11.4: El conjunto de funciones integrables de Riemann

Oscilación y continuidad

Dejar\(S \subset {\mathbb{R}}^n\) ser un conjunto y\(f \colon S \to {\mathbb{R}}\) una función. En lugar de simplemente decir que\(f\) es o no es continuo en un punto\(x \in S\), necesitamos ser capaces de cuantificar cuán discontinuo\(f\) es en una función está en\(x\). Para cualquier\(\delta > 0\) definir la oscilación de\(f\) sobre la\(\delta\) -bola en la topología de subconjunto que es\(B_S(x,\delta) = B_{{\mathbb{R}}^n}(x,\delta) \cap S\) como Es\[o(f,x,\delta) := {\sup_{y \in B_S(x,\delta)} f(y)} - {\inf_{y \in B_S(x,\delta)} f(y)} = \sup_{y_1,y_2 \in B_S(x,\delta)} \bigl(f(y_1)-f(y_2)\bigr) .\] decir,\(o(f,x,\delta)\) es la longitud del intervalo más pequeño que contiene la imagen\(f\bigl(B_S(x,\delta)\bigr)\). Claramente\(o(f,x,\delta) \geq 0\) y aviso\(o(f,x,\delta) \leq o(f,x,\delta')\) cuando sea\(\delta < \delta'\). Por lo tanto, existe el límite como\(\delta \to 0\) desde la derecha y definimos la oscilación de una función\(f\) en\(x\) as\[o(f,x) := \lim_{\delta \to 0^+} o(f,x,\delta) = \inf_{\delta > 0} o(f,x,\delta) .\]

\(f \colon S \to {\mathbb{R}}\)es continuo en\(x \in S\) si y solo si\(o(f,x) = 0\).

Primero supongamos que\(f\) es continuo en\(x \in S\). Entonces dado alguno\(\epsilon > 0\), existe\(\delta > 0\) tal que para\(y \in B_S(x,\delta)\) nosotros tenemos\(\left\lvert {f(x)-f(y)} \right\rvert < \epsilon\). Por lo tanto si\(y_1,y_2 \in B_S(x,\delta)\) entonces\[f(y_1)-f(y_2) = f(y_1)-f(x)-\bigl(f(y_2)-f(x)\bigr) < \epsilon + \epsilon = 2 \epsilon .\] Nosotros tomamos el supremo sobre\(y_1\) y\(y_2\)\[o(f,x,\delta) = \sup_{y_1,y_2 \in B_S(x,\delta)} \bigl(f(y_1)-f(y_2)\bigr) \leq 2 \epsilon .\] Por lo tanto,\(o(x,f) = 0\).

Por otro lado supongamos que\(o(x,f) = 0\). Dado alguno\(\epsilon > 0\), encuentra un\(\delta > 0\) tal que\(o(f,x,\delta) < \epsilon\). Si\(y \in B_S(x,\delta)\) entonces\[\left\lvert {f(x)-f(y)} \right\rvert \leq \sup_{y_1,y_2 \in B_S(x,\delta)} \bigl(f(y_1)-f(y_2)\bigr) = o(f,x,\delta) < \epsilon. \qedhere\]

[prop:seclosed] Dejar\(S \subset {\mathbb{R}}^n\) ser cerrado,\(f \colon S \to {\mathbb{R}}\), y\(\epsilon > 0\). El conjunto\(\{ x \in S : o(f,x) \geq \epsilon \}\) está cerrado.

Equivalentemente queremos mostrar que\(G = \{ x \in S : o(f,x) < \epsilon \}\) está abierto en la topología del subconjunto. Como\(\inf_{\delta > 0} o(f,x,\delta) < \epsilon\), encuentra un\(\delta > 0\) tal que\[o(f,x,\delta) < \epsilon\] tome cualquiera\(\xi \in B_S(x,\nicefrac{\delta}{2})\). Observe eso\(B_S(\xi,\nicefrac{\delta}{2}) \subset B_S(x,\delta)\). Por lo tanto,\[o(f,\xi,\nicefrac{\delta}{2}) = \sup_{y_1,y_2 \in B_S(\xi,\nicefrac{\delta}{2})} \bigl(f(y_1)-f(y_2)\bigr) \leq \sup_{y_1,y_2 \in B_S(x,\delta)} \bigl(f(y_1)-f(y_2)\bigr) = o(f,x,\delta) < \epsilon .\] Así\(o(f,\xi) < \epsilon\) también. Como esto es cierto para todos\(\xi \in B_S(x,\nicefrac{\delta}{2})\) obtenemos que\(G\) está abierto en la topología del subconjunto y\(S \setminus G\) está cerrado como se reclama.

El conjunto de funciones integrables de Riemann

Hemos visto que las funciones continuas son integrables por Riemann, pero también sabemos que se permiten ciertos tipos de discontinuidades. Resulta que mientras las discontinuidades sucedan en un conjunto de medida cero, la función es integrable y viceversa.

Dejar\(R \subset {\mathbb{R}}^n\) ser un rectángulo cerrado y\(f \colon R \to {\mathbb{R}}\) una función acotada. Entonces Riemann\(f\) es integrable si y solo si el conjunto de discontinuidades de\(f\) es de medida cero (un conjunto nulo).

\(S \subset R\)Sea el conjunto de discontinuidades de\(f\). Eso es\(S = \{ x \in R : o(f,x) > 0 \}\). El truco para esta prueba es aislar el mal conjunto en un pequeño conjunto de subrectángulos de una partición. Solo hay finitamente muchos subrectángulos de una partición, por lo que desearemos usar compacidad. Si\(S\) está cerrado, entonces sería compacto y podríamos cubrirlo por pequeños rectángulos ya que es de medida cero. Desafortunadamente, en general no\(S\) está cerrado por lo que necesitamos trabajar un poco más duro.

Para cada uno\(\epsilon > 0\), define\[S_\epsilon := \{ x \in R : o(f,x) \geq \epsilon \} .\] By\(S_\epsilon\) está cerrado y como es un subconjunto del\(R\) cual está acotado,\(S_\epsilon\) es compacto. Además,\(S_\epsilon \subset S\) y\(S\) es de medida cero. Vía hay finitamente muchos rectángulos abiertos\(S_1,S_2,\ldots,S_k\) que cubren\(S_\epsilon\) y\(\sum V(S_j) < \epsilon\).

El conjunto\(T = R \setminus ( S_1 \cup \cdots \cup S_k )\) es cerrado, acotado y, por lo tanto, compacto. Además para\(x \in T\), tenemos\(o(f,x) < \epsilon\). De ahí que para cada uno\(x \in T\), existe un pequeño rectángulo cerrado\(T_x\) con\(x\) en el interior de\(T_x\), tal que\[\sup_{y\in T_x} f(y) - \inf_{y\in T_x} f(y) < 2\epsilon.\] Los interiores de los rectángulos\(T_x\) cubren\(T\). Como\(T\) es compacto existen finitamente muchos de esos rectángulos\(T_1, T_2, \ldots, T_m\) que cubren\(T\).

Ahora toma todos los rectángulos\(T_1,T_2,\ldots,T_m\)\(S_1,S_2,\ldots,S_k\) y construye una partición a partir de sus puntos finales. Es decir construir una partición\(P\) con subrectángulos\(R_1,R_2,\ldots,R_p\) tales que cada uno\(R_j\) esté contenido en\(T_\ell\) para algunos\(\ell\) o el cierre de\(S_\ell\) para algunos\(\ell\). Supongamos que ordenamos los rectángulos para que\(R_1,R_2,\ldots,R_q\) sean los que están contenidos en algunos\(T_\ell\), y\(R_{q+1},R_{q+2},\ldots,R_{p}\) son el resto. En particular, tenemos\[\sum_{j=1}^q V(R_j) \leq V(R) \qquad \text{and} \qquad \sum_{j=q+1}^p V(R_j) \leq \epsilon .\] Let\(m_j\) y\(M_j\) ser el inf y sup over\(R_j\) como antes. Si\(R_j \subset T_\ell\) para algunos\(\ell\), entonces\((M_j-m_j) < 2 \epsilon\). \(B \in {\mathbb{R}}\)Sea tal que\(\left\lvert {f(x)} \right\rvert \leq B\) para todos\(x \in R\), así\((M_j-m_j) < 2B\) sobre todos los rectángulos. Entonces\[\begin{split} U(P,f)-L(P,f) & = \sum_{j=1}^p (M_j-m_j) V(R_j) \\ & = \left( \sum_{j=1}^q (M_j-m_j) V(R_j) \right) + \left( \sum_{j=q+1}^p (M_j-m_j) V(R_j) \right) \\ & \leq \left( \sum_{j=1}^q 2\epsilon V(R_j) \right) + \left( \sum_{j=q+1}^p 2 B V(R_j) \right) \\ & \leq 2 \epsilon V(R) + 2B \epsilon = \epsilon (2V(R)+2B) . \end{split}\] Claramente, podemos hacer que el lado derecho sea lo más pequeño que queramos y de ahí que\(f\) sea integrable.

Para la otra dirección, supongamos que\(f\) es Riemann integrable sobre\(R\). Que vuelva a\(S\) ser el conjunto de discontinuidades y ahora deje\[S_k := \{ x \in R : o(f,x) \geq \nicefrac{1}{k} \}.\] Fijar a\(k \in {\mathbb{N}}\). Dado un\(\epsilon > 0\), encontrar una partición\(P\) con subrectángulos\(R_1,R_2,\ldots,R_p\) tales que\[U(P,f)-L(P,f) = \sum_{j=1}^p (M_j-m_j) V(R_j) < \epsilon\] Supongamos que\(R_1,R_2,\ldots,R_p\) son orden para que los interiores de se\(R_1,R_2,\ldots,R_{q}\) crucen\(S_k\), mientras que los interiores de\(R_{q+1},R_{q+2},\ldots,R_p\) son disjuntos de\(S_k\). Si\(x \in R_j \cap S_k\) y\(x\) está en el interior de bolas\(R_j\) tan suficientemente pequeñas están completamente dentro\(R_j\), entonces por definición de\(S_k\) tenemos\(M_j-m_j \geq \nicefrac{1}{k}\). Entonces\[\epsilon > \sum_{j=1}^p (M_j-m_j) V(R_j) \geq \sum_{j=1}^q (M_j-m_j) V(R_j) \geq \frac{1}{k} \sum_{j=1}^q V(R_j)\] En otras palabras\(\sum_{j=1}^q V(R_j) < k \epsilon\). Dejar\(G\) ser el conjunto de todos los límites de todos los subrectángulos de\(P\). El conjunto\(G\) es de medida cero (ver). Dejar\(R_j^\circ\) denotar el interior de\(R_j\), entonces\[S_k \subset R_1^\circ \cup R_2^\circ \cup \cdots \cup R_q^\circ \cup G .\] As\(G\) puede ser cubierto por rectángulos abiertos arbitrariamente pequeño volumen,\(S_k\) debe ser de medida cero. As\[S = \bigcup_{k=1}^\infty S_k\] y una unión contable de conjuntos de medidas cero es de medida cero,\(S\) es de medida cero.

Ejercicios

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