6.6: temp

Riemann-Stieltjes integrales

FIXME: necesitaríamos rehacer un montón de cosas de Riemann integral. Quizás sea útil, pero esos faltan a continuación y tipo de hacer esto cada vez más fuera del alcance del libro.

Una generalización útil común de la integral de Riemann es la integral Riemann-Stieltjes ¹. Si pensamos en la integral de Riemann como una suma donde todos los términos se ponderan por igual, es natural que tal vez queramos hacer una suma ponderada. Es decir, tal vez deseemos darle a algunos puntos “más peso” que a otros puntos. Un ejemplo simple y particular de lo que podríamos querer lograr es una integral que evalúa una función en un punto. Es posible que haya visto este concepto en su clase de cálculo como la función delta.

Nuevamente definiremos esta integral usando el enfoque Darboux para simplificar.

Dejar$f \colon [a,b] \to \R$ ser una función acotada y dejar$\alpha \colon [a,b] \to \R$ ser una función creciente monótona. Dejar$P$ ser una partición de$[a,b]$, luego definir\ [\ begin {alineado} & m_i: =\ inf\ {f (x): x_ {i-1}\ leq x\ leq x_i\},\\ & m_i: =\ sup\ {f (x): x_ {i-1}\ leq x\ leq x_i\},\\ & L (P, f,\ alfa) := \ suma_ {i=1} ^n m_i\ bigl (\ alpha (x_i) -\ alpha (x_ {i-1})\ bigr),\\ & U ( P, f,\ alpha) := \ suma_ {i=1} ^n m_i\ bigl (\ alpha (x_i) -\ alpha (x_ {i-1})\ bigr). \ end {alineado}\] Llamamos a$L(P,f,\alpha)$ la y$U(P,f,\alpha)$ la. Luego define\ [\ begin {alineado} &\ subrayado {\ int_a^b} f~d\ alpha: =\ sup\ {L (P, f,\ alpha): P\ text {una partición de $ [a, b] $}\},\\ &\ overline {\ int_a^b} f~d\ alpha: =\ inf\ {U (P, f, alfa\): P\ text {una partición de $ [a, b] $}\}. \ end {alineado}\] Y llamamos$\underline{\int}$ el y$\overline{\int}$ el. Por último, si

$$\underline{\int_a^b} f~d\alpha = \overline{\int_a^b} f~d\alpha .$$ Entonces decimos que$f$ es con respecto a$\alpha$.

Cuando necesitamos especificar la variable de integración podemos escribir

$$\int_a^b f(x) ~d\alpha(x) .$$

Cuando nos$\alpha(x) := x$ fijamos recuperamos la integral de Riemann. La notación$d\alpha$ sugiere derivada, en este caso$\alpha'(x) = 1$ y como dijimos, la integral de Riemann es cuando todos los puntos se ponderan por igual.

Si$\alpha(x) := x$, entonces una función acotada$f \colon [a,b] \to \R$ es Riemann integrable si y solo si es Riemann-Stieltjes integrable con respecto a$\alpha$. En este caso

$$\int_a^b f = \int_a^b f~d\alpha .$$

Simplemente conéctese$\alpha(x) = x$ a la definición y tenga en cuenta que la definición ahora es precisamente la misma que para la integral de Riemann.

Supongamos que eso$f \colon [a,b] \to \R$ es continuo. Dado$c \in (a,b)$, vamos\ [\ alpha (x) := \ begin {cases} 1 &\ text {si $x\ geq c$,}\\ 0 &\ text {si $x < c$.} \ end {cases}\] Afirmamos que$f$ es Riemann-Stieltjes diferenciable con respecto a$\alpha$ y que

$$\int_a^b f~d\alpha = f(c) .$$

Prueba: Dado$\epsilon > 0$ tomar$\delta > 0$ tal que$\abs{f(x)-f(c)} < \epsilon$ para todos$x \in [a,b]$ con$\abs{x-c} < \delta$. Toma la partición\ (P =\ {a, c-\ delta, c+\ delta, b\}\). Entonces\ [\ begin {split} L (P, f,\ alpha) & = m_1\ bigl (\ alpha (c-\ delta) -\ alpha (a)\ bigr) + m_2\ bigl (\ alpha (c+\ delta) -\ alpha (c-\ delta)\ bigr) + m_3\ bigl (\ alpha (b) -\ alpha (c+\ delta)\ bigr gr) \\ & = m_2\ bigl (1 - 0) = m_2 =\ inf\ {f (x): x\ in [c-\ delta, c+\ delta] \} \\ & > f (c) -\ épsilon. \ end {split}\] Del mismo modo$U(P,f,\alpha) < f(c)+\epsilon$. Por lo tanto

$$U(P,f,\alpha)-L(P,f,\alpha) < 2 \epsilon .$$

La noción de integrabilidad realmente depende de$\alpha$. Para un ejemplo muy trivial, no es difícil ver que si$\alpha(x) = 0$, entonces todas las funciones acotadas$f$ on$[a,b]$ son integrables con respecto a esto$\alpha$ y

$$\int_a^b f~d \alpha = 0.$$

Si$\alpha$ es muy agradable, podemos recuperar la integral Riemann-Stieltjes utilizando la integral de Riemann.

Supongamos que Riemann$f \colon [a,b] \to \R$ es integrable y$\alpha \colon [a,b] \to \R$ es una función creciente continuamente diferenciable. Entonces$f$ es Riemann-Stieltjes integrable con respecto a$\alpha$ y

$$\int_a^b f(x)~d\alpha(x) = \int_a^b f(x) \alpha'(x)~dx .$$

FIXME

Ejercicios

Directamente de la definición de la integral Riemann-Stieltjes prueban que si$\alpha(x) = px$ para algunos$p \geq 0$, entonces Si$f$ es Riemann integrable, entonces es Riemann-Stieltjes integrable con respecto a$\alpha$ y$p \int_a^b f = \int_a^b f~d\alpha$.

Dejar$\alpha \colon [a,b] \to \R$ y$\beta \colon [a,b] \to \R$ estar aumentando las funciones y supongamos que$\alpha(x) = \beta(x) + C$ para alguna constante$C$. Si$f \colon [a,b] \to \R$ es integrable con respecto a$\alpha$, demostrar que es integrable con respecto a$\beta$ y$\int_a^b f~d\alpha = \int_a^b f~d\beta$.

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1. Nombrado por... ↩