lim _{n \rightarrow \infty} \alpha_{n}, \limsup _{n \rightarrow \infty} a_{n}=\lim _{n \rightarrow \infty} \beta_{n}, \limsup _{n \rightarrow \infty} b_{n}=\lim _{n \rightarrow \infty} \gamma_{n} .\] Por Ejercicio 2.5.3,\[\alpha_{n} \leq \beta_{n}+\gamma_{n} \text { for all } n \in \mathbb{N} .\] Esto implica\[\lim _{n \rightarrow \infty} \alpha_{n} \leq \lim _{n \rightarrow \infty} \beta_{n}+\lim _{n \rightarrow \infty} \gamma_{n} \text { for all } n \in \mathbb{N} .\] Por lo tanto,\[\limsup _{n \rightarrow \infty}\left(a_{n}+b_{n}\right) \leq \limsup _{n \rightarrow \infty} a_{n}+\limsup _{n \rightarrow \infty} b_{n} .\] Esta conclusión sigue siendo válida para secuencias no acotadas siempre que el lado derecho esté bien definido. Tenga en cuenta que el lado derecho no está bien definido, por ejemplo, cuándo\(\limsup _{n \rightarrow \infty} a_{n}=\infty\) y\(\limsup _{n \rightarrow \infty} b_{n}=-\infty\).
2. Defina\[\alpha_{n}=\inf _{k \geq n}\left(a_{n}+b_{n}\right), \beta_{n}=\inf _{k \geq n} a_{k}, \gamma_{n}=\inf _{k \geq n} b_{k} .\] Proceder como en la parte (a), pero use la parte (b) del Ejercicio 2.5.3.
3. Considerar\(a_{n}=(-1)^{n}\) y\(b_{n}=(-1)^{n+1}\).

Ejercicio\(2.6.3\)

Contestar

Supongamos\(A\) y\(B\) son subconjuntos compactos de\(\mathbb{R}\). Entonces, por el Teorema 2.6.5,\(A\) y\(B\) están cerrados y acotados. Del Teorema 2.6.2 (c) obtenemos que\(A \cup B\) está cerrado. Además, dejar\(M_{A}, m_{A}\),\(M_{B}, M_{B}\) ser límites superior e inferior para\(A\) y\(B\), respectivamente. Entonces\(M=\max \left\{M_{A}, M_{B}\right\}\) y\(m=\min \left\{m_{A}, m_{B}\right\}\) son límites superior e inferior para\(A \cup B\). En particular,\(A \cup B\) está acotada. Hemos demostrado que\(A \cup B\) es a la vez cerrado y acotado. Ahora se deduce del Teorema 2.6.5 que\(A \cup B\) es compacto.