11.5: Conjuntos Medibles de Jordania

Conjuntos medibles de volumen y Jordania

Dado un conjunto acotado\(S \subset {\mathbb{R}}^n\) su función característica o función indicadora es\[\chi_S(x) := \begin{cases} 1 & \text{ if $x \in S$} \\ 0 & \text{ if $x \notin S$}. \end{cases}\] Un conjunto acotado\(S\) se dice que es Jordan medible si para algún rectángulo cerrado\(R\) tal que\(S \subset R\), la función\(\chi_S\) está en\({\mathcal{R}}(R)\). Tomar dos rectángulos cerrados\(R\) y\(R'\) con\(S \subset R\) y\(S \subset R'\), después\(R \cap R'\) es un rectángulo cerrado que también contiene\(S\). Por y,\(\chi_S \in {\mathcal{R}}(R \cap R')\) y por lo tanto\(\chi_S \in {\mathcal{R}}(R')\), y además\[\int_R \chi_S = \int_{R'} \chi_S = \int_{R \cap R'} \chi_S.\] Definimos el volumen\(n\) -dimensional del conjunto medible de Jordania acotado\(S\) como\[V(S) := \int_R \chi_S ,\] donde\(R\) se encuentra cualquier rectángulo cerrado que contiene\(S\).

Un conjunto delimitado\(S \subset {\mathbb{R}}^n\) es Jordania medible si y solo si el límite\(\partial S\) es un conjunto de medidas cero.

Supongamos que\(R\) es un rectángulo cerrado tal que\(S\) está contenido en el interior de\(R\). Si\(x \in \partial S\), entonces para cada\(\delta > 0\), los conjuntos\(S \cap B(x,\delta)\) (donde\(\chi_S\) es 1) y los conjuntos\((R \setminus S) \cap B(x,\delta)\) (donde\(\chi_S\) es 0) son ambos no vacíos. Entonces no\(\chi_S\) es continuo en\(x\). Si\(x\) está en el interior\(S\) o en el complemento del cierre\(\overline{S}\), entonces\(\chi_S\) es idénticamente 1 o idénticamente 0 en un vecindario completo de\(x\) y por lo tanto\(\chi_S\) es continuo en\(x\). Por lo tanto, el conjunto de discontinuidades de\(\chi_S\) es precisamente el límite\(\partial S\). A continuación sigue la proposición.

Se deja como ejercicio la prueba de la siguiente proposición.

[prop:jordanmeas] Supongamos\(S\) y\(T\) son conjuntos medibles de Jordania acotados. Entonces

1. El cierre\(\overline{S}\) es Jordania medible.
2. El interior\(S^\circ\) es Jordania medible.
3. \(S \cup T\)es Jordania medible.
4. \(S \cap T\)es Jordania medible.
5. \(S \setminus T\)es Jordania medible.

FIXME

Si Jordania\(S \subset {\mathbb{R}}^n\) es medible entonces\(V(S) = m^*(S)\).

Dado\(\epsilon > 0\), deja\(R\) ser un rectángulo cerrado que contiene\(S\). Dejemos\(P\) ser una partición de\(R\) tal que\[U(P,\chi_S) \leq \int_R \chi_S + \epsilon = V(S) + \epsilon \qquad \text{and} \qquad L(P,\chi_S) \geq \int_R \chi_S - \epsilon = V(S)-\epsilon.\] Let\(R_1,\ldots,R_k\) sean todos los subrectángulos de\(P\) tal que no\(\chi_S\) sea idénticamente cero en cada uno\(R_j\). Es decir, hay algún punto\(x \in R_j\) tal que\(x \in S\). Dejar\(O_j\) ser un rectángulo abierto tal que\(R_j \subset O_j\) y\(V(O_j) < V(R_j) + \nicefrac{\epsilon}{k}\). Observe eso\(S \subset \bigcup_j O_j\). Entonces\[U(P,\chi_S) = \sum_{j=1}^k V(R_k) > \left(\sum_{j=1}^k V(O_k)\right) - \epsilon \geq m^*(S) - \epsilon .\] As\(U(P,\chi_S) \leq V(S) + \epsilon\), entonces\(m^*(S) - \epsilon \leq V(S) + \epsilon\), o en otras palabras\(m^*(S) \leq V(S)\).

Ahora dejemos\(R'_1,\ldots,R'_\ell\) ser todos los subrectángulos de\(P\) tal que\(\chi_S\) sea idénticamente uno en cada uno\(R'_j\). En otras palabras, estos son los subrectángulos contenidos en\(S\). Los interiores de los subrectángulos\(R'^\circ_j\) son disjuntas y\(V(R'^\circ_j) = V(R'_j)\). Es fácil ver por definición que\[m^*\Bigl(\bigcup_{j=1}^\ell R'^\circ_j\Bigr) = \sum_{j=1}^\ell V(R'^\circ_j) .\] De ahí por\[m^*(S) \geq m^*\Bigl(\bigcup_{j=1}^\ell R'_j\Bigr) \geq m^*\Bigl(\bigcup_{j=1}^\ell R'^\circ_j\Bigr) %= %\sum_{j=1}^\ell %m^*(R'^\circ_j) = \sum_{j=1}^\ell V(R'^\circ_j) = \sum_{j=1}^\ell V(R'_j) = L(P,f) \geq V(S) - \epsilon .\]\(m^*(S) \geq V(S)\) lo tanto también.

Integración sobre conjuntos medibles de Jordania

En una variable realmente solo hay un tipo de conjunto razonable para integrar: un intervalo. En varias variables tenemos muchos conjuntos muy simples sobre los que podríamos querer integrar y estos no se pueden describir tan fácilmente.

Seamos\(S \subset {\mathbb{R}}^n\) un conjunto mensurable acotado de Jordania. Se dice que una función acotada\(f \colon S \to {\mathbb{R}}\) es Riemann integrable en\(S\) si para un rectángulo cerrado\(R\) tal que\(S \subset R\), la función\(\widetilde{f} \colon R \to {\mathbb{R}}\) definida por\[\widetilde{f}(x) = \begin{cases} f(x) & \text{ if $x \in S$}, \\ 0 & \text{ otherwise}, \end{cases}\] está en\({\mathcal{R}}(R)\). En este caso escribimos\[\int_S f := \int_R \widetilde{f}.\]

Cuando\(f\) se define en un conjunto más grande y deseamos integrar sobre\(S\), entonces aplicamos la definición a la restricción\(f|_S\). En particular, tenga en cuenta que si\(f \colon R \to {\mathbb{R}}\) para un rectángulo cerrado\(R\), y\(S \subset R\) es un subconjunto medible de Jordania, entonces\[\int_S f = \int_R f \chi_S .\]

FIXME

Imágenes de Jordan mensurable subsets

Demostremos el siguiente FIXME. Solo necesitaremos este sencillo

Supongamos que\(S \subset {\mathbb{R}}^n\) es un conjunto medible Jordan delimitado cerrado, y\(S \subset U\) para un conjunto abierto\(U \subset {\mathbb{R}}^n\). Si\(g \colon U \to {\mathbb{R}}^n\) es un mapeo uno a uno continuamente diferenciable tal que nunca\(J_g\) es cero encendido\(S\). Entonces Jordania\(g(S)\) es medible.

Vamos\(T = g(S)\). Afirmamos que el límite\(\partial T\) está contenido en el conjunto\(g(\partial S)\). Supongamos que se prueba el reclamo. Como\(S\) es medible Jordania, entonces\(\partial S\) es la medida cero. Entonces\(g(\partial S)\) se mide cero por. Como\(\partial T \subset g(\partial S)\), entonces\(T\) es Jordania medible.

Por lo tanto, queda acreditar la pretensión. Primero,\(S\) es cerrado y acotado y por lo tanto compacto. Por, también\(T = g(S)\) es compacto y por lo tanto cerrado. En particular\(\partial T \subset T\). Supongamos\(y \in \partial T\), entonces debe existir\(x \in S\) tal que\(g(x) = y\). El jacobiano de\(g\) es distinto de cero en\(x\).

Ahora usamos el teorema de la función inversa. Encontramos una vecindad\(V \subset U\)\(x\) y un conjunto abierto\(W\) tal que la restricción\(f|_V\) es una función uno-a-uno y sobre de\(V\) a\(W\) con una inversa continuamente diferenciable. En particular\(g(x) = y \in W\). Como\(y \in \partial T\), existe una secuencia\(\{ y_k \}\) en\(W\) con\(\lim y_k = y\) y\(y_k \notin T\). Como\(g|_V\) es invertible y en particular tiene una inversa continua, existe una secuencia\(\{ x_k \}\) en\(V\) tal que\(g(x_k) = y_k\) y\(\lim x_k = x\). Ya que\(y_k \notin T = g(S)\), claramente\(x_k \notin S\). Ya que\(x \in S\), concluimos que\(x \in \partial S\). Se prueba el reclamo,\(\partial T \subset g(\partial S)\).

Ejercicios

Demostrar.

Demostrar que un conjunto convexo acotado es Jordania medible. Pista: inducción en la dimensión.

FIXME