4.2: El límite como herramienta primaria
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- G reglas generales sobre límites
- Convergencia de U nderstanding
Como ya ha visto en las secciones anteriores, la definición formal de la convergencia de una secuencia pretende capturar rigurosamente nuestra comprensión intuitiva de la convergencia. Sin embargo, la definición en sí misma es una herramienta difícil de manejar. Si tan sólo hubiera una manera de ser riguroso sin tener que volver a la definición cada vez. Afortunadamente, hay una manera. Si podemos usar la definición para probar algunas reglas generales sobre los límites entonces podríamos usar estas reglas cada vez que se aplicaran y estar seguros de que todo seguía siendo riguroso. Algunos de estos deberían parecer familiares a partir del cálculo.
Dejar\((c)_{n=1}^{\infty } = (c, c, c, \cdots )\) ser una secuencia constante. \(\lim_{n \to \infty }c = c\)Demuéstralo.
Al probar los teoremas de límite familiares, los siguientes demostrarán ser una herramienta muy útil.
- Triángulo Desigualdad Deje\(a\) and \(b\) be real numbers. Then \[\left | a+b \right | \leq \left | a \right | + \left | b \right |\]
- Desigualdad de triángulo inverso\(a\) and \(b\) be real numbers. Then \[\left | a \right | - \left | b \right | \leq \left | a-b \right |\]
- Demuestra Lema\(\PageIndex{1}\). [Pista: Para la desigualdad del triángulo inverso, considere\(\left | a \right | = \left | a-b+b \right |\).]
- Mostrar\(\left |\left | a \right | - \left | b \right | \right | \leq \left | a-b \right |\). [Pista: Quieres mostrar\(\left | a \right | - \left | b \right | \leq \left | a-b \right |\) y\(-\left (\left | a \right | - \left | b \right | \right ) \leq \left | a-b \right |\).]
Si\(\lim_{n \to \infty } a_n = a\) y\(\lim_{n \to \infty } b_n = b\), entonces\(\lim_{n \to \infty } \left (a_n + b_n \right ) = a + b\).
A menudo declararemos informalmente este teorema como “el límite de una suma es la suma de los límites. ” No obstante, para ser absolutamente precisos, lo que dice es que si ya sabemos que dos secuencias convergen, entonces la secuencia formada sumando los términos correspondientes de esas dos secuencias convergerá y, de hecho, convergerá a la suma de esos límites individuales. Proporcionaremos el scrapwork para la prueba de esto y dejaremos el escrito formal como ejercicio. Obsérvese el uso de la desigualdad triangular en la prueba.
Scrapwork:
Si dejamos\(ε > 0\), entonces queremos\(N\) así que si\(n > N\), entonces\(\left | \left (a_n + b_n \right ) - (a+b) \right | < \varepsilon\). Eso lo sabemos\(\lim_{n \to \infty } a_n = a\) y\(\lim_{n \to \infty } b_n = b\), así podemos hacer\(\left | a_n - a \right |\) y tan pequeños\(\left | a_n - a \right |\) como queramos, siempre y cuando hagamos lo suficientemente\(n\) grandes. Volvamos a lo que queremos, a ver si podemos cerrar la brecha entre lo que sabemos y lo que queremos. Tenemos
\[\left | \left (a_n + b_n \right ) - (a+b) \right | = \left | (a_n - a) + (b_n - b) \right | \leq \left | a_n - a \right | + \left | b_n - b \right |\]
por la desigualdad triangular. Para que todo esto sea menos de\(ε\), tiene sentido hacer que cada parte sea menor que\(\frac{ε}{2}\). Afortunadamente, podemos hacer eso como las definiciones de\(\lim_{n \to \infty } a_n = a\) y\(\lim_{n \to \infty } b_n = b\) permitirnos hacer\(\left | a_n - a \right |\) y\(\left | a_n - a \right |\) arbitrariamente pequeñas. Específicamente, ya que\(\lim_{n \to \infty } a_n = a\), existe\(N_1\) tal que si\(n > N_1\) entonces\(\left | a_n - a \right | < \frac{\varepsilon }{2}\). También desde\(\lim_{n \to \infty } b_n = b\), existe\(N_2\) tal que si\(n > N_2\) entonces\(\left | b_n - b \right | < \frac{\varepsilon }{2}\). Como queremos que ambos ocurran, tiene sentido dejar\(N =\max (N_1,N_2)\). Esta debería ser la\(N\) que buscamos.
Demostrar teorema\(\PageIndex{1}\).
Si\(\lim_{n \to \infty } a_n = a\) y\(\lim_{n \to \infty } b_n = b\), entonces\(\lim_{n \to \infty } (a_nb_n) = ab\).
Scrapwork:
Dado\(ε > 0\), queremos\(N\) para que si\(n > N\), entonces\(\left | a_nb_n - ab \right | < \varepsilon\). Uno de los trucos estándar en el análisis es “descancelar”. En este caso restaremos y sumaremos un término conveniente. Normalmente estos “cancelarían”, razón por la cual decimos que vamos a anular la cancelación para volver a ponerlos. Ya viste un ejemplo de esto al probar la Desigualdad del Triángulo Inverso. En el presente caso, considere
\[\begin{align*} \left | a_nb_n - ab \right | &= \left | a_nb_n - a_nb + a_nb -ab \right |\\ &\leq \left |a_nb_n - a_nb \right | + \left |a_nb -ab \right | \\ &= \left | a_n \right |\left | b_n - b \right | + \left | b \right |\left | a_n - a \right | \end{align*}\]
Podemos hacer que todo esto sea menor que\(ε\), siempre y cuando hagamos cada término en la suma menos que\(\frac{ε}{2}\). Podemos hacer\(\left | b \right |\left | a_n - a \right | < \frac{\varepsilon}{2}\) si hacemos\(\left | a_n - a \right | < \frac{\varepsilon}{2\left | b \right |}\). ¡Pero espera! ¿Y si\(b = 0\)? Podríamos manejar esto como un caso separado o podemos hacer el siguiente “truco hábil”. Observe que podemos agregar una línea más a la cadena de desigualdades anterior:\(\left | a_n \right |\left | b_n - b \right | + \left | b \right |\left | a_n - a \right | < \left | a_n \right |\left | b_n - b \right | + \left (\left | b \right | + 1 \right ) \left | a_n - a \right |\). Ahora podemos hacer\(\left | a_n - a \right | < \frac{\varepsilon}{2\left (\left | b \right | +1 \right )}\) y no preocuparnos por dividir por cero.
Hacer una\(\left | a_n \right |\left | b_n - b \right | < \frac{\varepsilon}{2}\) requiere un poco más de finura. A primera vista, uno estaría tentado a intentar hacer\(\left | b_n - b \right | < \frac{\varepsilon}{2\left | a_n \right |}\). Incluso si ignoramos el hecho de que podríamos estar dividiendo por cero (que podríamos manejar), tenemos un problema mayor. Según la definición de\(\lim_{n \to \infty } b_n = b\), podemos hacer\(\left |b_n - b \right |\) más pequeños que cualquier número positivo fijo dado, siempre y cuando hagamos n lo suficientemente grande (más grande que algunos\(N\) que va con un épsilon dado). Desafortunadamente,\ [(frac {\ varepsilon} {2\ left | a_n\ right |}\) no es fijo ya que tiene la variable\(n\) en él; no hay razón para creer que un solo\(N\) trabajará con todos estos simultáneamente. Para manejar este callejón sin salida, necesitamos lo siguiente
Si\(\lim_{n \to \infty } a_n = a\), entonces existe\(B > 0\) such that \(|a_n|≤ B\) for all \(n\).
Fin de Scrapwork.
Demuestra Lema\(\PageIndex{2}\). [Pista: Sabemos que existe\(N\) tal que si\(n > N\), entonces\(|a_n - a| < 1\). Let\(B = \max \left (|a_1|,|a_2|,..., |a_{\left \lceil N \right \rceil}|,|a|+ 1 \right )\), donde\(\left \lceil N \right \rceil\) representa el entero más pequeño mayor que o igual a\(N\). Además, observe que esto no es una prueba de convergencia por lo que no es seguro pensar en un número grande.]\(N\)
Armados con este atado\(B\), podemos sumar una desigualdad más al scrapwork anterior para conseguir
\[\begin{align*} \left | a_n\cdot b_n - a\cdot b \right | &= \left | a_n\cdot b_n - a_n\cdot b + a_n\cdot b -a\cdot b \right |\\ &\leq \left |a_n\cdot b_n - a_n\cdot b \right | + \left |a_n\cdot b -a\cdot b \right | \\ &= \left | a_n \right |\left | b_n - b \right | + \left | b \right |\left | a_n - a \right | \\ &< B\left | b_n - b \right | + \left (\left | b \right | + 1 \right )\left | a_n - a \right | \end{align*}\]
En este punto, deberíamos poder hacer que la última línea de esto sea menor que\(ε\).
Fin de Scrapwork.
Demostrar teorema\(\PageIndex{2}\).
Si\(\lim_{n \to \infty } a_n = a\) y\(c \in \mathbb{R}\) entonces\(\lim_{n \to \infty } c\cdot a_n = c\cdot a\)
Demostrar el corolario anterior al teorema\(\PageIndex{2}\)
Así como\(\PageIndex{2}\) dice Teorema que el límite de un producto es producto de los límites, podemos probar el análogo para cocientes.
Supongamos\(\lim_{n \to \infty } a_n = a\) y\(\lim_{n \to \infty } b_n = b\). También supongamos\(b \neq 0\) y\(b_n \neq 0, \forall n\). Entonces\(\lim_{n \to \infty }\left ( \frac{a_n}{b_n} \right ) = \frac{a}{b}\).
Scrapwork:
Para probarlo, veamos el caso especial de intentar probar\(\lim_{n \to \infty }\left ( \frac{1}{b_n} \right ) = \frac{1}{b}\). El caso general se desprende de esto y del Teorema\(\PageIndex{2}\). Considerar\(\left | \frac{1}{b_n} - \frac{1}{b} \right | = \frac{\left | b - b_n \right |}{\left | b_n \right |\left | b \right |}\). Nos encontramos ante el mismo dilema que antes; necesitamos quedar\(\left | \frac{1}{b_n} \right |\) acotados arriba. Esto significa que tenemos que quedar\(|b_n|\) acotados lejos de cero (al menos para lo suficientemente grande\(n\)).
Esto se puede hacer de la siguiente manera. Desde\(b \neq 0\) entonces\(\frac{\left | b \right |}{2} > 0\). Así, por la definición de\(\lim_{n \to \infty } b_n = b\), existe\(N_1\) tal que si\(n > N_1\), entonces\(\left | b \right | - \left | b_n \right | \leq \left | b - b_n \right | < \frac{\left | b \right |}{2}\). Así cuando\(n > N_1\), entonces\(\frac{\left | b \right |}{2} < \left | b_n \right |\) y así\(\frac{1}{\left | b_n \right |} < \frac{2}{b}\). Esto dice que para\(n > N_1\),\(\frac{\left | b - b_n \right |}{\left | b_n \right |\left | b \right |} < \frac{2}{\left | b \right |^2}\left | b - b_n \right |\). Deberíamos ser capaces de hacer esto más pequeño que un dado\(ε > 0\), siempre que hagamos lo suficientemente\(n\) grande.
Fin de Scrapwork.
Demostrar teorema\(\PageIndex{3}\)
Estos teoremas nos permiten computar límites de secuencias complicadas y verificar rigurosamente que estos son, de hecho, los límites correctos sin recurrir a la definición de un límite.
Identificar todos los teoremas utilizados implícitamente para mostrar que
\[\lim_{n \to \infty } \frac{3n^3 - 100n + 1 }{5n^3 + 4n^2 - 7} = \lim_{n \to \infty } \frac{n^3\left ( 3 - \frac{100}{n^2} + \frac{1}{n^3} \right )}{n^3\left ( 5 + \frac{4}{n} - \frac{7}{n^3} \right )} = \frac{3}{5}\]
Observe que esto presume que existen todos los límites individuales. Esto se hará evidente a medida que se descompone el límite.
Hay una herramienta más que demostrará ser valiosa.
Let\((r_n)\)\((s_n)\),, y\((t_n)\) ser secuencias de números reales con enteros\(r_n ≤ s_n ≤ t_n,∀\) positivos\(n\). Supongamos\(\lim_{n \to \infty }r_n = s = \lim_{n \to \infty } t_n\). Entonces\((s_n)\) deben converger y\(\lim_{n \to \infty }s_n = s\).
Demostrar teorema\(\PageIndex{4}\). [Pista: Este es probablemente un lugar donde querrías usar\(s - ε < s_n < s + ε\) en lugar de\(|s_n - s| < ε\).]
El Teorema de Squeeze se\(r_n ≤ s_n ≤ t_n\) mantiene incluso si se mantiene solo por lo suficientemente grande\(n\); es decir, para\(n\) mayores que algunos fijos\(N_0\). Esto es cierto porque cuando encuentras una\(N_1\) que funciona en la prueba original, esta se puede modificar eligiendo\(N =\max (N_0,N_1)\). También tenga en cuenta que este teorema realmente dice dos cosas:\((s_n)\) converge y converge a\(s\). Este sutil punto afecta cómo se debe usar correctamente el Teorema de Squeeze.
Demostrar\(\lim_{n \to \infty }\frac{n + 1}{n^2} = 0\).
Prueba:
Observe eso\(0 \leq \frac{n + 1}{n^2} \leq \frac{n + n}{n^2} = \frac{2}{n}\).
Desde\(\lim_{n \to \infty }0 = 0 = \lim_{n \to \infty }\frac{2}{n}\), entonces por el Teorema de Squeeze,\(\lim_{n \to \infty }\frac{n + 1}{n^2} = 0\).
Observe que esta prueba es completamente rigurosa. También observe que esta es la forma correcta de usar el Teorema de Squeeze. Aquí un ejemplo de un uso indebido del Teorema de Squeeze.
Cómo no probar Ejemplo\(\PageIndex{1}\). Observe que
\[0 \leq \frac{n + 1}{n^2} \leq \frac{n + n}{n^2} = \frac{2}{n}\]
por lo
\[0 = \lim_{n \to \infty }0 \leq \lim_{n \to \infty } \frac{n + 1}{n^2} \leq \lim_{n \to \infty } \frac{2}{n} = 0\]
y
\[\lim_{n \to \infty } \frac{n + 1}{n^2} = 0\]
Esto es incorrecto en su forma porque presume que\(\lim_{n \to \infty } \frac{n + 1}{n^2}\) existe, lo que aún no conocemos. Si supiéramos que el límite existía para empezar, entonces esto estaría bien. El Teorema de Squeeze demuestra que el límite sí existe de hecho, pero hay que decirlo así.
Estos teoremas generales nos permitirán explorar rigurosamente la convergencia de series de poder en el próximo capítulo sin tener que apelar directamente a la definición de convergencia. No obstante, debes recordar que utilizamos la definición para probar estos resultados y habrá momentos en los que tendremos que aplicar la definición directamente. No obstante, antes de entrar en eso, examinemos la divergencia un poco más de cerca.