11.3: Conjuntos de medidas exteriores y nulos

Medida exterior

Antes de caracterizar todas las funciones integrables de Riemann, necesitamos hacer un ligero desvío. Introducimos una forma de medir el tamaño de los conjuntos en\({\mathbb{R}}^n\).

Dejar\(S \subset {\mathbb{R}}^n\) ser un subconjunto. Definir la medida externa de\(S\) como\[m^*(S) := \inf\, \sum_{j=1}^\infty V(R_j) ,\] donde se toma el infimum sobre todas las secuencias\(\{ R_j \}\) de rectángulos abiertos tales que\(S \subset \bigcup_{j=1}^\infty R_j\). En particular\(S\) es de medida cero o un conjunto nulo si\(m^*(S) = 0\).

Solo necesitaremos medir cero conjuntos y así nos enfocamos en estos. Obsérvese que\(S\) es de medida cero si por cada\(\epsilon > 0\) existe una secuencia de rectángulos abiertos\(\{ R_j \}\) tal que\[S \subset \bigcup_{j=1}^\infty R_j \qquad \text{and} \qquad \sum_{j=1}^\infty V(R_j) < \epsilon.\] además, si\(S\) es medida cero y\(S' \subset S\), entonces\(S'\) es de medida cero. De hecho, podemos usar exactamente los mismos rectángulos.

El conjunto\({\mathbb{Q}}^n \subset {\mathbb{R}}^n\) de puntos con coordenadas racionales es un conjunto de medida cero.

Prueba: El conjunto\({\mathbb{Q}}^n\) es contable y por lo tanto vamos a escribirlo como una secuencia\(q_1,q_2,\ldots\). Para cada uno\(q_j\) encontrar un rectángulo abierto\(R_j\) con\(q_j \in R_j\) y\(V(R_j) < \epsilon 2^{-j}\). Entonces\[{\mathbb{Q}}^n \subset \bigcup_{j=1}^\infty R_j \qquad \text{and} \qquad \sum_{j=1}^\infty V(R_j) < \sum_{j=1}^\infty \epsilon 2^{-j} = \epsilon .\]

De hecho, el ejemplo apunta a un resultado más general.

Una unión contable de conjuntos de cero de medida es de medida cero.

Supongamos\[S = \bigcup_{j=1}^\infty S_j\] donde\(S_j\) están todos los conjuntos de cero de medida. Dejemos\(\epsilon > 0\) que se den. Para cada uno\(j\) existe una secuencia de rectángulos abiertos\(\{ R_{j,k} \}_{k=1}^\infty\) tal que\[S_j \subset \bigcup_{k=1}^\infty R_{j,k}\] y\[\sum_{k=1}^\infty V(R_{j,k}) < 2^{-j} \epsilon .\] Entonces\[S \subset \bigcup_{j=1}^\infty \bigcup_{k=1}^\infty R_{j,k} .\] Como siempre\(V(R_{j,k})\) es positivo, la suma sobre todo\(j\) y se\(k\) puede hacer en cualquier orden. En particular, se puede hacer como\[\sum_{j=1}^\infty \sum_{k=1}^\infty V(R_{j,k}) < \sum_{j=1}^\infty 2^{-j} \epsilon = \epsilon . \qedhere\]

El siguiente ejemplo no sólo es interesante, será útil más adelante.

[mv:ejemplo:planenull] Let\(P := \{ x \in {\mathbb{R}}^n : x^k = c \}\) para una constante fija\(k=1,2,\ldots,n\) y una fija\(c \in {\mathbb{R}}\). Entonces\(P\) es de medida cero.

Prueba: Primero arregla\(s\) y probemos que\[P_s := \{ x \in {\mathbb{R}}^n : x^k = c, \left\lvert {x^j} \right\rvert \leq s \text{ for all $j\not=k$} \}\] es de medida cero. Dado cualquier\(\epsilon > 0\) definir el rectángulo abierto\[R := \{ x \in {\mathbb{R}}^n : c-\epsilon < x^k < c+\epsilon, \left\lvert {x^j} \right\rvert < s+1 \text{ for all $j\not=k$} \}\] Es claro que\(P_s \subset R\). Además\[V(R) = 2\epsilon {\bigl(2(s+1)\bigr)}^{n-1} .\] Como\(s\) se fija, podemos hacer\(V(R)\) arbitrariamente pequeños recogiendo lo suficientemente\(\epsilon\) pequeños.

A continuación observamos que\[P = \bigcup_{j=1}^\infty P_j\] y una unión contable de conjuntos de medidas cero es la medida cero.

Si\(a < b\), entonces\(m^*([a,b]) = b-a\).

Prueba: En el caso de\({\mathbb{R}}\), los rectángulos abiertos son intervalos abiertos. Ya que\([a,b] \subset (a-\epsilon,b+\epsilon)\) para todos\(\epsilon > 0\). De ahí,\(m^*([a,b]) \leq b-a\).

Demostremos la otra desigualdad. Supongamos que\(\{ (a_j,b_j) \}\) son intervalos abiertos tales que\[[a,b] \subset \bigcup_{j=1}^\infty (a_j,b_j) .\] deseamos encuadernar\(\sum (b_j-a_j)\) desde abajo. Dado que\([a,b]\) es compacto, entonces solo hay finitamente muchos intervalos abiertos que aún cubren\([a,b]\). Como tirar algunos de los intervalos solo hace que la suma sea más pequeña, solo necesitamos tomar el número finito de intervalos que aún cubren\([a,b]\). Si\((a_i,b_i) \subset (a_j,b_j)\), entonces podemos tirar\((a_i,b_i)\) también. Por lo tanto tenemos\([a,b] \subset \bigcup_{j=1}^k (a_j,b_j)\) para algunos\(k\), y suponemos que los intervalos están ordenados de tal manera que\(a_1 < a_2 < \cdots < a_k\). Tenga en cuenta que ya que no\((a_2,b_2)\) está contenido en eso\((a_1,b_1)\) tenemos\(a_1 < a_2 < b_1 < b_2\). De igual manera\(a_j < a_{j+1} < b_j < b_{j+1}\). Además,\(a_1 < a\) y\(b_k > b\). Por lo tanto,\[m^*([a,b]) \geq \sum_{j=1}^k (b_j-a_j) \geq \sum_{j=1}^{k-1} (a_{j+1}-a_j) + (b_k-a_k) = b_k-a_1 > b-a .\]

[mv:prop:compactnull] Supongamos que\(E \subset {\mathbb{R}}^n\) es un conjunto compacto de medida cero. Entonces para cada\(\epsilon > 0\), existen finitamente muchos rectángulos abiertos de\(R_1,R_2,\ldots,R_k\) tal manera que\[E \subset R_1 \cup R_2 \cup \cdots \cup R_k \qquad \text{and} \qquad \sum_{j=1}^k V(R_j) < \epsilon.\]

Encuentra una secuencia de rectángulos abiertos\(\{ R_j \}\) tal que\[E \subset \bigcup_{j=1}^\infty R_j \qquad \text{and} \qquad \sum_{j=1}^\infty V(R_j) < \epsilon.\] Por compacidad, finitamente muchos de estos rectángulos todavía contienen\(E\). Es decir, hay algunos\(k\) tales que\(E \subset R_1 \cup R_2 \cup \cdots \cup R_k\). De ahí\[\sum_{j=1}^k V(R_j) \leq \sum_{j=1}^\infty V(R_j) < \epsilon. \qedhere\]

La imagen de un conjunto de cero de medida usando un mapa continuo no es necesariamente un conjunto de cero de medida. Sin embargo, si asumimos que el mapeo es continuamente diferenciable, entonces el mapeo no puede “estirar” demasiado el conjunto. La proposición no requiere compacidad, y esto se deja como un ejercicio.

[prop:imagenull] Supongamos que\(U \subset {\mathbb{R}}^n\) es un conjunto abierto y\(f \colon U \to {\mathbb{R}}^n\) es un mapeo continuamente diferenciable. Si\(E \subset U\) es un conjunto de cero de medida compacta, entonces\(f(E)\) es la medida cero.

Como FIXME: distancia al límite, ¿hicimos eso? ¡Deberíamos!

FIXME: tal vez este negocio de rectángulo cerrado/abierto debería abordarse arriba

Dejemos\(\epsilon > 0\) que se den.

FIXME: Deja\(\delta > 0\) que sea la distancia al límite

Vamos a “engordar”\(E\) un poco. Usando compacidad, existen finitamente muchos rectángulos abiertos de\(T_1,T_2,\ldots,T_k\) tal manera que\[E \subset T_1 \cup T_2 \cup \cdots \cup T_k \qquad \text{and} \qquad V(T_1) + V(T_2) + \cdots + V(T_k) < \epsilon .\] Dado que un rectángulo cerrado tiene el mismo volumen que un rectángulo abierto con los mismos lados, así que podríamos tomar\(R_j\) para ser el cierre de\(T_j\), Además un rectángulo cerrado se puede escribir como finitamente muchos pequeños rectángulos. En consecuencia para algunos\(\ell\) existen finitamente muchos rectángulos cerrados\(R_1,R_2,\ldots,R_n\) de lado a lo sumo\(\frac{\sqrt{n}\delta}{2}\). tal que\[E \subset R_1 \cup R_2 \cup \cdots \cup R_\ell \qquad \text{and} \qquad V(R_1) + V(R_2) + \cdots + V(R_\ell) < \epsilon .\] Let\[E' := R_1 \cup R_2 \cup \cdots \cup R_\ell\]

Se deja como ejercicio (ver Ejercicio

Como\(f\) es continuamente diferenciable, la función que lleva\(x\) a\(\left\lVert {Df(x)} \right\rVert\) es continua, por lo tanto\(\left\lVert {Df(x)} \right\rVert\) logra un máximo encendido\(E\). Así existe alguna\(C > 0\) tal que\(\left\lVert {Df(x)} \right\rVert \leq C\) en\(E\).

FIXME

FIXME: puede necesitar el hecho de que la derivada existe Y es continua sobre una E FATTER que sigue siendo comapacta y de tamaño\(\epsilon\).

FIXME: Entonces usa todo lo de lipschitz que tenemos.

por lo que podemos asumir que en\(E\)

FIXME:

FIXME: Cantor set, fat cantor set, se puede hacer en\({\mathbb{R}}^n\)

FIXME: tal vez demasiado

FIXME

Ejercicios

FIXME:

Si\(A \subset B\) entonces\(m^*(A) \leq m^*(B)\).

Mostrar que si\(R \subset {\mathbb{R}}^n\) es un rectángulo cerrado entonces\(m^*(R) = V(R)\).

Probar una versión de sin usar compacidad:
a) Imita la prueba para probar primero que la proposición se mantiene solo si\(E\) es relativamente compacta; un conjunto\(E \subset U\) es relativamente compacto si el cierre de\(E\) en la topología subespacial on\(E\) es compacto, o en otro palabras si existe un conjunto compacto\(K\) con\(K \subset U\) y\(E \subset K\).
Pista: El límite en el tamaño de la derivada aún se mantiene, pero es posible que deba usar muchos rectángulos contables. Tenga cuidado ya que el cierre de ya no\(E\) necesita ser medida cero.
b) Ahora demuéstralo para cualquier conjunto nulo\(E\).
Pista: Primero demuestre que\(\{ x \in U : d(x,y) \geq \nicefrac{1}{M} \text{ for all\) y U\(and } d(0,x) \leq M \}\) es un conjunto compacto para cualquier\(M > 0\).

Dejar\(U \subset {\mathbb{R}}^n\) ser un conjunto abierto y dejar\(f \colon U \to {\mathbb{R}}\) ser una función continuamente diferenciable. \(G := \{ (x,y) \in U \times {\mathbb{R}}: y = f(x) \}\)Déjese ser la gráfica de\(f\). Mostrar que\(f\) es de medida cero.