8.1: Espacios métricos

Como se mencionó en la introducción, la idea principal en el análisis es tomar límites. En aprendimos a tomar límites de secuencias de números reales. Y en aprendimos a tomar límites de funciones ya que un número real se acercaba a algún otro número real.

Queremos tomar límites en contextos más complicados. Por ejemplo, podríamos querer tener secuencias de puntos en el espacio tridimensional. O tal vez deseamos definir funciones continuas de varias variables. Incluso podríamos querer definir funciones en espacios que son un poco más difíciles de describir, como la superficie de la tierra. Todavía queremos hablar de límites ahí.

Por último, hemos visto el límite de una secuencia de funciones en. Queremos unificar todas estas nociones para que no tengamos que reprobar teoremas una y otra vez en cada contexto. El concepto de un espacio métrico es una herramienta elemental pero poderosa en el análisis. Y si bien no es suficiente describir cada tipo de límite que podemos encontrar en el análisis moderno, realmente nos lleva muy lejos.

Definición: Espacio métrico

Dejar\(X\) ser un conjunto y dejar\(d \colon X \times X \to {\mathbb{R}}\) ser una función tal que

1. [métrica:pos]\(d(x,y) \geq 0\) para todos\(x, y\) en\(X\),
2. [métrica:cero]\(d(x,y) = 0\) si y sólo si\(x = y\),
3. [métrica:com]\(d(x,y) = d(y,x)\),
4. [métrica:triang]\(d(x,z) = d(x,y)+ d(y,z)\) (desigualdad triangular).

Entonces el par\((X,d)\) se llama un espacio métrico. La función\(d\) se llama la función métrica o, a veces, la función de distancia. A veces solo decimos que\(X\) es un espacio métrico si la métrica es clara a partir del contexto.

La idea geométrica es que\(d\) es la distancia entre dos puntos. Los ítems [metric:pos] — [metric:com] tienen una interpretación geométrica obvia: la distancia siempre es no negativa, el único punto que está lejos de la distancia 0\(x\) es\(x\) en sí mismo, y finalmente que la distancia de\(x\) a\(y\) es la misma que la distancia desde \(y\)a\(x\). La desigualdad triangular [métrica:triang] tiene la interpretación dada en

Para fines de dibujar, es conveniente dibujar figuras y diagramas en el plano y tener la métrica sea la distancia estándar. Sin embargo, ese es solo un espacio métrico en particular. El hecho de que un hecho determinado parezca quedar claro a partir de dibujar un cuadro no significa que sea cierto. Es posible que se esté desviando por la intuición de la geometría euclidiana, mientras que el concepto de un espacio métrico es mucho más general.

Demos algunos ejemplos de espacios métricos.

El conjunto de números reales\({\mathbb{R}}\) es un espacio métrico con la métrica\[d(x,y) := \left\lvert {x-y} \right\rvert .\] Items [metric:pos] — [metric:com] de la definición son fáciles de verificar. La desigualdad del triángulo [métrica:triang] sigue inmediatamente de la desigualdad triangular estándar para números reales:\[d(x,z) = \left\lvert {x-z} \right\rvert = \left\lvert {x-y+y-z} \right\rvert \leq \left\lvert {x-y} \right\rvert+\left\lvert {y-z} \right\rvert = d(x,y)+ d(y,z) .\] Esta métrica es la métrica estándar en\({\mathbb{R}}\). Si hablamos de\({\mathbb{R}}\) como un espacio métrico sin mencionar una métrica específica, nos referimos a esta métrica en particular.

También podemos poner una métrica diferente en el conjunto de números reales. Por ejemplo, tomar el conjunto de números reales\({\mathbb{R}}\) junto con la métrica\[d(x,y) := \frac{\left\lvert {x-y} \right\rvert}{\left\lvert {x-y} \right\rvert+1} .\] Los elementos [metric:pos] — [metric:com] vuelven a ser fáciles de verificar. La desigualdad triangular [métrica:triang] es un poco más difícil. Tenga en cuenta que\(d(x,y) = \varphi(\left\lvert {x-y} \right\rvert)\) donde\(\varphi(t) = \frac{t}{t+1}\) y tenga en cuenta que\(\varphi\) es una función creciente (derivada positiva) de ahí\[\begin{split} d(x,z) & = \varphi(\left\lvert {x-z} \right\rvert) = \varphi(\left\lvert {x-y+y-z} \right\rvert) \leq \varphi(\left\lvert {x-y} \right\rvert+\left\lvert {y-z} \right\rvert) \\ & = \frac{\left\lvert {x-y} \right\rvert+\left\lvert {y-z} \right\rvert}{\left\lvert {x-y} \right\rvert+\left\lvert {y-z} \right\rvert+1} = \frac{\left\lvert {x-y} \right\rvert}{\left\lvert {x-y} \right\rvert+\left\lvert {y-z} \right\rvert+1} + \frac{\left\lvert {y-z} \right\rvert}{\left\lvert {x-y} \right\rvert+\left\lvert {y-z} \right\rvert+1} \\ & \leq \frac{\left\lvert {x-y} \right\rvert}{\left\lvert {x-y} \right\rvert+1} + \frac{\left\lvert {y-z} \right\rvert}{\left\lvert {y-z} \right\rvert+1} = d(x,y)+ d(y,z) . \end{split}\] Aquí tenemos un ejemplo de una métrica no estándar en\({\mathbb{R}}\). Con esta métrica podemos ver por ejemplo eso\(d(x,y) < 1\) para todos\(x,y \in {\mathbb{R}}\). Es decir, dos puntos cualesquiera están separados a menos de 1 unidad.

Un espacio métrico importante es el espacio euclidiano\(n\) -dimensional\({\mathbb{R}}^n = {\mathbb{R}} \times {\mathbb{R}}\times \cdots \times {\mathbb{R}}\). Utilizamos la siguiente notación para los puntos:\(x =(x_1,x_2,\ldots,x_n) \in {\mathbb{R}}^n\). También simplemente escribimos\(0 \in {\mathbb{R}}^n\) para significar el vector\((0,0,\ldots,0)\). Antes de hacer\({\mathbb{R}}^n\) un espacio métrico, probemos una desigualdad importante, la llamada desigualdad Cauchy-Schwarz.

Tomar\(x =(x_1,x_2,\ldots,x_n) \in {\mathbb{R}}^n\) y\(y =(y_1,y_2,\ldots,y_n) \in {\mathbb{R}}^n\). Entonces\[{\biggl( \sum_{j=1}^n x_j y_j \biggr)}^2 \leq \biggl(\sum_{j=1}^n x_j^2 \biggr) \biggl(\sum_{j=1}^n y_j^2 \biggr) .\]

Cualquier cuadrado de un número real no es negativo. De ahí que cualquier suma de cuadrados no sea negativa:\[\begin{split} 0 & \leq \sum_{j=1}^n \sum_{k=1}^n (x_j y_k - x_k y_j)^2 \\ & = \sum_{j=1}^n \sum_{k=1}^n \bigl( x_j^2 y_k^2 + x_k^2 y_j^2 - 2 x_j x_k y_j y_k \bigr) \\ & = \biggl( \sum_{j=1}^n x_j^2 \biggr) \biggl( \sum_{k=1}^n y_k^2 \biggr) + \biggl( \sum_{j=1}^n y_j^2 \biggr) \biggl( \sum_{k=1}^n x_k^2 \biggr) - 2 \biggl( \sum_{j=1}^n x_j y_j \biggr) \biggl( \sum_{k=1}^n x_k y_k \biggr) \end{split}\] Reetiquetamos y dividimos por 2 para obtener\[0 \leq \biggl( \sum_{j=1}^n x_j^2 \biggr) \biggl( \sum_{j=1}^n y_j^2 \biggr) - {\biggl( \sum_{j=1}^n x_j y_j \biggr)}^2 ,\] que es precisamente lo que queríamos.

Construyamos métricas estándar para\({\mathbb{R}}^n\). Define\[d(x,y) := \sqrt{ {(x_1-y_1)}^2 + {(x_2-y_2)}^2 + \cdots + {(x_n-y_n)}^2 } = \sqrt{ \sum_{j=1}^n {(x_j-y_j)}^2 } .\] For\(n=1\), la línea real, esta métrica concuerda con lo que hicimos anteriormente. Nuevamente, la única parte complicada de la definición a verificar es la desigualdad triangular. Es menos desordenado trabajar con el cuadrado de la métrica. A continuación, anotar el uso de la desigualdad Cauchy-Schwarz. \[\begin{split} d(x,z)^2 & = \sum_{j=1}^n {(x_j-z_j)}^2 \\ & = \sum_{j=1}^n {(x_j-y_j+y_j-z_j)}^2 \\ & = \sum_{j=1}^n \Bigl( {(x_j-y_j)}^2+{(y_j-z_j)}^2 + 2(x_j-y_j)(y_j-z_j) \Bigr) \\ & = \sum_{j=1}^n {(x_j-y_j)}^2 + \sum_{j=1}^n {(y_j-z_j)}^2 + \sum_{j=1}^n 2(x_j-y_j)(y_j-z_j) \\ & \leq \sum_{j=1}^n {(x_j-y_j)}^2 + \sum_{j=1}^n {(y_j-z_j)}^2 + 2 \sqrt{ \sum_{j=1}^n {(x_j-y_j)}^2 \sum_{j=1}^n {(y_j-z_j)}^2 } \\ & = {\left( \sqrt{ \sum_{j=1}^n {(x_j-y_j)}^2 } + \sqrt{ \sum_{j=1}^n {(y_j-z_j)}^2 } \right)}^2 = {\bigl( d(x,y) + d(y,z) \bigr)}^2 . \end{split}\]Tomando la raíz cuadrada de ambos lados obtenemos la desigualdad correcta.

Un ejemplo a tener en cuenta es la llamada métrica discreta. \(X\)Sea cualquier conjunto y defina Es\[d(x,y) := \begin{cases} 1 & \text{if $x \not= y$}, \\ 0 & \text{if $x = y$}. \end{cases}\] decir, todos los puntos están igualmente distantes entre sí. Cuando\(X\) es un conjunto finito, podemos dibujar un diagrama, ver por ejemplo. Las cosas se vuelven sutiles cuando\(X\) hay un conjunto infinito como los números reales.

Si bien este ejemplo en particular rara vez aparece en la práctica, se da una útil “prueba de olfato”. Si haces una declaración sobre los espacios métricos, pruébalo con la métrica discreta. Para mostrar que efectivamente\((X,d)\) es un espacio métrico se deja como ejercicio.

[Ejemplo:MSC01] Let\(C([a,b])\) Ser el conjunto de funciones continuas de valor real en el intervalo\([a,b]\). Definir la métrica on\(C([a,b])\) como\[d(f,g) := \sup_{x \in [a,b]} \left\lvert {f(x)-g(x)} \right\rvert .\] Comprobemos las propiedades. Primero,\(d(f,g)\) es finito al igual\(\left\lvert {f(x)-g(x)} \right\rvert\) que es una función continua en un intervalo delimitado cerrado\([a,b]\), y así es acotado. Es claro que\(d(f,g) \geq 0\), es el supremo de los números no negativos. Si\(f = g\) entonces\(\left\lvert {f(x)-g(x)} \right\rvert = 0\) para todos\(x\) y por lo tanto\(d(f,g) = 0\). Por el contrario si\(d(f,g) = 0\), entonces para cualquiera\(x\) tenemos\(\left\lvert {f(x)-g(x)} \right\rvert \leq d(f,g) = 0\) y por lo tanto\(f(x) = g(x)\) para todos\(x\) y\(f=g\). Eso\(d(f,g) = d(g,f)\) es igualmente trivial. Para mostrar la desigualdad triangular utilizamos la desigualdad estándar del triángulo. \[\begin{split} d(f,h) & = \sup_{x \in [a,b]} \left\lvert {f(x)-g(x)} \right\rvert = \sup_{x \in [a,b]} \left\lvert {f(x)-h(x)+h(x)-g(x)} \right\rvert \\ & \leq \sup_{x \in [a,b]} ( \left\lvert {f(x)-h(x)} \right\rvert+\left\lvert {h(x)-g(x)} \right\rvert ) \\ & \leq \sup_{x \in [a,b]} \left\lvert {f(x)-h(x)} \right\rvert+ \sup_{x \in [a,b]} \left\lvert {h(x)-g(x)} \right\rvert = d(f,h) + d(h,g) . \end{split}\]Cuando se trata\(C([a,b])\) como un espacio métrico sin mencionar una métrica, nos referimos a esta métrica en particular.

Este ejemplo puede parecer esotérico al principio, pero resulta que trabajar con espacios como\(C([a,b])\) es realmente la carne de gran parte del análisis moderno. Tratar conjuntos de funciones como espacios métricos nos permite abstraer gran parte de los detalles sucios y demostrar resultados poderosos como el teorema de Picard con menos trabajo.

A menudo es útil considerar un subconjunto de un espacio métrico más grande como un espacio métrico. Obtenemos la siguiente proposición, la cual tiene una prueba trivial.

Dejar\((X,d)\) ser un espacio métrico y\(Y \subset X\), entonces la restricción\(d|_{Y \times Y}\) es una métrica en\(Y\).

Si\((X,d)\) es un espacio métrico,\(Y \subset X\), y\(d' := d|_{Y \times Y}\), entonces\((Y,d')\) se dice que es un subespacio de\((X,d)\).

Es común escribir simplemente\(d\) para la métrica on\(Y\), ya que es la restricción de la métrica on\(X\). A veces diremos que\(d'\) es la métrica subespacial y que\(Y\) tiene la topología subespacial.

Un subconjunto de los números reales se limita siempre que todos sus elementos estén como mucho a cierta distancia fija de 0. También podemos definir conjuntos acotados en un espacio métrico. Cuando se trata de un espacio métrico arbitrario, puede que no haya algún punto fijo natural 0. A los efectos de la generalidad no importa.

Dejar\((X,d)\) ser un espacio métrico. \(S \subset X\)Se dice que un subconjunto está acotado si existe un\(p \in X\) y\(B \in {\mathbb{R}}\) tal que\[d(p,x) \leq B \quad \text{for all $x \in S$}.\] Nosotros decimos que\((X,d)\) está acotado si\(X\) en sí mismo es un subconjunto acotado.

Por ejemplo, el conjunto de números reales con la métrica estándar no es un espacio métrico acotado. No es difícil ver que un subconjunto de los números reales está acotado en el sentido de si y sólo si está delimitado como un subconjunto del espacio métrico de los números reales con la métrica estándar.

Por otro lado, si tomamos los números reales con la métrica discreta, entonces obtenemos un espacio métrico acotado. De hecho, cualquier conjunto con la métrica discreta está acotado.

Ejercicios

Mostrar que para cualquier conjunto\(X\), la métrica discreta (\(d(x,y) = 1\)if\(x\not=y\) y\(d(x,x) = 0\)) da un espacio métrico\((X,d)\).

\(X := \{ 0 \}\)Déjese ser un conjunto. ¿Puedes convertirlo en un espacio métrico?

\(X := \{ a, b \}\)Déjese ser un conjunto. ¿Puedes convertirlo en dos espacios métricos distintos? (definir dos métricas distintas en él)

Que el conjunto\(X := \{ A, B, C \}\) represente 3 edificios en el campus. Supongamos que deseamos que a nuestra distancia sea el tiempo que lleva caminar de un edificio a otro. Tarda 5 minutos de cualquier manera entre edificios\(A\) y\(B\). Sin embargo, el edificio\(C\) está en una colina y se tarda 10 minutos\(A\) y 15 minutos de llegar\(B\) a\(C\). Por otro lado se necesitan 5 minutos para ir de\(C\) a\(A\) y 7 minutos para ir de\(C\) a\(B\), ya que vamos cuesta abajo. ¿Estas distancias definen una métrica? Si es así, demuéstralo, si no decir por qué no.

Supongamos que\((X,d)\) es un espacio métrico y\(\varphi \colon [0,\infty] \to {\mathbb{R}}\) es una función creciente tal que\(\varphi(t) \geq 0\) para todos\(t\) y\(\varphi(t) = 0\) si y sólo si\(t=0\). También supongamos que\(\varphi\) es subaditivo, es decir\(\varphi(s+t) \leq \varphi(s)+\varphi(t)\). Demostrar que con\(d'(x,y) := \varphi\bigl(d(x,y)\bigr)\), obtenemos un nuevo espacio métrico\((X,d')\).

Dejar\((X,d_X)\) y\((Y,d_Y)\) ser espacios métricos.
a) Demostrar que\((X \times Y,d)\) con\(d\bigl( (x_1,y_1), (x_2,y_2) \bigr) := d_X(x_1,x_2) + d_Y(y_1,y_2)\) es un espacio métrico.
b) Demostrar que\((X \times Y,d)\) con\(d\bigl( (x_1,y_1), (x_2,y_2) \bigr) := \max \{ d_X(x_1,x_2) , d_Y(y_1,y_2) \}\) es un espacio métrico.

Dejar\(X\) ser el conjunto de funciones continuas encendidas\([0,1]\). Dejar\(\varphi \colon [0,1] \to (0,\infty)\) ser continuo. Definir\[d(f,g) := \int_0^1 \left\lvert {f(x)-g(x)} \right\rvert\varphi(x)~dx .\] Mostrar que\((X,d)\) es un espacio métrico.

Dejar\((X,d)\) ser un espacio métrico. Para subconjuntos acotados no vacíos\(A\) y\(B\) vamos\[d(x,B) := \inf \{ d(x,b) : b \in B \} \qquad \text{and} \qquad d(A,B) := \sup \{ d(a,B) : a \in A \} .\] Ahora definir la métrica de Hausdorff como\[d_H(A,B) := \max \{ d(A,B) , d(B,A) \} .\] Nota: se\(d_H\) puede definir para subconjuntos no vacíos arbitrarios si permitimos los reales extendidos.
a) Let\(Y \subset {\mathcal{P}}(X)\) Ser el conjunto de subconjuntos delimitados no vacíos. Mostrar que\((Y,d_H)\) es un espacio métrico. b) Mostrar con el ejemplo que\(d\) en sí mismo no es una métrica. Es decir, no siempre\(d\) es simétrico.

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