8.6: Teorema de punto fijo y teorema de Picard nuevamente
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En esta sección probamos un teorema de punto fijo para mapeos de contracción. Como aplicación probamos el teorema de Picard. Hemos demostrado el teorema de Picard sin espacios métricos en. La prueba que presentamos aquí es similar, pero la prueba va mucho más suave al usar conceptos de espacio métrico y el teorema de punto fijo. Para más ejemplos sobre el uso del teorema de Picard ver.
Dejar\((X,d)\) y\((X',d')\) ser espacios métricos. \(F \colon X \to X'\)se dice que es una contracción (o un mapa contractivo) si es un mapa\(k\) -Lipschitz para algunos\(k < 1\), es decir, si existe un\(k < 1\) tal que\[d'\bigl(F(x),F(y)\bigr) \leq k d(x,y) \ \ \ \ \text{for all } x,y \in X.\]
Si\(T \colon X \to X\) es un mapa,\(x \in X\) se llama punto fijo si\(T(x)=x\).
[Principio de mapeo de contracción o teorema de punto fijo] [thm:contr] Dejar\((X,d)\) ser un espacio métrico completo no vacío y\(T \colon X \to X\) es una contracción. Entonces\(T\) tiene un punto fijo.
Tenga en cuenta que las palabras completa y contracción son necesarias. Ver.
Escoge cualquiera\(x_0 \in X\). Definir una secuencia\(\{ x_n \}\) por\(x_{n+1} := T(x_n)\). \[d(x_{n+1},x_n) = d\bigl(T(x_n),T(x_{n-1})\bigr) \leq k d(x_n,x_{n-1}) \leq \cdots \leq k^n d(x_1,x_0) .\]Así que vamos\(m \geq n\)\[\begin{split} d(x_m,x_n) & \leq \sum_{i=n}^{m-1} d(x_{i+1},x_i) \\ & \leq \sum_{i=n}^{m-1} k^i d(x_1,x_0) \\ & = k^n d(x_1,x_0) \sum_{i=0}^{m-n-1} k^i \\ & \leq k^n d(x_1,x_0) \sum_{i=0}^{\infty} k^i = k^n d(x_1,x_0) \frac{1}{1-k} . \end{split}\] En particular la secuencia es Cauchy. Ya que\(X\) está completo dejamos\(x := \lim_{n\to \infty} x_n\) y afirmamos que\(x\) es nuestro punto fijo único.
¿Punto fijo? Tenga en cuenta que\(T\) es continuo porque es una contracción. De ahí\[T(x) = \lim T(x_n) = \lim x_{n+1} = x .\]
¿Único? Dejar\(y\) ser un punto fijo. \[d(x,y) = d\bigl(T(x),T(y)\bigr) = k d(x,y) .\]Como\(k < 1\) esto significa eso\(d(x,y) = 0\) y por lo tanto\(x=y\). Se prueba el teorema.
Obsérvese que la prueba es constructiva. No sólo sabemos que existe un punto fijo único. También sabemos cómo encontrarlo. Usemos el teorema para probar el teorema clásico de Picard sobre la existencia y singularidad de las ecuaciones diferenciales ordinarias.
Considerar la\[\frac{dx}{dt} = F(t,x) .\] ecuación Dados algunos\(t_0, x_0\) estamos buscando una función\(f(t)\) tal que\(f'(t_0) = x_0\) y tal que\[f'(t) = F\bigl(t,f(t)\bigr) .\] Hay algunas cuestiones sutiles. Mira la ecuación\(x' = x^2\),\(x(0)=1\). Entonces\(x(t) = \frac{1}{1-t}\) es una solución. Si bien\(F\) es una función razonablemente “agradable” y en particular existe para todos\(x\) y\(t\), la solución “estalla” en\(t=1\).
Dejar\(I, J \subset {\mathbb{R}}\) ser intervalos compactos y dejar\(I_0\) y\(J_0\) ser sus interiores. Supongamos que\(F \colon I \times J \to {\mathbb{R}}\) es continuo y Lipschitz en la segunda variable, es decir, existe\(L \in {\mathbb{R}}\) tal que\[\left\lvert {F(t,x) - F(t,y)} \right\rvert \leq L \left\lvert {x-y} \right\rvert \ \ \ \text{ for all $x,y \in J$, $t \in I$} .\] Let\((t_0,x_0) \in I_0 \times J_0\). Entonces existe\(h > 0\) y un diferenciable único\(f \colon [t_0 - h, t_0 + h] \to {\mathbb{R}}\), tal que\(f'(t) = F\bigl(t,f(t)\bigr)\) y\(f(t_0) = x_0\).
Sin pérdida de generalidad asumir\(t_0 =0\). Vamos\(M := \sup \{ \left\lvert {F(t,x)} \right\rvert : (t,x) \in I\times J \}\). Como\(I \times J\) es compacto,\(M < \infty\). Escoge\(\alpha > 0\) tal que\([-\alpha,\alpha] \subset I\) y\([x_0-\alpha, x_0 + \alpha] \subset J\). Vamos a\[h := \min \left\{ \alpha, \frac{\alpha}{M+L\alpha} \right\} .\] anotar\([-h,h] \subset I\). Definir el conjunto\[Y := \{ f \in C([-h,h]) : f([-h,h]) \subset [x_0-\alpha,x_0+\alpha] \} .\] Aquí\(C([-h,h])\) está equipado con la métrica estándar\(d(f,g) := \sup \{ \left\lvert {f(x)-g(x)} \right\rvert : x \in [-h,h] \}\). Con esta métrica hemos mostrado en un ejercicio que\(C([-h,h])\) es un espacio métrico completo.
Espectáculo que\(Y \subset {\mathbb{C}}([-h,h])\) está cerrado.
Definir una asignación\(T \colon Y \to C([-h,h])\) por\[T(f)(t) := x_0 + \int_0^t F\bigl(s,f(s)\bigr)~ds .\]
Mostrar que\(T\) realmente se mapea en\(C([-h,h])\).
Dejar\(f \in Y\) y\(\left\lvert {t} \right\rvert \leq h\). Como\(F\) está acotado por\(M\) nosotros tenemos\[\begin{split} \left\lvert {T(f)(t) - x_0} \right\rvert &= \left\lvert {\int_0^t F\bigl(s,f(s)\bigr)~ds} \right\rvert \\ & \leq \left\lvert {t} \right\rvert M \leq hM \leq \alpha . \end{split}\] Por lo tanto,\(T(Y) \subset Y\). Por lo tanto, podemos considerar\(T\) como un mapeo de\(Y\) a\(Y\).
Afirmamos\(T\) es una contracción. Primero, para\(t \in [-h,h]\) y\(f,g \in Y\) tenemos\[\left\lvert {F\bigl(t,f(t)\bigr) - F\bigl(t,g(t)\bigr)} \right\rvert \leq L\left\lvert {f(t)- g(t)} \right\rvert \leq L \, d(f,g) .\] Por lo tanto,\[\begin{split} \left\lvert {T(f)(t) - T(g)(t)} \right\rvert &= \left\lvert {\int_0^t F\bigl(s,f(s)\bigr) - F\bigl(s,g(s)\bigr)~ds} \right\rvert \\ & \leq \left\lvert {t} \right\rvert L \, d(f,g) \\ & \leq h L\, d(f,g) \\ & \leq \frac{L\alpha}{M+L\alpha} \, d(f,g) . \end{split}\] Podemos asumir\(M > 0\) (¿por qué?). Entonces\(\frac{L\alpha}{M+L\alpha} < 1\) y se prueba el reclamo.
Ahora aplicar el teorema de punto fijo () para encontrar un único\(f \in Y\) tal que\(T(f) = f\), es decir,\[f(t) = x_0 + \int_0^t F\bigl(s,f(s)\bigr)~ds .\] Por el teorema fundamental del cálculo,\(f\) es diferenciable y\(f'(t) = F\bigl(t,f(t)\bigr)\).
Hemos demostrado que\(f\) es la función única en\(Y\). ¿Por qué es la única función continua la\(f \colon [-h,h] \to J\) que resuelve\(T(f)=f\)? Pista: Mira la última estimación en la prueba.
Ejercicios
Supongamos\(X = X' = {\mathbb{R}}\) con la métrica estándar. Dejar\(0 < k < 1\),\(b \in {\mathbb{R}}\). a) Mostrar que el mapa\(F(x) = kx + b\) es una contracción. b) Encuentra el punto fijo y muestra directamente que es único.
Supongamos\(X = X' = [0,\nicefrac{1}{4}]\) con el estándar métrico. a) Mostrar que el mapa\(F(x) = x^2\) es una contracción, y encontrar el mejor (más grande)\(k\) que funcione. b) Encuentra el punto fijo y muestra directamente que es único.
[ejercicio:nofixedpoint] a) Encuentra un ejemplo de una contracción del espacio métrico no completo sin punto fijo. b) Encuentra un mapa 1-Lipschitz de un espacio métrico completo sin punto fijo.
Considerar\(x' =x^2\),\(x(0)=1\). Empezar con\(f_0(t) = 1\). Encuentra algunas iteraciones (al menos hasta\(f_2\)). Demostrar que el límite de\(f_n\) es\(\frac{1}{1-t}\).