8.5: Funciones continuas
( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)
Continuidad
Dejar(X,dX) y(Y,dY) ser espacios métricos yc∈X. Entoncesf:X→Y es continuo enc si por cadaϵ>0 hayδ>0 tal que cuandox∈X ydX(x,c)<δ, entoncesdY(f(x),f(c))<ϵ.
Cuandof:X→Y es continuo en absolutoc∈X, entonces simplemente decimos quef es una función continua.
La definición concuerda con la definición de cuándof es una función de valor real en la línea real, cuando tomamos la métrica estándarR.
[prop:contiscont] Dejar(X,dX) y(Y,dY) ser espacios métricos yc∈X. Entoncesf:X→Y es continuo enc si y solo si por cada secuencia{xn} enX converger ac, la secuencia{f(xn)} converge af(c).
Supongamos quef es continuo enc. Dejar{xn} ser una secuencia enX converger ac. Dadoϵ>0, hayδ>0 tal qued(x,c)<δ implicad(f(x),f(c))<ϵ. Así que tomaM tal que para todosn≥M, tenemosd(xn,c)<δ, entoncesd(f(xn),f(c))<ϵ. De ahí que{f(xn)} converja af(c).
Por otro lado supongamos que nof es continuo enc. Entonces existe unϵ>0, tal que para cada\nicefrac1n existe unxn∈X,d(xn,c)<\nicefrac1n tal qued(f(xn),f(c))≥ϵ. Por lo tanto{f(xn)} no converge af(c).
Compacidad y continuidad
Los mapas continuos no mapean conjuntos cerrados a conjuntos cerrados. Por ejemplo,f:(0,1)→R definido porf(x):=x toma el conjunto(0,1), que está cerrado en(0,1), al conjunto(0,1), que no está cerrado enR. Por otro lado, los mapas continuos sí conservan conjuntos compactos.
Dejar(X,dX) y(Y,dY) ser espacios métricos, yf:X→Y es una función continua. SiK⊂X es un conjunto compacto, entoncesf(K) es un conjunto compacto.
Dejar{f(xn)}∞n=1 ser una secuencia enf(K), entonces{xn}∞n=1 es una secuencia enK. El conjuntoK es compacto y por lo tanto tiene una subsecuencia{xni}∞i=1 que converge a algunosx∈K. Por continuidad,limi→∞f(xni)=f(x)∈f(K). Por lo tanto, cada secuencia enf(K) tiene una subsecuencia convergente a un punto enf(K), asíf(K) es compacta por.
Como antes,f:X→R logra un mínimo absolutof(x)≥f(c) for all x∈X. enc∈X si Por otro lado,f logra un máximo absoluto enc∈X sif(x)≤f(c) for all x∈X.
Dejar(X,d) y ser un espacio métrico compacto, yf:X→R es una función continua. Entoncesf(X) es compacto y de hechof logra un mínimo absoluto y un máximo absoluto encendidoX.
ComoX es compacto yf es continuo, tenemos quef(X)⊂R es compacto. De ahíf(X) que esté cerrado y acotado. En particular,supf(X)∈f(X) yinff(X)∈f(X). Eso se debe a que tanto el sup como el inf se pueden lograr mediante secuencias enf(X) yf(X) se cierra. Por lo tanto hay algunosx∈X tales quef(x)=supf(X) y algunosy∈X tales quef(y)=inff(X).
Continuidad y topología
Veamos cómo definir la continuidad solo en términos de topología, es decir, los conjuntos abiertos. Ya hemos visto que la topología determina qué secuencias convergen, por lo que no es de extrañar que la topología también determine la continuidad de las funciones.
[lemma:mstopocontloc] Dejar(X,dX) y(Y,dY) ser espacios métricos. Una funciónf:X→Y es continua enc∈X si y solo si por cada barrio abiertoU def(c) inY, el conjuntof−1(U) contiene un barrio abierto dec inX.
Supongamos quef es continuo enc. QueU sea un barrio abierto def(c) adentroY, entoncesBY(f(c),ϵ)⊂U para algunosϵ>0. Comof es continuo, entonces existeδ>0 tal que siemprex es tal quedX(x,c)<δ, entoncesdY(f(x),f(c))<ϵ. En otras palabras,BX(c,δ)⊂f−1(BY(f(c),ϵ)). yBX(c,δ) es un barrio abierto dec.
Para la otra dirección,ϵ>0 déjese dar. Sif−1(BY(f(c),ϵ)) contiene un barrio abierto, contiene una pelota, es decir hay algunaδ>0 tal queBX(c,δ)⊂f−1(BY(f(c),ϵ)). Eso significa precisamente que sidX(x,c)<δ entoncesdY(f(x),f(c))<ϵ y asíf es continuo enc.
[thm:mstopocont] Dejar(X,dX) y(Y,dY) ser espacios métricos. Una funciónf:X→Y es continua si y solo si por cada abiertoU⊂Y,f−1(U) está abierto enX.
El comprobante se desprende y se deja como ejercicio.
Ejercicios
ConsideraN⊂R con la métrica estándar. Dejar(X,d) ser un espacio métrico yf:X→N una función continua. a) Demostrar que siX está conectado, entoncesf es constante (el rango def es un valor único). b) Encuentra un ejemplo dondeX está desconectado y nof es constante.
Dejarf:R2→R definirse porf(0,0):=0, yf(x,y):=xyx2+y2 si(x,y)≠(0,0). a) Demostrar que para cualquier fijox, la función que llevay af(x,y) es continua. De manera similar para cualquier fijoy, la función que llevax af(x,y) es continua. b) Mostrar que nof es continua.
Supongamos quef:X→Y es continuo para espacios métricos(X,dX) y(Y,dY). A⊂XDejar. a) Demostrarf(¯A)⊂¯f(A) eso. b) Demostrar que el subconjunto puede ser apropiado.
Demostrar. Pista: Uso.
[exercise:msconnconn] Supongamos quef:X→Y es continuo para espacios métricos(X,dX) y(Y,dY). Mostrar que siX está conectado, entoncesf(X) está conectado.
Demostrar la siguiente versión del teorema del valor intermedio. Dejar(X,d) ser un espacio métrico conectado yf:X→R una función continua. Supongamos que existenx0,x1∈X yy∈R tal quef(x0)<y<f(x1). Entonces demuestre que existez∈X tal esof(z)=y. Pista: ver.
Una función continuaf:X→Y para espacios métricos(X,dX) y(Y,dY) se dice que es adecuada si para cada conjunto compactoK⊂Y, el conjuntof−1(K) es compacto. Supongamos que un continuof:(0,1)→(0,1) es propio y{xn} es una secuencia en la(0,1) que converge a0. Demostrar que no{f(xn)} tiene subsecuencia que converja en(0,1).
Dejar(X,dX) y(Y,dY) ser espacio métrico yf:X→Y ser uno a uno y en función continua. Supongamos queX es compacto. Demostrar que la inversaf−1:Y→X es continua.
Tome el espacio métrico de las funciones continuasC([0,1]). Dejark:[0,1]×[0,1]→R ser una función continua. Dadof∈C([0,1]) definirφf(x):=∫10k(x,y)f(y) dy. a) Mostrar queT(f):=φf define una funciónT:C([0,1])→C([0,1]). b) Mostrar queT es continuo.