8.2: Juegos abiertos y cerrados

Topología

Es útil definir una llamada topología. Es decir, definimos conjuntos cerrados y abiertos en un espacio métrico. Antes de hacerlo, definamos dos conjuntos especiales.

Dejar\((X,d)\) ser un espacio métrico,\(x \in X\) y\(\delta > 0\). Luego definimos la bola abierta o simplemente bola de radio\(\delta\) alrededor\(x\) como\[B(x,\delta) := \{ y \in X : d(x,y) < \delta \} .\] De manera similar definimos la bola cerrada como\[C(x,\delta) := \{ y \in X : d(x,y) \leq \delta \} .\]

Cuando se trata de diferentes espacios métricos, a veces es conveniente enfatizar en qué espacio métrico se encuentra la pelota. Esto lo hacemos por escrito\(B_X(x,\delta) := B(x,\delta)\) o\(C_X(x,\delta) := C(x,\delta)\).

Tome el espacio métrico\({\mathbb{R}}\) con la métrica estándar. Para\(x \in {\mathbb{R}}\), y\(\delta > 0\) obtenemos\[B(x,\delta) = (x-\delta,x+\delta) \qquad \text{and} \qquad C(x,\delta) = [x-\delta,x+\delta] .\]

Tenga cuidado al trabajar en un subespacio. Supongamos que tomamos el espacio métrico\([0,1]\) como un subespacio de\({\mathbb{R}}\). Entonces en\([0,1]\) obtenemos\[B(0,\nicefrac{1}{2}) = B_{[0,1]}(0,\nicefrac{1}{2}) = [0,\nicefrac{1}{2}) .\] Esto es por supuesto diferente de\(B_

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(0,\nicefrac{1}{2}) = (-\nicefrac{1}{2},\nicefrac{1}{2})\). Lo importante a tener en cuenta es en qué espacio métrico estamos trabajando.

Dejar\((X,d)\) ser un espacio métrico. Un conjunto\(V \subset X\) está abierto si por cada\(x \in V\), existe un\(\delta > 0\) tal que\(B(x,\delta) \subset V\). Ver. Un conjunto\(E \subset X\) se cierra si el complemento\(E^c = X \setminus E\) está abierto. Cuando el espacio ambiental no\(X\) está claro desde el contexto decimos que\(V\) está abierto\(X\) y\(E\) está cerrado en\(X\).

Si\(x \in V\) y\(V\) está abierto, entonces decimos que\(V\) es un barrio abierto de\(x\) (o a veces solo barrio).

Intuitivamente, un conjunto abierto es un conjunto que no incluye su “límite”. Tenga en cuenta que no todos los conjuntos son abiertos o cerrados, de hecho generalmente la mayoría de los subconjuntos tampoco lo son.

El conjunto no\([0,1) \subset {\mathbb{R}}\) está abierto ni cerrado. Primero, cada bola\({\mathbb{R}}\) alrededor\(0\),\((-\delta,\delta)\) contiene números negativos y por lo tanto no está contenida\([0,1)\) y por lo tanto no\([0,1)\) está abierta. Segundo, cada bola\({\mathbb{R}}\) alrededor\(1\),\((1-\delta,1+\delta)\) contiene números estrictamente menores que 1 y mayores que 0 (por ejemplo,\(1-\nicefrac{\delta}{2}\) siempre y cuando\(\delta < 2\)). Por lo tanto, no\({\mathbb{R}}\setminus [0,1)\) está abierto, y por lo tanto no\([0,1)\) está cerrado.

[prop:topology:open] Dejar\((X,d)\) ser un espacio métrico.

1. [topología:openi]\(\emptyset\) y\(X\) están abiertos en\(X\).
2. [topología:openii] Si\(V_1, V_2, \ldots, V_k\) están abiertos entonces también\[\bigcap_{j=1}^k V_j\] está abierto. Es decir, la intersección finita de conjuntos abiertos es abierta.
3. [topology:openiii] Si\(\{ V_\lambda \}_{\lambda \in I}\) es una colección arbitraria de conjuntos abiertos, entonces también\[\bigcup_{\lambda \in I} V_\lambda\] está abierta. Es decir, la unión de sets abiertos es abierta.

Tenga en cuenta que el índice establecido en [topology:openiii] es arbitrariamente grande. Por simplemente\(\bigcup_{\lambda \in I} V_\lambda\) nos referimos al conjunto de todos los\(x\) tales que\(x \in V_\lambda\) para al menos uno\(\lambda \in I\).

El set\(X\) y obviamente\(\emptyset\) están abiertos en\(X\).

Demostremos [topología:openii]. Si\(x \in \bigcap_{j=1}^k V_j\), entonces\(x \in V_j\) para todos\(j\). Como todos\(V_j\) están abiertos, existe una\(\delta_j > 0\) para cada\(j\) tal que\(B(x,\delta_j) \subset V_j\). Toma\(\delta := \min \{ \delta_1,\ldots,\delta_k \}\) y toma nota de eso\(\delta > 0\). Tenemos\(B(x,\delta) \subset B(x,\delta_j) \subset V_j\) para todos\(j\) y así\(B(x,\delta) \subset \bigcap_{j=1}^k V_j\). Así la intersección está abierta.

Demostremos [topología:openiii]. Si\(x \in \bigcup_{\lambda \in I} V_\lambda\), entonces\(x \in V_\lambda\) para algunos\(\lambda \in I\). Como\(V_\lambda\) está abierto entonces existe\(\delta > 0\) tal que\(B(x,\delta) \subset V_\lambda\). Pero entonces\(B(x,\delta) \subset \bigcup_{\lambda \in I} V_\lambda\) y así el sindicato está abierto.

Lo principal a notar es la diferencia entre los ítems [topología:openii] y [topología:openiii]. El ítem [topology:openii] no es cierto para una intersección arbitraria, por ejemplo\(\bigcap_{n=1}^\infty (-\nicefrac{1}{n},\nicefrac{1}{n}) = \{ 0 \}\), que no está abierta.

Se deja como ejercicio la prueba de la siguiente proposición análoga para conjuntos cerrados.

[prop:topology:closed] Dejar\((X,d)\) ser un espacio métrico.

1. [topología:closedi]\(\emptyset\) y\(X\) están cerrados en\(X\).
2. [topología:closedii] Si\(\{ E_\lambda \}_{\lambda \in I}\) es una colección arbitraria de conjuntos cerrados, entonces también\[\bigcap_{\lambda \in I} E_\lambda\] se cierra. Es decir, la intersección de conjuntos cerrados es cerrada.
3. [topología:closediii] Si\(E_1, E_2, \ldots, E_k\) están cerrados entonces también\[\bigcup_{j=1}^k E_j\] se cierra. Es decir, la unión finita de conjuntos cerrados es cerrada.

Aún no hemos demostrado que la bola abierta esté abierta y la bola cerrada esté cerrada. Demostremos ahora este hecho para justificar la terminología.

[prop:topology:bolsopenclosed] Dejar\((X,d)\) ser un espacio métrico,\(x \in X\), y\(\delta > 0\). Después\(B(x,\delta)\) se abre y\(C(x,\delta)\) se cierra.

Vamos\(y \in B(x,\delta)\). Vamos\(\alpha := \delta-d(x,y)\). Por supuesto\(\alpha > 0\). Ahora vamos\(z \in B(y,\alpha)\). Entonces\[d(x,z) \leq d(x,y) + d(y,z) < d(x,y) + \alpha = d(x,y) + \delta-d(x,y) = \delta .\] Por lo tanto\(z \in B(x,\delta)\) para cada\(z \in B(y,\alpha)\). Entonces\(B(y,\alpha) \subset B(x,\delta)\) y\(B(x,\delta)\) está abierto.

El comprobante que\(C(x,\delta)\) está cerrado se deja como ejercicio.

Nuevamente tenga cuidado con lo que es el espacio métrico ambiental. Al igual\([0,\nicefrac{1}{2})\) que una bola abierta en\([0,1]\), esto significa que\([0,\nicefrac{1}{2})\) es un set abierto en\([0,1]\). Por otro lado no\([0,\nicefrac{1}{2})\) es ni abierto ni cerrado en\({\mathbb{R}}\).

Una manera útil de pensar en un set abierto es una unión de bolas abiertas. Si\(U\) está abierto, entonces para cada uno\(x \in U\), hay un\(\delta_x > 0\) (dependiendo\(x\) de por supuesto) tal que\(B(x,\delta_x) \subset U\). Entonces\(U = \bigcup_{x\in U} B(x,\delta_x)\).

Se deja como ejercicio la prueba de la siguiente proposición. Tenga en cuenta que hay otros conjuntos abiertos y cerrados en\({\mathbb{R}}\).

[prop:topología:intervalos:abiertocerrado] Dejan\(a < b\) ser dos números reales. Entonces\((a,b)\),\((a,\infty)\), y\((-\infty,b)\) están abiertos en\({\mathbb{R}}\). También\([a,b]\),\([a,\infty)\), y\((-\infty,b]\) están cerrados en\({\mathbb{R}}\).

Conjuntos conectados

\((X,d)\)Se conecta un espacio métrico no vacío si los únicos subconjuntos que están abiertos y cerrados son\(\emptyset\) y\(X\) él mismo.

Cuando aplicamos el término conectado a un subconjunto no vacío\(A \subset X\), simplemente queremos decir que\(A\) con el subespacio la topología está conectada.

En otras palabras, un no vacío\(X\) está conectado si cada vez que escribimos\(X = X_1 \cup X_2\) dónde\(X_1 \cap X_2 = \emptyset\)\(X_1\) y y\(X_2\) estamos abiertos, entonces cualquiera\(X_1 = \emptyset\) o\(X_2 = \emptyset\). Entonces, para probar la desconexión, necesitamos encontrar conjuntos abiertos disjuntos no vacíos\(X_1\) y\(X_2\) cuya unión es\(X\). Para los subconjuntos, declaramos esta idea como una proposición.

Dejar\((X,d)\) ser un espacio métrico. Un conjunto no vacío no\(S \subset X\) está conectado si y solo si existen conjuntos abiertos\(U_1\) y\(U_2\) en\(X\), tal que\(U_1 \cap U_2 \cap S = \emptyset\),\(U_1 \cap S \not= \emptyset\),\(U_2 \cap S \not= \emptyset\), y\[S = \bigl( U_1 \cap S \bigr) \cup \bigl( U_2 \cap S \bigr) .\]

Si\(U_j\) está abierto en\(X\), entonces\(U_j \cap S\) está abierto en\(S\) en la topología subespacial (con métrica subespacial). Para ver esto, tenga en cuenta que si\(B_X(x,\delta) \subset U_j\), entonces como\(B_S(x,\delta) = S \cap B_X(x,\delta)\), tenemos\(B_S(x,\delta) \subset U_j \cap S\). La prueba sigue de la discusión anterior.

La prueba de la otra dirección sigue utilizando para encontrar\(U_1\) y a\(U_2\) partir de dos subconjuntos abiertos disjuntos de\(S\).

\(S \subset {\mathbb{R}}\)Sea tal que\(x < z < y\) con\(x,y \in S\) y\(z \notin S\). Reclamación: no\(S\) está conectada. Prueba: Aviso\[\bigl( (-\infty,z) \cap S \bigr) \cup \bigl( (z,\infty) \cap S \bigr) = S .\]

Un conjunto\(S \subset {\mathbb{R}}\) está conectado si y sólo si es un intervalo o un solo punto.

Supongamos que\(S\) está conectado (así también no vacío). Si\(S\) es un solo punto entonces ya terminamos. Entonces supongamos que\(x < y\) y\(x,y \in S\). Si\(z\) es tal que\(x < z < y\), entonces no\((-\infty,z) \cap S\) está vacío y no\((z,\infty) \cap S\) está vacío. Los dos conjuntos son disgregados. Como\(S\) está conectado, debemos tenerlos su unión no lo es\(S\), así\(z \in S\).

Supongamos que\(S\) está acotado, conectado, pero no un solo punto. Que\(\alpha := \inf S\)\(\beta := \sup S\) y anote eso\(\alpha < \beta\). Supongamos\(\alpha < z < \beta\). Como\(\alpha\) es el infimum, entonces hay\(x \in S\) tal que\(\alpha \leq x < z\). De igual manera hay\(y \in S\) tal que\(\beta \geq y > z\). Nosotros hemos demostrado arriba eso\(z \in S\), entonces\((\alpha,\beta) \subset S\). Si\(w < \alpha\), entonces\(w \notin S\) como\(\alpha\) era el infimum, de manera similar si\(w > \beta\) entonces\(w \notin S\). Por lo tanto las únicas posibilidades para\(S\) son\((\alpha,\beta)\),\([\alpha,\beta)\),\((\alpha,\beta]\),\([\alpha,\beta]\).

La prueba de que un conectado sin límites\(S\) es un intervalo se deja como ejercicio.

Por otro lado supongamos que\(S\) es un intervalo. Supongamos que\(U_1\) y\(U_2\) son subconjuntos abiertos de\({\mathbb{R}}\),\(U_1 \cap S\) y no\(U_2 \cap S\) están vacíos, y\(S = \bigl( U_1 \cap S \bigr) \cup \bigl( U_2 \cap S \bigr)\). Eso lo demostraremos\(U_1 \cap S\) y\(U_2 \cap S\) contendremos un punto común, por lo que no son disjuntos, y por lo tanto\(S\) deben estar conectados. Supongamos que hay\(x \in U_1 \cap S\) y\(y \in U_2 \cap S\). Eso podemos suponer\(x < y\). Como\(S\) es un intervalo\([x,y] \subset S\). Vamos\(z := \inf (U_2 \cap [x,y])\). Si\(z = x\), entonces\(z \in U_1\). Si\(z > x\), entonces para cualquiera\(\delta > 0\) el balón\(B(z,\delta) = (z-\delta,z+\delta)\) contiene puntos que no están en\(U_2\), y así\(z \notin U_2\) como\(U_2\) está abierto. Por lo tanto,\(z \in U_1\). Como\(U_1\) está abierto,\(B(z,\delta) \subset U_1\) por un pequeño lo suficientemente\(\delta > 0\). Como\(z\) es el infimum de\(U_2 \cap [x,y]\), debe existir alguna\(w \in U_2 \cap [x,y]\) tal que\(w \in [z,z+\delta) \subset B(z,\delta) \subset U_1\). Por lo tanto\(w \in U_1 \cap U_2 \cap [x,y]\). Entonces\(U_1 \cap S\) y no\(U_2 \cap S\) son disjuntos y por lo tanto\(S\) está conectado.

En muchos casos\(B(x,\delta)\) se conecta una pelota. Pero esto no es necesariamente cierto en todos los espacios métricos. Para un ejemplo más sencillo, toma un espacio de dos puntos\(\{ a, b\}\) con la métrica discreta. Entonces\(B(a,2) = \{ a , b \}\), que no está conectado como\(B(a,1) = \{ a \}\) y\(B(b,1) = \{ b \}\) son abiertos y disjuntos.

Cierre y límite

En algún momento deseamos tomar un set y tirar todo lo que podamos acercarnos desde el set. Este concepto se llama el cierre.

Dejar\((X,d)\) ser un espacio métrico y\(A \subset X\). Entonces el cierre de\(A\) es el conjunto Es\[\overline{A} := \bigcap \{ E \subset X : \text{$E$ is closed and $A \subset E$} \} .\] decir,\(\overline{A}\) es la intersección de todos los conjuntos cerrados que contienen\(A\).

Dejar\((X,d)\) ser un espacio métrico y\(A \subset X\). El cierre\(\overline{A}\) está cerrado. Además si\(A\) se cierra entonces\(\overline{A} = A\).

Primero, el cierre es la intersección de conjuntos cerrados, por lo que está cerrado. Segundo, si\(A\) está cerrado, entonces toma\(E = A\), de ahí que la intersección de todos los conjuntos cerrados\(E\) que contengan\(A\) debe ser igual a\(A\).

El cierre de\((0,1)\) in\({\mathbb{R}}\) es\([0,1]\). Prueba: Simplemente observe que si\(E\) está cerrado y contiene\((0,1)\), entonces\(E\) debe contener\(0\) y\(1\) (¿por qué?). Así\([0,1] \subset E\). Pero también\([0,1]\) está cerrado. Por lo tanto, el cierre\(\overline{(0,1)} = [0,1]\).

Tenga cuidado de notar con qué espacio métrico ambiental está trabajando. Si\(X = (0,\infty)\), entonces el cierre de\((0,1)\) in\((0,\infty)\) es\((0,1]\). Prueba: De manera similar a lo anterior\((0,1]\) se cierra en\((0,\infty)\) (¿por qué?). Cualquier conjunto cerrado\(E\) que contenga\((0,1)\) debe contener 1 (¿por qué?). Por lo tanto\((0,1] \subset E\), y de ahí\(\overline{(0,1)} = (0,1]\) cuando se trabaja en\((0,\infty)\).

Justificemos la afirmación de que el cierre es todo lo que podemos “acercarnos” desde el set.

[prop:msclosureappr] Dejar\((X,d)\) ser un espacio métrico y\(A \subset X\). Entonces\(x \in \overline{A}\) si y sólo si por cada\(\delta > 0\),\(B(x,\delta) \cap A \not=\emptyset\).

Demostremos los dos contrapositivos. Demostremos eso\(x \notin \overline{A}\) si y sólo si existe\(\delta > 0\) tal eso\(B(x,\delta) \cap A = \emptyset\).

Primero supongamos eso\(x \notin \overline{A}\). Sabemos que\(\overline{A}\) está cerrado. Así hay\(\delta > 0\) tal que\(B(x,\delta) \subset \overline{A}^c\). Como\(A \subset \overline{A}\) vemos eso\(B(x,\delta) \subset A^c\) y por lo tanto\(B(x,\delta) \cap A = \emptyset\).

Por otro lado supongamos que hay\(\delta > 0\) tal que\(B(x,\delta) \cap A = \emptyset\). Entonces\(B(x,\delta)^c\) es un set cerrado y tenemos eso\(A \subset B(x,\delta)^c\), pero\(x \notin B(x,\delta)^c\). Así como\(\overline{A}\) es la intersección de conjuntos cerrados que contienen\(A\), tenemos\(x \notin \overline{A}\).

También podemos hablar sobre lo que hay en el interior de un conjunto y lo que está en el límite.

Dejar\((X,d)\) ser un espacio métrico y\(A \subset X\), entonces el interior de\(A\) es el conjunto\[A^\circ := \{ x \in A : \text{there exists a $\delta > 0$ such that $B(x,\delta) \subset A$} \} .\] El límite de\(A\) es el conjunto\[\partial A := \overline{A}\setminus A^\circ.\]

Supongamos\(A=(0,1]\) y\(X = {\mathbb{R}}\). Entonces no es difícil de ver eso\(\overline{A}=[0,1]\),\(A^\circ = (0,1)\), y\(\partial A = \{ 0, 1 \}\).

Supongamos\(X = \{ a, b \}\) con la métrica discreta. Vamos\(A = \{ a \}\), entonces\(\overline{A} = A^\circ\) y\(\partial A = \emptyset\).

Dejar\((X,d)\) ser un espacio métrico y\(A \subset X\). Después\(A^\circ\) se abre y\(\partial A\) se cierra.

Dado\(x \in A^\circ\) que tenemos\(\delta > 0\) tal que\(B(x,\delta) \subset A\). Si\(z \in B(x,\delta)\), entonces como bolas abiertas están abiertas, hay\(\epsilon > 0\) tal que\(B(z,\epsilon) \subset B(x,\delta) \subset A\), así\(z\) está adentro\(A^\circ\). Por lo tanto\(B(x,\delta) \subset A^\circ\) y así\(A^\circ\) está abierto.

Como\(A^\circ\) está abierto, luego\(\partial A = \overline{A} \setminus A^\circ = \overline{A} \cap (A^\circ)^c\) se cierra.

El límite es el conjunto de puntos que están cerca tanto del conjunto como de su complemento.

Dejar\((X,d)\) ser un espacio métrico y\(A \subset X\). Entonces\(x \in \partial A\) si y sólo si por cada\(\delta > 0\),\(B(x,\delta) \cap A\) y ambos\(B(x,\delta) \cap A^c\) están no vacíos.

Si\(x \notin \overline{A}\), entonces hay alguna\(\delta > 0\) tal que\(B(x,\delta) \subset \overline{A}^c\) como\(\overline{A}\) está cerrada. Por lo que no\(B(x,\delta)\) contiene puntos de\(A\).

Ahora supongamos que\(x \in A^\circ\), entonces existe\(\delta > 0\) tal que\(B(x,\delta) \subset A\), pero eso significa que no\(B(x,\delta)\) contiene puntos de\(A^c\).

Por último supongamos eso\(x \in \overline{A} \setminus A^\circ\). Que\(\delta > 0\) sea arbitrario. Por\(B(x,\delta)\) contiene un punto de\(A\). También, si no\(B(x,\delta)\) contenía puntos de\(A^c\), entonces\(x\) estaría en\(A^\circ\). De ahí que\(B(x,\delta)\) contenga puntos de\(A^c\) también.

Obtenemos el siguiente corolario inmediato sobre cierres de\(A\) y\(A^c\). Simplemente aplicamos.

Dejar\((X,d)\) ser un espacio métrico y\(A \subset X\). Entonces\(\partial A = \overline{A} \cap \overline{A^c}\).

Ejercicios

Demostrar. Pista: considera los complementos de los conjuntos y aplica.

Terminar el comprobante de demostrando que\(C(x,\delta)\) está cerrado.

Demostrar.

Supongamos que\((X,d)\) es un espacio métrico no vacío con la topología discreta. Mostrar que\(X\) está conectado si y sólo si contiene exactamente un elemento.

Mostrar que si\(S \subset {\mathbb{R}}\) es un conjunto no acotado conectado, entonces es un intervalo (no acotado).

Demuestre que cada conjunto abierto puede escribirse como una unión de conjuntos cerrados.

a) Mostrar que\(E\) está cerrado si y solo si\(\partial E \subset E\). b) Mostrar que\(U\) está abierto si y solo si\(\partial U \cap U = \emptyset\).

a) Mostrar que\(A\) está abierto si y solo\(A^\circ = A\) si. b) Supongamos que\(U\) es un conjunto abierto y\(U \subset A\). \(U \subset A^\circ\)Demuéstralo.

Dejar\(X\) ser un conjunto y\(d\),\(d'\) ser dos métricas sobre\(X\). Supongamos que existe una\(\alpha > 0\) y\(\beta > 0\) tal que\(\alpha d(x,y) \leq d'(x,y) \leq \beta d(x,y)\) para todos\(x,y \in X\). Mostrar que\(U\) está abierto en\((X,d)\) si y solo si\(U\) está abierto en\((X,d')\). Es decir, las topologías de\((X,d)\) y\((X,d')\) son las mismas.

Supongamos que\(\{ S_i \}\),\(i \in {\mathbb{N}}\) es una colección de subconjuntos conectados de un espacio métrico\((X,d)\). Supongamos que existe\(x \in X\) tal que\(x \in S_i\) para todos\(i \in N\). Espectáculo que\(\bigcup_{i=1}^\infty S_i\) está conectado.

Dejar\(A\) ser un conjunto conectado. a) ¿Está\(\overline{A}\) conectado? Probar o encontrar un contraejemplo. b) ¿Está\(A^\circ\) conectado? Demostrar o encontrar un contraejemplo. Pista: Piense en sets in\({\mathbb{R}}^2\).

La definición de conjuntos abiertos en el siguiente ejercicio suele denominarse topología subespacial. Se le pide que demuestre que obtenemos la misma topología considerando la métrica subespacial.

[ejercicio:mssubspace] Supongamos que\((X,d)\) es un espacio métrico y\(Y \subset X\). Mostrar que con la métrica subespacial\(Y\) encendida, un conjunto\(U \subset Y\) está abierto (in\(Y\)) siempre que exista un conjunto abierto\(V \subset X\) tal que\(U = V \cap Y\).

Dejar\((X,d)\) ser un espacio métrico. a) Para cualquier\(x \in X\) y\(\delta > 0\), espectáculo\(\overline{B(x,\delta)} \subset C(x,\delta)\). b) ¿Siempre es cierto eso\(\overline{B(x,\delta)} = C(x,\delta)\)? Demostrar o encontrar un contraejemplo.

Dejar\((X,d)\) ser un espacio métrico y\(A \subset X\). \(A^\circ = \bigcup \{ V : V \subset A \text{ is open} \}\)Demuéstralo.

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