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8.1: Espacios métricos

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Como se mencionó en la introducción, la idea principal en el análisis es tomar límites. En aprendimos a tomar límites de secuencias de números reales. Y en aprendimos a tomar límites de funciones ya que un número real se acercaba a algún otro número real.

Queremos tomar límites en contextos más complicados. Por ejemplo, podríamos querer tener secuencias de puntos en el espacio tridimensional. O tal vez deseamos definir funciones continuas de varias variables. Incluso podríamos querer definir funciones en espacios que son un poco más difíciles de describir, como la superficie de la tierra. Todavía queremos hablar de límites ahí.

Por último, hemos visto el límite de una secuencia de funciones en. Queremos unificar todas estas nociones para que no tengamos que reprobar teoremas una y otra vez en cada contexto. El concepto de un espacio métrico es una herramienta elemental pero poderosa en el análisis. Y si bien no es suficiente describir cada tipo de límite que podemos encontrar en el análisis moderno, realmente nos lleva muy lejos.

Definición: Espacio métrico

DejarX ser un conjunto y dejard:X×XR ser una función tal que

  1. [métrica:pos]d(x,y)0 para todosx,y enX,
  2. [métrica:cero]d(x,y)=0 si y sólo six=y,
  3. [métrica:com]d(x,y)=d(y,x),
  4. [métrica:triang]d(x,z)=d(x,y)+d(y,z) (desigualdad triangular).

Entonces el par(X,d) se llama un espacio métrico. La funciónd se llama la función métrica o, a veces, la función de distancia. A veces solo decimos queX es un espacio métrico si la métrica es clara a partir del contexto.

La idea geométrica es qued es la distancia entre dos puntos. Los ítems [metric:pos][metric:com] tienen una interpretación geométrica obvia: la distancia siempre es no negativa, el único punto que está lejos de la distancia 0x esx en sí mismo, y finalmente que la distancia dex ay es la misma que la distancia desde yax. La desigualdad triangular [métrica:triang] tiene la interpretación dada en

Para fines de dibujar, es conveniente dibujar figuras y diagramas en el plano y tener la métrica sea la distancia estándar. Sin embargo, ese es solo un espacio métrico en particular. El hecho de que un hecho determinado parezca quedar claro a partir de dibujar un cuadro no significa que sea cierto. Es posible que se esté desviando por la intuición de la geometría euclidiana, mientras que el concepto de un espacio métrico es mucho más general.

Demos algunos ejemplos de espacios métricos.

El conjunto de números realesR es un espacio métrico con la métricad(x,y):=|xy|. Items [metric:pos][metric:com] de la definición son fáciles de verificar. La desigualdad del triángulo [métrica:triang] sigue inmediatamente de la desigualdad triangular estándar para números reales:d(x,z)=|xz|=|xy+yz||xy|+|yz|=d(x,y)+d(y,z). Esta métrica es la métrica estándar enR. Si hablamos deR como un espacio métrico sin mencionar una métrica específica, nos referimos a esta métrica en particular.

También podemos poner una métrica diferente en el conjunto de números reales. Por ejemplo, tomar el conjunto de números realesR junto con la métricad(x,y):=|xy||xy|+1. Los elementos [metric:pos][metric:com] vuelven a ser fáciles de verificar. La desigualdad triangular [métrica:triang] es un poco más difícil. Tenga en cuenta qued(x,y)=φ(|xy|) dondeφ(t)=tt+1 y tenga en cuenta queφ es una función creciente (derivada positiva) de ahíd(x,z)=φ(|xz|)=φ(|xy+yz|)φ(|xy|+|yz|)=|xy|+|yz||xy|+|yz|+1=|xy||xy|+|yz|+1+|yz||xy|+|yz|+1|xy||xy|+1+|yz||yz|+1=d(x,y)+d(y,z). Aquí tenemos un ejemplo de una métrica no estándar enR. Con esta métrica podemos ver por ejemplo esod(x,y)<1 para todosx,yR. Es decir, dos puntos cualesquiera están separados a menos de 1 unidad.

Un espacio métrico importante es el espacio euclidianon -dimensionalRn=R×R××R. Utilizamos la siguiente notación para los puntos:x=(x1,x2,,xn)Rn. También simplemente escribimos0Rn para significar el vector(0,0,,0). Antes de hacerRn un espacio métrico, probemos una desigualdad importante, la llamada desigualdad Cauchy-Schwarz.

Tomarx=(x1,x2,,xn)Rn yy=(y1,y2,,yn)Rn. Entonces(nj=1xjyj)2(nj=1x2j)(nj=1y2j).

Cualquier cuadrado de un número real no es negativo. De ahí que cualquier suma de cuadrados no sea negativa:0nj=1nk=1(xjykxkyj)2=nj=1nk=1(x2jy2k+x2ky2j2xjxkyjyk)=(nj=1x2j)(nk=1y2k)+(nj=1y2j)(nk=1x2k)2(nj=1xjyj)(nk=1xkyk) Reetiquetamos y dividimos por 2 para obtener0(nj=1x2j)(nj=1y2j)(nj=1xjyj)2, que es precisamente lo que queríamos.

Construyamos métricas estándar paraRn. Defined(x,y):=(x1y1)2+(x2y2)2++(xnyn)2=nj=1(xjyj)2. Forn=1, la línea real, esta métrica concuerda con lo que hicimos anteriormente. Nuevamente, la única parte complicada de la definición a verificar es la desigualdad triangular. Es menos desordenado trabajar con el cuadrado de la métrica. A continuación, anotar el uso de la desigualdad Cauchy-Schwarz. d(x,z)2=nj=1(xjzj)2=nj=1(xjyj+yjzj)2=nj=1((xjyj)2+(yjzj)2+2(xjyj)(yjzj))=nj=1(xjyj)2+nj=1(yjzj)2+nj=12(xjyj)(yjzj)nj=1(xjyj)2+nj=1(yjzj)2+2nj=1(xjyj)2nj=1(yjzj)2=(nj=1(xjyj)2+nj=1(yjzj)2)2=(d(x,y)+d(y,z))2.Tomando la raíz cuadrada de ambos lados obtenemos la desigualdad correcta.

Un ejemplo a tener en cuenta es la llamada métrica discreta. XSea cualquier conjunto y defina Esd(x,y):={1if xy,0if x=y. decir, todos los puntos están igualmente distantes entre sí. CuandoX es un conjunto finito, podemos dibujar un diagrama, ver por ejemplo. Las cosas se vuelven sutiles cuandoX hay un conjunto infinito como los números reales.

Si bien este ejemplo en particular rara vez aparece en la práctica, se da una útil “prueba de olfato”. Si haces una declaración sobre los espacios métricos, pruébalo con la métrica discreta. Para mostrar que efectivamente(X,d) es un espacio métrico se deja como ejercicio.

[Ejemplo:MSC01] LetC([a,b]) Ser el conjunto de funciones continuas de valor real en el intervalo[a,b]. Definir la métrica onC([a,b]) comod(f,g):=supx[a,b]|f(x)g(x)|. Comprobemos las propiedades. Primero,d(f,g) es finito al igual|f(x)g(x)| que es una función continua en un intervalo delimitado cerrado[a,b], y así es acotado. Es claro qued(f,g)0, es el supremo de los números no negativos. Sif=g entonces|f(x)g(x)|=0 para todosx y por lo tantod(f,g)=0. Por el contrario sid(f,g)=0, entonces para cualquierax tenemos|f(x)g(x)|d(f,g)=0 y por lo tantof(x)=g(x) para todosx yf=g. Esod(f,g)=d(g,f) es igualmente trivial. Para mostrar la desigualdad triangular utilizamos la desigualdad estándar del triángulo. d(f,h)=supx[a,b]|f(x)g(x)|=supx[a,b]|f(x)h(x)+h(x)g(x)|supx[a,b](|f(x)h(x)|+|h(x)g(x)|)supx[a,b]|f(x)h(x)|+supx[a,b]|h(x)g(x)|=d(f,h)+d(h,g).Cuando se trataC([a,b]) como un espacio métrico sin mencionar una métrica, nos referimos a esta métrica en particular.

Este ejemplo puede parecer esotérico al principio, pero resulta que trabajar con espacios comoC([a,b]) es realmente la carne de gran parte del análisis moderno. Tratar conjuntos de funciones como espacios métricos nos permite abstraer gran parte de los detalles sucios y demostrar resultados poderosos como el teorema de Picard con menos trabajo.

A menudo es útil considerar un subconjunto de un espacio métrico más grande como un espacio métrico. Obtenemos la siguiente proposición, la cual tiene una prueba trivial.

Dejar(X,d) ser un espacio métrico yYX, entonces la restricciónd|Y×Y es una métrica enY.

Si(X,d) es un espacio métrico,YX, yd:=d|Y×Y, entonces(Y,d) se dice que es un subespacio de(X,d).

Es común escribir simplemented para la métrica onY, ya que es la restricción de la métrica onX. A veces diremos qued es la métrica subespacial y queY tiene la topología subespacial.

Un subconjunto de los números reales se limita siempre que todos sus elementos estén como mucho a cierta distancia fija de 0. También podemos definir conjuntos acotados en un espacio métrico. Cuando se trata de un espacio métrico arbitrario, puede que no haya algún punto fijo natural 0. A los efectos de la generalidad no importa.

Dejar(X,d) ser un espacio métrico. SXSe dice que un subconjunto está acotado si existe unpX yBR tal qued(p,x)Bfor all xS. Nosotros decimos que(X,d) está acotado siX en sí mismo es un subconjunto acotado.

Por ejemplo, el conjunto de números reales con la métrica estándar no es un espacio métrico acotado. No es difícil ver que un subconjunto de los números reales está acotado en el sentido de si y sólo si está delimitado como un subconjunto del espacio métrico de los números reales con la métrica estándar.

Por otro lado, si tomamos los números reales con la métrica discreta, entonces obtenemos un espacio métrico acotado. De hecho, cualquier conjunto con la métrica discreta está acotado.

Ejercicios

Mostrar que para cualquier conjuntoX, la métrica discreta (d(x,y)=1ifxy yd(x,x)=0) da un espacio métrico(X,d).

X:={0}Déjese ser un conjunto. ¿Puedes convertirlo en un espacio métrico?

X:={a,b}Déjese ser un conjunto. ¿Puedes convertirlo en dos espacios métricos distintos? (definir dos métricas distintas en él)

Que el conjuntoX:={A,B,C} represente 3 edificios en el campus. Supongamos que deseamos que a nuestra distancia sea el tiempo que lleva caminar de un edificio a otro. Tarda 5 minutos de cualquier manera entre edificiosA yB. Sin embargo, el edificioC está en una colina y se tarda 10 minutosA y 15 minutos de llegarB aC. Por otro lado se necesitan 5 minutos para ir deC aA y 7 minutos para ir deC aB, ya que vamos cuesta abajo. ¿Estas distancias definen una métrica? Si es así, demuéstralo, si no decir por qué no.

Supongamos que(X,d) es un espacio métrico yφ:[0,]R es una función creciente tal queφ(t)0 para todost yφ(t)=0 si y sólo sit=0. También supongamos queφ es subaditivo, es decirφ(s+t)φ(s)+φ(t). Demostrar que cond(x,y):=φ(d(x,y)), obtenemos un nuevo espacio métrico(X,d).

Dejar(X,dX) y(Y,dY) ser espacios métricos.
a) Demostrar que(X×Y,d) cond((x1,y1),(x2,y2)):=dX(x1,x2)+dY(y1,y2) es un espacio métrico.
b) Demostrar que(X×Y,d) cond((x1,y1),(x2,y2)):=max{dX(x1,x2),dY(y1,y2)} es un espacio métrico.

DejarX ser el conjunto de funciones continuas encendidas[0,1]. Dejarφ:[0,1](0,) ser continuo. Definird(f,g):=10|f(x)g(x)|φ(x) dx. Mostrar que(X,d) es un espacio métrico.

Dejar(X,d) ser un espacio métrico. Para subconjuntos acotados no vacíosA yB vamosd(x,B):=inf{d(x,b):bB}andd(A,B):=sup{d(a,B):aA}. Ahora definir la métrica de Hausdorff comodH(A,B):=max{d(A,B),d(B,A)}. Nota: sedH puede definir para subconjuntos no vacíos arbitrarios si permitimos los reales extendidos.
a) LetYP(X) Ser el conjunto de subconjuntos delimitados no vacíos. Mostrar que(Y,dH) es un espacio métrico. b) Mostrar con el ejemplo qued en sí mismo no es una métrica. Es decir, no siempred es simétrico.

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