8.5: Funciones continuas
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Continuidad
Dejar\((X,d_X)\) y\((Y,d_Y)\) ser espacios métricos y\(c \in X\). Entonces\(f \colon X \to Y\) es continuo en\(c\) si por cada\(\epsilon > 0\) hay\(\delta > 0\) tal que cuando\(x \in X\) y\(d_X(x,c) < \delta\), entonces\(d_Y\bigl(f(x),f(c)\bigr) < \epsilon\).
Cuando\(f \colon X \to Y\) es continuo en absoluto\(c \in X\), entonces simplemente decimos que\(f\) es una función continua.
La definición concuerda con la definición de cuándo\(f\) es una función de valor real en la línea real, cuando tomamos la métrica estándar\({\mathbb{R}}\).
[prop:contiscont] Dejar\((X,d_X)\) y\((Y,d_Y)\) ser espacios métricos y\(c \in X\). Entonces\(f \colon X \to Y\) es continuo en\(c\) si y solo si por cada secuencia\(\{ x_n \}\) en\(X\) converger a\(c\), la secuencia\(\{ f(x_n) \}\) converge a\(f(c)\).
Supongamos que\(f\) es continuo en\(c\). Dejar\(\{ x_n \}\) ser una secuencia en\(X\) converger a\(c\). Dado\(\epsilon > 0\), hay\(\delta > 0\) tal que\(d(x,c) < \delta\) implica\(d\bigl(f(x),f(c)\bigr) < \epsilon\). Así que toma\(M\) tal que para todos\(n \geq M\), tenemos\(d(x_n,c) < \delta\), entonces\(d\bigl(f(x_n),f(c)\bigr) < \epsilon\). De ahí que\(\{ f(x_n) \}\) converja a\(f(c)\).
Por otro lado supongamos que no\(f\) es continuo en\(c\). Entonces existe un\(\epsilon > 0\), tal que para cada\(\nicefrac{1}{n}\) existe un\(x_n \in X\),\(d(x_n,c) < \nicefrac{1}{n}\) tal que\(d\bigl(f(x_n),f(c)\bigr) \geq \epsilon\). Por lo tanto\(\{ f(x_n) \}\) no converge a\(f(c)\).
Compacidad y continuidad
Los mapas continuos no mapean conjuntos cerrados a conjuntos cerrados. Por ejemplo,\(f \colon (0,1) \to {\mathbb{R}}\) definido por\(f(x) := x\) toma el conjunto\((0,1)\), que está cerrado en\((0,1)\), al conjunto\((0,1)\), que no está cerrado en\({\mathbb{R}}\). Por otro lado, los mapas continuos sí conservan conjuntos compactos.
Dejar\((X,d_X)\) y\((Y,d_Y)\) ser espacios métricos, y\(f \colon X \to Y\) es una función continua. Si\(K \subset X\) es un conjunto compacto, entonces\(f(K)\) es un conjunto compacto.
Dejar\(\{ f(x_n) \}_{n=1}^\infty\) ser una secuencia en\(f(K)\), entonces\(\{ x_n \}_{n=1}^\infty\) es una secuencia en\(K\). El conjunto\(K\) es compacto y por lo tanto tiene una subsecuencia\(\{ x_{n_i} \}_{i=1}^\infty\) que converge a algunos\(x \in K\). Por continuidad,\[\lim_{i\to\infty} f(x_{n_i}) = f(x) \in f(K) .\] Por lo tanto, cada secuencia en\(f(K)\) tiene una subsecuencia convergente a un punto en\(f(K)\), así\(f(K)\) es compacta por.
Como antes,\(f \colon X \to {\mathbb{R}}\) logra un mínimo absoluto\[f(x) \geq f(c) \qquad \text{ for all $x \in X$.}\] en\(c \in X\) si Por otro lado,\(f\) logra un máximo absoluto en\(c \in X\) si\[f(x) \leq f(c) \qquad \text{ for all $x \in X$.}\]
Dejar\((X,d)\) y ser un espacio métrico compacto, y\(f \colon X \to {\mathbb{R}}\) es una función continua. Entonces\(f(X)\) es compacto y de hecho\(f\) logra un mínimo absoluto y un máximo absoluto encendido\(X\).
Como\(X\) es compacto y\(f\) es continuo, tenemos que\(f(X) \subset {\mathbb{R}}\) es compacto. De ahí\(f(X)\) que esté cerrado y acotado. En particular,\(\sup f(X) \in f(X)\) y\(\inf f(X) \in f(X)\). Eso se debe a que tanto el sup como el inf se pueden lograr mediante secuencias en\(f(X)\) y\(f(X)\) se cierra. Por lo tanto hay algunos\(x \in X\) tales que\(f(x) = \sup f(X)\) y algunos\(y \in X\) tales que\(f(y) = \inf f(X)\).
Continuidad y topología
Veamos cómo definir la continuidad solo en términos de topología, es decir, los conjuntos abiertos. Ya hemos visto que la topología determina qué secuencias convergen, por lo que no es de extrañar que la topología también determine la continuidad de las funciones.
[lemma:mstopocontloc] Dejar\((X,d_X)\) y\((Y,d_Y)\) ser espacios métricos. Una función\(f \colon X \to Y\) es continua en\(c \in X\) si y solo si por cada barrio abierto\(U\) de\(f(c)\) in\(Y\), el conjunto\(f^{-1}(U)\) contiene un barrio abierto de\(c\) in\(X\).
Supongamos que\(f\) es continuo en\(c\). Que\(U\) sea un barrio abierto de\(f(c)\) adentro\(Y\), entonces\(B_Y\bigl(f(c),\epsilon\bigr) \subset U\) para algunos\(\epsilon > 0\). Como\(f\) es continuo, entonces existe\(\delta > 0\) tal que siempre\(x\) es tal que\(d_X(x,c) < \delta\), entonces\(d_Y\bigl(f(x),f(c)\bigr) < \epsilon\). En otras palabras,\[B_X(c,\delta) \subset f^{-1}\bigl(B_Y\bigl(f(c),\epsilon\bigr)\bigr) .\] y\(B_X(c,\delta)\) es un barrio abierto de\(c\).
Para la otra dirección,\(\epsilon > 0\) déjese dar. Si\(f^{-1}\bigl(B_Y\bigl(f(c),\epsilon\bigr)\bigr)\) contiene un barrio abierto, contiene una pelota, es decir hay alguna\(\delta > 0\) tal que\[B_X(c,\delta) \subset f^{-1}\bigl(B_Y\bigl(f(c),\epsilon\bigr)\bigr) .\] Eso significa precisamente que si\(d_X(x,c) < \delta\) entonces\(d_Y\bigl(f(x),f(c)\bigr) < \epsilon\) y así\(f\) es continuo en\(c\).
[thm:mstopocont] Dejar\((X,d_X)\) y\((Y,d_Y)\) ser espacios métricos. Una función\(f \colon X \to Y\) es continua si y solo si por cada abierto\(U \subset Y\),\(f^{-1}(U)\) está abierto en\(X\).
El comprobante se desprende y se deja como ejercicio.
Ejercicios
Considera\({\mathbb{N}}\subset {\mathbb{R}}\) con la métrica estándar. Dejar\((X,d)\) ser un espacio métrico y\(f \colon X \to {\mathbb{N}}\) una función continua. a) Demostrar que si\(X\) está conectado, entonces\(f\) es constante (el rango de\(f\) es un valor único). b) Encuentra un ejemplo donde\(X\) está desconectado y no\(f\) es constante.
Dejar\(f \colon {\mathbb{R}}^2 \to {\mathbb{R}}\) definirse por\(f(0,0) := 0\), y\(f(x,y) := \frac{xy}{x^2+y^2}\) si\((x,y) \not= (0,0)\). a) Demostrar que para cualquier fijo\(x\), la función que lleva\(y\) a\(f(x,y)\) es continua. De manera similar para cualquier fijo\(y\), la función que lleva\(x\) a\(f(x,y)\) es continua. b) Mostrar que no\(f\) es continua.
Supongamos que\(f \colon X \to Y\) es continuo para espacios métricos\((X,d_X)\) y\((Y,d_Y)\). \(A \subset X\)Dejar. a) Demostrar\(f(\overline{A}) \subset \overline{f(A)}\) eso. b) Demostrar que el subconjunto puede ser apropiado.
Demostrar. Pista: Uso.
[exercise:msconnconn] Supongamos que\(f \colon X \to Y\) es continuo para espacios métricos\((X,d_X)\) y\((Y,d_Y)\). Mostrar que si\(X\) está conectado, entonces\(f(X)\) está conectado.
Demostrar la siguiente versión del teorema del valor intermedio. Dejar\((X,d)\) ser un espacio métrico conectado y\(f \colon X \to {\mathbb{R}}\) una función continua. Supongamos que existen\(x_0,x_1 \in X\) y\(y \in {\mathbb{R}}\) tal que\(f(x_0) < y < f(x_1)\). Entonces demuestre que existe\(z \in X\) tal eso\(f(z) = y\). Pista: ver.
Una función continua\(f \colon X \to Y\) para espacios métricos\((X,d_X)\) y\((Y,d_Y)\) se dice que es adecuada si para cada conjunto compacto\(K \subset Y\), el conjunto\(f^{-1}(K)\) es compacto. Supongamos que un continuo\(f \colon (0,1) \to (0,1)\) es propio y\(\{ x_n \}\) es una secuencia en la\((0,1)\) que converge a\(0\). Demostrar que no\(\{ f(x_n) \}\) tiene subsecuencia que converja en\((0,1)\).
Dejar\((X,d_X)\) y\((Y,d_Y)\) ser espacio métrico y\(f \colon X \to Y\) ser uno a uno y en función continua. Supongamos que\(X\) es compacto. Demostrar que la inversa\(f^{-1} \colon Y \to X\) es continua.
Tome el espacio métrico de las funciones continuas\(C([0,1])\). Dejar\(k \colon [0,1] \times [0,1] \to {\mathbb{R}}\) ser una función continua. Dado\(f \in C([0,1])\) definir\[\varphi_f(x) := \int_0^1 k(x,y) f(y) ~dy .\] a) Mostrar que\(T(f) := \varphi_f\) define una función\(T \colon C([0,1]) \to C([0,1])\). b) Mostrar que\(T\) es continuo.