4.1: Secuencias de números reales

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Objetivos de aprendizaje

Explicar las secuencias de los números reales

En el Capítulo 2, desarrollamos la ecuación$1 + x + x^2 + x^3 + \cdots = \frac{1}{1-x}$, y mencionamos que había limitaciones a esta representación de series de poder. Por ejemplo, sustituir$x = 1$ y$x = -1$ en esta expresión lleva a

\[1 + 1 + 1 + \cdots = \frac{1}{0} \; \; \text{and } 1 - 1 + 1 - 1 + \cdots = \frac{1}{2}\]

que son bastante difíciles de aceptar. Por otro lado, si sustituimos$x = \frac{1}{2}$ en la expresión obtenemos$1 + \left ( \frac{1}{2} \right ) + \left ( \frac{1}{2} \right )^2 + \left ( \frac{1}{2} \right )^3 + \cdots = 2$ que parece más apetecible hasta pensarlo. Podemos sumar dos números juntos por el método que todos aprendimos en la primaria. O tres. O cualquier conjunto finito de números, al menos en principio. ¿Pero infinitamente muchos? ¿Qué significa eso? Antes de que podamos sumar infinitamente muchos números juntos debemos encontrar la manera de darle sentido a la idea.

Para ello, examinamos una suma infinita pensándola como una secuencia de sumas parciales finitas. En nuestro ejemplo, tendríamos la siguiente secuencia de sumas parciales.

\[\left ( 1, 1 + \frac{1}{2}, 1 + \frac{1}{2} + \left ( \frac{1}{2} \right )^2, 1 + \frac{1}{2} + \left ( \frac{1}{2} \right )^3, \cdots , \sum_{j=0}^{n}\left ( \frac{1}{2} \right )^j\right )\]

Podemos trazar estas sumas en una recta numérica para ver a qué tienden a medida que$n$ se agranda.

$higo 4.1.1.png$

Figura$\PageIndex{1}$: Gráfica de líneas numéricas.

Dado que cada suma parcial se ubica en el punto medio entre la suma parcial anterior y$2$, es razonable suponer que estas sumas tienden al número$2$. En efecto, probablemente hayas visto una expresión como$\lim_{n \to \infty }\left ( \sum_{j=0}^{n}\left ( \frac{1}{2} \right )^j \right ) = 2$ justificada por un argumento similar. Por supuesto, la dependencia de tales imágenes y palabras está bien si estamos satisfechos con la intuición. No obstante, debemos ser capaces de hacer estas intuiciones rigurosas sin depender de imágenes o palabras nebulosas como “enfoques”.

Sin duda te estás preguntando “¿Qué tiene de malo la palabra 'enfoques'? A mí me parece bastante claro. ” Esto suele ser un punto de dificultad. Pero si pensamos detenidamente en lo que queremos decir con la palabra “acercamiento” vemos que hay una suposición implícita que nos causará algunas dificultades más adelante si no la exponemos.

Para ver esto considera la secuencia$\left ( 1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4},\cdots \right )$. Claramente se “acerca” a cero, ¿verdad? Pero, ¿no es también “acercamiento”$-1$? Lo hace, en el sentido de que cada término se acerca$-1$ más al anterior. Pero también “se acerca”$-2$$-3$, o incluso$-1000$ en el mismo sentido. Ese es el problema con la palabra “enfoques”. Simplemente dice que nos estamos acercando a algo de lo que estábamos en el paso anterior. No nos dice que en realidad nos estamos acercando. Dado que la luna se mueve en una órbita elíptica alrededor de la tierra durante parte de cada mes se está “acercando” a la tierra. La luna se acerca a la tierra pero, por suerte, no se acerca a la tierra. La suposición implícita a la que aludimos antes es la siguiente: Cuando decimos que la secuencia$\left ( \frac{1}{n}\right )_{n=1}^\infty$ “se acerca” a cero nos referimos a que se está acercando no más cerca. Normalmente este tipo de vaguedad en nuestro lenguaje es bastante inocuo. Cuando decimos “enfoques” en una conversación casual, generalmente podemos decir desde el contexto de la conversación si nos referimos a “acercarnos a” o “acercarnos a. ” Pero al hablar matemáticamente necesitamos ser más cuidadosos, más explícitos, en el lenguaje que usamos.

Entonces, ¿cómo podemos cambiar el lenguaje que usamos para que se elimine esta ambigüedad? Empecemos reconociendo, rigurosamente, a lo que nos referimos cuando decimos que una secuencia converge a cero. Por ejemplo, probablemente querrías decir que la secuencia$\left ( 1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4},\cdots \right ) = \left ( \frac{1}{n}\right )_{n=1}^\infty$ converge a cero. ¿Hay alguna manera de dar este sentido sin depender de las imágenes o de la intuición?

Una forma sería decir que podemos hacer lo más cerca de cero$\frac{1}{n}$ como queramos, siempre y cuando hagamos lo suficientemente$n$ grandes. Pero incluso esto necesita hacerse más específico. Por ejemplo, podemos llegar$\frac{1}{n}$ a dentro de una distancia$0.1$ de$0$ siempre que hagamos$n > 10$, podemos llegar$\frac{1}{n}$ a dentro de una distancia$0.01$ de$0$ siempre que hagamos$n > 100$, etc. Después de algunos ejemplos de este tipo es evidente que dada cualquier distancia arbitraria$ε > 0$ , podemos llegar$\frac{1}{n}$ a dentro$ε$ de$0$ siempre que hagamos$n > \frac{1}{\varepsilon }$. Esto lleva a la siguiente definición.

Definición$\PageIndex{1}$

$(s_n) = (s_1,s_2,s_3,...)$Sea una secuencia de números reales. Decimos que$(s_n)$ converge a$0$ y escribe$\lim_{n \to \infty }s_n = 0$ siempre para cualquiera$ε > 0$, hay un número real$N$ tal que si$n > N$, entonces$|s_n| < ε$.

Apuntes sobre la definición$\PageIndex{1}$:

Esta definición es la versión formal de la idea de la que acabamos de hablar; es decir, dada una distancia arbitraria$ε$, debemos poder encontrar un número específico$N$ tal que$s_n$ esté dentro$ε$ de$0$, cuando sea$n > N$. El$N$ es la respuesta a la pregunta de qué tan grande es “lo suficientemente grande” como para poner$s_n$ esto cerca$0$.
A pesar de que no lo necesitábamos en el ejemplo$\left (\frac{1}{n} \right )$, el valor absoluto aparece en la definición porque necesitamos hacer la distancia de$s_n$ a$0$ menor que$ε$. Sin el valor absoluto en la definición, podríamos “probar” declaraciones tan escandalosas como$\lim_{n \to \infty }-n = 0$, que obviamente no queremos.
La declaración también$|sn| < ε$ puede escribirse como$-ε < sn < ε$ o$s_n ∈ (-ε,ε)$. (Consulte el ejercicio$\PageIndex{1}$ a continuación.) Cualquiera de estas formulaciones equivalentes puede ser utilizada para probar la convergencia. Dependiendo de la aplicación, uno de estos puede ser más ventajoso de usar que los otros.
Cada vez que se$N$ puede encontrar un que funcione para un particular$ε$, cualquier número$M > N$ funcionará para eso$ε$ también, ya que si$n > M$ entonces$n > N$.

Ejercicio$\PageIndex{1}$

Dejar$a$ y$b$ ser números reales con$b > 0$. Demostrar$|a| < b$ si y sólo si$-b < a < b$. Observe que esto se puede extender a$|a| ≤ b$ si y solo si$-b ≤ a ≤ b$.

Para ilustrar cómo esta definición hace que las ideas anteriores sean rigurosas, usémosla para demostrarlo$\lim_{n \to \infty }\left ( \frac{1}{n} \right ) = 0$.

prueba:

Dejemos$ε > 0$ que se den. Vamos$N = \frac{1}{\varepsilon }$. Si$n > N$, entonces$n > \frac{1}{\varepsilon }$ y así$\left | \frac{1}{n} \right | = \frac{1}{n} < \varepsilon$. De ahí que por definición,$\lim_{n \to \infty } \frac{1}{n} = 0$.

Observe que esta prueba es rigurosa y no hace referencia a nociones vagas como “hacerse más pequeño” o “acercarse al infinito. ” Tiene tres componentes:

proporcionar el reto de una distancia$ε > 0$
identificar un número real$N$
muestran que esto$N$ funciona para esto dado$ε$.

Tampoco hay explicación sobre de dónde$N$ vino. Si bien es cierto que esta elección de$N$ no sorprende a la luz del “scrapwork” que hicimos antes de la definición, la motivación de cómo lo conseguimos no está en la prueba formal ni se requiere. De hecho, dicho scrapwork normalmente no se incluye en una prueba formal. Por ejemplo, considere lo siguiente.

Ejemplo$\PageIndex{1}$:

Utilizar la definición de convergencia a cero para probar$\lim_{n \to \infty } \frac{\sin }{n} = 0$.

Prueba:

Vamos$ε > 0$. Vamos$N = \frac{1}{\varepsilon }$. Si$n > N$, entonces$n > \frac{1}{\varepsilon }$ y$\frac{1}{n} < \varepsilon$. Por lo tanto$\left | \frac{\sin n}{n} \right | \leq \frac{1}{n} < \varepsilon$. De ahí que por definición,$\lim_{n \to \infty } \frac{\sin }{n} = 0$.

Observe que el$N$ salió de la nada, pero probablemente se pueda ver el proceso de pensamiento que entró en esta elección: necesitábamos usar la desigualdad$|\sin n|≤ 1$. Nuevamente este scrapwork no forma parte de la prueba formal, pero suele ser necesario para encontrar lo que$N$ debería ser. Es posible que puedas hacer el siguiente problema sin hacer ningún scrapwork primero, pero no dudes en hacer scrapwork si lo necesitas.

Ejercicio$\PageIndex{2}$

Utilice la definición de convergencia a cero para probar lo siguiente.

$\lim_{n \to \infty } \frac{1}{n^2} = 0$
$\lim_{n \to \infty } \frac{1}{\sqrt{n}} = 0$

A medida que las secuencias se complican más, hacer scrapwork antes de tiempo será más necesario.

Ejemplo$\PageIndex{2}$:

Utilizar la definición de convergencia a cero para probar$\lim_{n \to \infty } \frac{n+4}{n^2 + 1} = 0$.

Scrapwork:

Dado un$ε > 0$, necesitamos ver qué tan grande hacer$n$ para garantizar eso$\left |\frac{n+4}{n^2 + 1} \right |< \varepsilon$. Primero fíjese en eso$(\frac{n+4}{n^2 + 1} < \frac{n+4}{n^2}$. Además, fíjate que si$n > 4$, entonces$n + 4 < n + n = 2n$. Así que mientras$n > 4$, tenemos$\frac{n+4}{n^2 + 1} < \frac{n+4}{n^2} < \frac{2n}{n^2} < \frac{2}{n}$. Podemos hacer esto menos que$ε$ si hacemos$n > \frac{2}{\varepsilon }$. Esto significa que necesitamos hacer$n > 4$ y$n > \frac{2}{\varepsilon }$, simultáneamente. Estos se pueden hacer si dejamos$N$ ser el máximo de estos dos números. Este tipo de cosas surgen regularmente, por lo que la notación$N = \max \left (4,\frac{2}{\varepsilon } \right )$ se desarrolló para significar el máximo de estos dos números. Observe que si$N = \max \left (4,\frac{2}{\varepsilon } \right )$ entonces$N ≥ 4$ y$N \geq \frac{2}{\varepsilon }$. Ya estamos listos para la prueba formal.

Prueba:

Vamos$ε > 0$. Vamos$N = \max \left (4,\frac{2}{\varepsilon } \right )$. Si$n > N$, entonces$n > 4$ y$n > \frac{2}{\varepsilon }$. Así tenemos$n > 4$ y$\frac{2}{n} < \varepsilon$. Por lo tanto

\[\left |\frac{n+4}{n^2 + 1} \right | = \frac{n+4}{n^2 + 1} < \frac{n+4}{n^2} < \frac{2n}{n^2} = \frac{2}{n} < \varepsilon\]

De ahí que por definición,$\lim_{n \to \infty }\frac{n+4}{n^2 + 1} = 0$.

Nuevamente enfatizamos que el scrapwork NO forma parte de la prueba formal y el lector no lo verá. No obstante, si miras con atención, puedes ver el scrapwork en la prueba formal.

Ejercicio$\PageIndex{3}$

Utilizar la definición de convergencia a cero para probar$\lim_{n \to \infty }\frac{n^2+4n+1}{n^3} = 0$.

Ejercicio$\PageIndex{4}$

Sea b un número real distinto de cero con$|b| < 1$ y let$ε > 0$.

Resolver la desigualdad$|b|^n < ε$ para$n$.
Utilice la parte (a) para probar$\lim_{n \to \infty }b^n = 0$.

Podemos negar esta definición para probar que una secuencia particular no converge a cero.

Ejemplo$\PageIndex{3}$:

Usa la definición para probar que la secuencia$(1 + (-1)^n)_{n=0}^{\infty } = (2,0,2,0,2,\cdots )$ no converge a cero.

Antes de aportar esta prueba, analicemos lo que significa que una secuencia$(s_n)$ no converja a cero. Converger a cero significa que cada vez que$ε > 0$ se da una distancia, debemos ser capaces de responder con un número$N$ tal que$|s_n| < ε$ para cada uno$n > N$. Para que esto no suceda, debemos poder encontrar algunos de$ε > 0$ tal manera que ninguna elección de$N$ va a funcionar. Por supuesto, si encontramos tal$ε$, entonces cualquier más pequeño dejará de tener tal$N$, pero solo necesitamos uno para estropearnos. Si miras el ejemplo el tiempo suficiente, ves que cualquiera$ε$ con$0 < ε ≤ 2$ causará problemas. Para nuestros propósitos, vamos a dejar$ε = 2$.

Prueba:

Let$ε = 2$ y let$N ∈ \mathbb{N}$ ser cualquier entero. Si dejamos$k$ ser cualquier entero no negativo con$k > \frac{N}{2}$, entonces$n = 2k > N$, pero$|1 + (-1)^n| = 2$. Por lo tanto, ninguna elección de$N$ satisfará las condiciones de la definición para ello$ε$, (es decir, aquella$|1 + (-1)^n| < 2$ para todos$n > N$) y así$\lim_{n \to \infty }(1 + (-1)^n) \neq 0$.

Ejercicio$\PageIndex{5}$

Negar la definición de$\lim_{n \to \infty }s_n = 0$ proporcionar una definición formal para$\lim_{n \to \infty }s_n \neq 0$.

Ejercicio$\PageIndex{6}$

Usa la definición para probar$\lim_{n \to \infty }\frac{n}{n+100} \neq 0$.

Ahora que tenemos un control sobre cómo probar rigurosamente que una secuencia converge a cero, generalicemos esto a una definición formal para una secuencia que converge a otra cosa. Básicamente, queremos decir que una secuencia$(s_n)$ converge a un número real$s$, siempre que la diferencia$(s_n - s)$ converja a cero. Esto lleva a la siguiente definición:

Definición$\PageIndex{2}$

Dejar$(s_n) = (s_1,s_2,s_3,...)$ ser una secuencia de números reales y dejar$s$ ser un número real. Decimos que$(s_n)$ converge a$s$ y escribe$\lim_{n \to \infty }s_n = s$ siempre para cualquiera$ε > 0$, hay un número real$N$ tal que si$n > N$, entonces$|s_n - s| < ε$.

Notas sobre DEFINICIÓN$\PageIndex{2}$

Claramente$\lim_{n \to \infty }s_n = s$ si y sólo si$\lim_{n \to \infty }(s_n - s) = 0$.
Nuevamente note que esto dice que podemos hacer$s_n$ lo más cerca$s$ que deseemos (dentro$ε$) haciendo lo suficientemente$n$ grande ($> N$). Como antes, esta definición hace que estas nociones sean muy específicas.
Aviso que se$|s_n - s| < ε$ puede escribir en las siguientes formas equivalentes
1. $|s_n - s| < ε$
2. $-ε < s_n - s < ε $
3. $s - ε < s_n < s + ε $
4. $s_n ∈ (s - ε,s + ε) $

y somos libres de usar cualquiera de estos, lo cual es conveniente en ese momento.

Como ejemplo, usemos esta definición para probar que la secuencia en Problema$\PageIndex{6}$, de hecho, converge a$1$.

Ejemplo$\PageIndex{4}$:

Demostrar$\lim_{n \to \infty }\frac{n}{n+100} = 1$.

Scrapwork:

Dado un$ε > 0$, tenemos que conseguir$\left |\frac{n}{n+100} - 1 \right | < \varepsilon$. Esto nos impulsa a hacer algo de álgebra.

\[\left |\frac{n}{n+100} - 1 \right | = \left |\frac{n-(n+100)}{n+100} - 1 \right | \leq \frac{100}{n}\]

Esto a su vez, parece sugerir que$N = \frac{100}{\varepsilon }$ debería funcionar.

Prueba:

Vamos$ε > 0$. Vamos$N = \frac{100}{\varepsilon }$. Si$n > N$, entonces$n > \frac{100}{\varepsilon }$ y así$\frac{100}{n} < \varepsilon$. De ahí

\[\left |\frac{n}{n+100} - 1 \right | = \left |\frac{n-(n+100)}{n+100} - 1 \right | = \frac{100}{n+100} < \frac{100}{n} < \varepsilon\]

Así, por definición$\lim_{n \to \infty }\frac{n}{n+100} = 1$

Observe nuevamente que el scrapwork no forma parte de la prueba formal y el autor de una prueba no está obligado a decir de dónde$N$ vino la elección de (aunque el proceso de pensamiento generalmente se puede ver en la prueba formal). La prueba formal contiene sólo las tres partes requeridas: proporcionar la impugnación de una arbitraria$ε > 0$, proporcionar una específica$N$, y mostrar que esto$N$ funciona para lo dado$ε$.

Observe también que dada una secuencia específica como$\frac{n}{n+100}$, la definición no indica cuál sería el límite si, de hecho, existe. Una vez que se hace una conjetura educada sobre cuál debe ser el límite, la definición sólo verifica que esta intuición sea correcta.

Esto lleva a la siguiente pregunta: Si se necesita intuición para determinar cuál debe ser un límite de una secuencia, entonces ¿cuál es el propósito de esta definición relativamente poco intuitiva y complicada?

Recuerde que cuando se desarrollaron estas formulaciones rigurosas, las nociones intuitivas de convergencia ya estaban en su lugar y se habían utilizado con gran éxito. Esta definición fue desarrollada para abordar las cuestiones fundamentales. ¿Podrían verificarse nuestras intuiciones de una manera concreta que estuvo por encima del reproche? Este fue el propósito de esta definición no intuitiva. Se iba a utilizar para verificar que nuestra intuición era, de hecho, correcta y hacerlo de una manera muy prescrita. Por ejemplo, si$b > 0$ es un número fijo, entonces probablemente dirías que como se$n$ acerca al infinito,$b^{(\frac{1}{n})}$ se acerca$b^0 = 1$. Después de todo, ya lo probamos$\lim_{n \to \infty }\frac{1}{n} = 0$. Deberíamos ser capaces de respaldar esta intuición con nuestra rigurosa definición.

Ejercicio$\PageIndex{7}$

Vamos$b > 0$. Usa la definición para probar$\lim_{n \to \infty }b^{(\frac{1}{n})} = 1$. [Pista: Probablemente necesitará separar esto en dos casos:$0 < b < 1$ y$b ≥ 1$.]

Ejercicio$\PageIndex{8}$

Proporcionar una definición rigurosa para$\lim_{n \to \infty }s_n \neq s$.
Usa tu definición para mostrar eso para cualquier número real$a$,$\lim_{n \to \infty }((-1)^n) \neq a$. [Pista: Elige$ε = 1$ y usa el hecho que$\left | a - (-1)^n \right | < 1$ equivale$(-1)^n - 1 < a < (-1)^n + 1$ a demostrar que ninguna elección de$N$ funcionará para esto$ε$.]

Objetivos de aprendizaje

Definición\(\PageIndex{1}\)

Apuntes sobre la definición\(\PageIndex{1}\):

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

prueba:

Ejemplo\(\PageIndex{1}\):

Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

Ejemplo\(\PageIndex{2}\):

Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

Ejemplo\(\PageIndex{3}\):

Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

Ejercicio\(\PageIndex{6}\)

Definición\(\PageIndex{2}\)

Notas sobre DEFINICIÓN\(\PageIndex{2}\)

Ejemplo\(\PageIndex{4}\):

Ejercicio\(\PageIndex{7}\)

Ejercicio\(\PageIndex{8}\)