11.2: Integrales iteradas y teorema de Fubini

Integrales iteradas y teorema de Fubini

La integral de Riemann en varias variables es difícil de calcular a partir de la definición. Para la integral unidimensional de Riemann tenemos el teorema fundamental del cálculo (FIXME) y podemos computar muchas integrales sin tener que apelar a la definición de la integral. Reescribiremos una integral a Riemann en varias variables en varias integrales unidimensionales de Riemann iterando. Sin embargo, si\(f \colon [0,1]^2 \to {\mathbb{R}}\) es una función integrable de Riemann, no queda claro de inmediato si las tres expresiones\[\int_{[0,1]^2} f , \qquad \int_0^1 \int_0^1 f(x,y) \, dx \, dy , \qquad \text{and} \qquad \int_0^1 \int_0^1 f(x,y) \, dy \, dx\] son iguales, o si las dos últimas están incluso bien definidas.

Definir\[f(x,y) := \begin{cases} 1 & \text{ if $x=\nicefrac{1}{2}$ and $y \in {\mathbb{Q}}$,} \\ 0 & \text{ otherwise.} \end{cases}\] Entonces\(f\) es Riemann integrable en\(R := [0,1]^2\) y\(\int_R f = 0\). Además,\(\int_0^1 \int_0^1 f(x,y) \, dx \, dy = 0\). Sin embargo\[\int_0^1 f(\nicefrac{1}{2},y) \, dy\] no existe, así que ni siquiera podemos escribir\(\int_0^1 \int_0^1 f(x,y) \, dy \, dx\).

Prueba: Comencemos con la integrabilidad de\(f\). Simplemente tomamos la partición de\([0,1]^2\) donde está la partición en la\(x\) dirección\(\{ 0, \nicefrac{1}{2}-\epsilon, \nicefrac{1}{2}+\epsilon,1\}\) y en la\(y\) dirección\(\{ 0, 1 \}\). Los subrectángulos de la partición son\[R_1 := [0, \nicefrac{1}{2}-\epsilon] \times [0,1], \qquad R_2 := [\nicefrac{1}{2}-\epsilon, \nicefrac{1}{2}+\epsilon] \times [0,1], \qquad R_3 := [\nicefrac{1}{2}+\epsilon,1] \times [0,1] .\] Tenemos\(m_1 = M_1 = 0\),\(m_2 =0\),\(M_2 = 1\), y\(m_3 = M_3 = 0\). Por lo tanto,\[L(P,f) = m_1 (\nicefrac{1}{2}-\epsilon) \cdot 1 + m_2 (2\epsilon) \cdot 1 + m_3 (\nicefrac{1}{2}-\epsilon) \cdot 1 = 0 ,\] y\[U(P,f) = M_1 (\nicefrac{1}{2}-\epsilon) \cdot 1 + M_2 (2\epsilon) \cdot 1 + M_3 (\nicefrac{1}{2}-\epsilon) \cdot 1 = 2 \epsilon .\] La suma superior e inferior son arbitrariamente cercanas y la suma inferior siempre es cero, por lo que la función es integrable y\(\int_R f = 0\).

Para cualquiera\(y\), la función que lleva\(x\) a\(f(x,y)\) es cero excepto quizás en un solo punto\(x=\nicefrac{1}{2}\). Sabemos que tal función es integrable y\(\int_0^1 f(x,y) \, dx = 0\). Por lo tanto,\(\int_0^1 \int_0^1 f(x,y) \, dx \, dy = 0\).

Sin embargo si\(x=\nicefrac{1}{2}\), la función que lleva\(y\) a\(f(\nicefrac{1}{2},y)\) es la función no integrable que es 1 en los racionales y 0 en los irracionales. Ver.

Vamos a resolver este problema de integrales indefinidas dentro mediante el uso de las integrales superiores e inferiores, que siempre están definidas.

Nos\({\mathbb{R}}^{n+m}\) dividimos en dos partes. Es decir, escribimos las coordenadas en\({\mathbb{R}}^{n+m} = {\mathbb{R}}^n \times {\mathbb{R}}^m\) como\((x,y)\) dónde\(x \in {\mathbb{R}}^n\) y\(y \in {\mathbb{R}}^m\). Para una función\(f(x,y)\) escribimos\[f_x(y) := f(x,y)\] cuando\(x\) se fija y deseamos hablar de la función en términos de\(y\). Escribimos\[f^y(x) := f(x,y)\] cuando\(y\) se fija y deseamos hablar de la función en términos de\(x\).

[MV:Fubiniva] Dejar\(R \times S \subset {\mathbb{R}}^n \times {\mathbb{R}}^m\) ser un rectángulo cerrado y\(f \colon R \times S \to {\mathbb{R}}\) ser integrable. Las funciones\(g \colon R \to {\mathbb{R}}\) y\(h \colon R \to {\mathbb{R}}\) definidas por\[g(x) := \underline{\int_S} f_x \qquad \text{and} \qquad h(x) := \overline{\int_S} f_x\] son integrables sobre\(R\) y\[\int_R g = \int_R h = \int_{R \times S} f .\]

En otras palabras,\[\int_{R \times S} f = \int_R \left( \underline{\int_S} f(x,y) \, dy \right) \, dx = \int_R \left( \overline{\int_S} f(x,y) \, dy \right) \, dx .\] si resulta que\(f_x\) es integrable para todos\(x\), por ejemplo cuando\(f\) es continuo, entonces obtenemos lo más familiar\[\int_{R \times S} f = \int_R \int_S f(x,y) \, dy \, dx .\]

Dejar\(P\) ser una partición de\(R\) y\(P'\) ser una partición de\(S\). \(R_1,R_2,\ldots,R_N\)Dejen ser los subrectángulos de\(P\) y\(R'_1,R'_2,\ldots,R'_K\) ser los subrectángulos de\(P'\). Entonces\(P \times P'\) está la partición cuyos subrectángulos son\(R_j \times R'_k\) para todos\(1 \leq j \leq N\) y para todos\(1 \leq k \leq K\).

Vamos\[m_{j,k} := \inf_{(x,y) \in R_j \times R'_k} f(x,y) .\] Nos damos cuenta de eso\(V(R_j \times R'_k) = V(R_j)V(R'_k)\) y de ahí\[L(P \times P',f) = \sum_{j=1}^N \sum_{k=1}^K m_{j,k} \, V(R_j \times R'_k) = \sum_{j=1}^N \left( \sum_{k=1}^K m_{j,k} \, V(R'_k) \right) V(R_j) .\] si dejamos\[m_k(x) := \inf_{y \in R'_k} f(x,y) = \inf_{y \in R'_k} f_x(y) ,\] entonces por supuesto si\(x \in R_j\) entonces\(m_{j,k} \leq m_k(x)\). Por lo tanto\[\sum_{k=1}^K m_{j,k} \, V(R'_k) \leq \sum_{k=1}^K m_k(x) \, V(R'_k) = L(P',f_x) \leq \underline{\int_S} f_x = g(x) .\] como tenemos la desigualdad para todo lo que\(x \in R_j\)\[\sum_{k=1}^K m_{j,k} \, V(R'_k) \leq \inf_{x \in {\mathbb{R}}_j} g(x) .\] tenemos Obtenemos así\[L(P \times P',f) \leq \sum_{j=1}^N \left( \inf_{x \in {\mathbb{R}}_j} g(x) \right) V(R_j) = L(P,g) .\]

De igual manera\(U(P \times P',f) \geq U(P,h)\), y la prueba de esta desigualdad se deja como ejercicio.

Armando esto tenemos\[L(P \times P',f) \leq L(P,g) \leq U(P,g) \leq U(P,h) \leq U(P \times P',f) .\] Y como\(f\) es integrable, debe ser que\(g\) sea integrable como\[U(P,g) - L(P,g) \leq U(P \times P',f) - L(P \times P',f) ,\] y podamos hacer el lado derecho arbitrariamente pequeño. Además como\(L(P \times P',f) \leq L(P,g) \leq U(P \times P',f)\) debemos tener eso\(\int_R g = \int_{R \times S} f\).

De igual manera tenemos\[L(P \times P',f) \leq L(P,g) \leq L(P,h) \leq U(P,h) \leq U(P \times P',f) ,\] y de ahí\[U(P,h) - L(P,h) \leq U(P \times P',f) - L(P \times P',f) .\] Así que si\(f\) es integrable así es\(h\), y como\(L(P \times P',f) \leq L(P,h) \leq U(P \times P',f)\) debemos tener eso\(\int_R h = \int_{R \times S} f\).

También podemos hacer la integración iterada en orden opuesto. La prueba de esta versión es casi idéntica a la versión A, y la dejamos como ejercicio al lector.

[MV:FubiniVB] Dejar\(R \times S \subset {\mathbb{R}}^n \times {\mathbb{R}}^m\) ser un rectángulo cerrado y\(f \colon R \times S \to {\mathbb{R}}\) ser integrable. Las funciones\(g \colon S \to {\mathbb{R}}\) y\(h \colon S \to {\mathbb{R}}\) definidas por\[g(x) := \underline{\int_S} f^y \qquad \text{and} \qquad h(x) := \overline{\int_S} f^x\] son integrables sobre\(S\) y\[\int_S g = \int_S h = \int_{R \times S} f .\]

Eso es que también tenemos\[\int_{R \times S} f = \int_S \left( \underline{\int_R} f(x,y) \, dx \right) \, dy = \int_S \left( \overline{\int_R} f(x,y) \, dx \right) \, dy .\]

Siguiente supongamos que\(f_x\) y\(f^y\) son integrables por simplicidad. Por ejemplo, supongamos que eso\(f\) es continuo. Luego juntando las dos versiones obtenemos lo familiar\[\int_{R \times S} f = \int_R \int_S f(x,y) \, dy \, dx = \int_S \int_R f(x,y) \, dx \, dy .\]

A menudo el teorema de Fubini se afirma en dos dimensiones para una función continua\(f \colon R \to {\mathbb{R}}\) sobre un rectángulo\(R = [a,b] \times [c,d]\). Entonces el teorema de Fubini afirma que\[\int_R f = \int_a^b \int_c^d f(x,y) \,dy\,dx \int_c^d \int_a^b f(x,y) \,dx\,dy .\] Y el teorema de Fubini es comúnmente pensado como el teorema que nos permite intercambiar el orden de integrales iteradas.

También podemos obtener el teorema de Fubini aplicando repetidamente nos consigue el siguiente corolario: Let\(R := [a^1,b^1] \times [a^2,b^2] \times \cdots \times [a^n,b^n] \subset {\mathbb{R}}^n\) be a closed rectangle and let\(f \colon R \to {\mathbb{R}}\) be continuous. Entonces\[\int_R f = \int_{a^1}^{b^1} \int_{a^2}^{b^2} \cdots \int_{a^n}^{b^n} f(x^1,x^2,\ldots,x^n) \, dx^n \, dx^{n-1} \cdots dx^1 .\]

Claramente también podemos cambiar el orden de integración a cualquier orden que nos plazca. También podemos relajar el requisito de continuidad asegurándonos de que todas las funciones intermedias sean integrables, o mediante el uso de integrales superiores o inferiores.

Ejercicios

Demostrar la aseveración\(U(P \times P',f) \geq U(P,h)\) a partir de la prueba de.

Demostrar.

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