5.1: La Forma Integral del Resto

Objetivos de aprendizaje

• Explicar la forma integral del resto

Ahora que tenemos una definición rigurosa de la convergencia de una secuencia, apliquemos esto a la serie Taylor. Recordemos que la serie Taylor de una función\(f(x)\) expandida sobre el punto\(a\) viene dada por

\[\sum_{n=0}^{\infty }\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n = f(a) + \frac{f'(a)}{1!}(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \cdots\]

Cuando decimos que\(\sum_{n=0}^{\infty }\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n\) para un valor particular de\(x\), lo que queremos decir es que la secuencia de sumas parciales

\[\left (\sum_{j=0}^{n}\frac{f^{(j)}(a)}{j!}(x-a)^j \right )_{n=0}^{\infty } = \left ( f(a), f(a) + \frac{f'(a)}{1!}(x-a), f(a) + \frac{f'(a)}{1!}(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \cdots \right )\]

converge al número\(f(x)\). Obsérvese que el índice en la suma se cambió\(j\)\(n\) para permitir representar el índice de la secuencia de sumas parciales. Por intimidante que esto pueda parecer, hay que tener en cuenta que para un número real fijo\(x\), esto sigue siendo una secuencia de números reales así, ese dicho\(f(x) = \sum_{n=0}^{\infty }\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n\) significa que\(\lim_{n \to \infty }\left (\sum_{j=0}^{n}\frac{f^{(j)}(a)}{j!}(x-a)^j \right ) = f(x)\) y en el capítulo anterior desarrollamos algunas herramientas para examinar este fenómeno. En particular, sabemos que\(\lim_{n \to \infty }\left (\sum_{j=0}^{n}\frac{f^{(j)}(a)}{j!}(x-a)^j \right ) = f(x)\) equivale a

\[\lim_{n \to \infty }\left [f(x) - \left (\sum_{j=0}^{n}\frac{f^{(j)}(a)}{j!}(x-a)^j \right ) \right ] = 0\]

Vimos un ejemplo de esto en el último capítulo con la serie geométrica\(1 + x + x^2 + x^3+\cdots\). Problema Q4 del último capítulo básicamente te hizo demostrar que esta serie converge a\(\frac{1}{1-x}\), para\(|x| < 1\) al mostrar eso\(\lim_{n \to \infty }\left [\frac{1}{1-x} - \left (\sum_{j=0}^{n}x^j \right ) \right ] = 0\).

Por lo general, no existe una forma cerrada fácilmente reconocible para la suma parcial de una serie de Taylor. La serie geométrica es un caso especial. Afortunadamente, para el tema que nos ocupa (convergencia de una serie de Taylor), no necesitamos analizar la serie en sí. Lo que necesitamos mostrar es que la diferencia entre la función y la suma\(n^{th}\) parcial converge a cero. Esta diferencia se llama el resto (de la serie Taylor). (¿Por qué?)

Si bien es cierto que el resto es simplemente

\[f(x) - \left (\sum_{j=0}^{n}\frac{f^{(j)}(a)}{j!}(x-a)^j \right )\]

no es fácil trabajar con este formulario. Afortunadamente, se encuentran disponibles varias versiones alternativas de este resto. Los exploraremos en este capítulo. Recordemos el resultado del Teorema 3.1.2 del Capítulo 3,

\[f(x) = f(a) + \frac{f'(a)}{1!}(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \cdots + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n + \frac{1}{n!}\int_{t=a}^{x}f^{(n+1)}(t)(x-t)^n dt\]

Podemos usar esto reescribiéndolo como

\[f(x) - \left (\sum_{j=0}^{n}\frac{f^{(j)}(a)}{j!}(x-a)^j \right ) = \frac{1}{n!}\int_{t=a}^{x}f^{(n+1)}(t)(x-t)^n dt \label{50}\]

El lado izquierdo de la Ecuación\ ref {50} se llama la forma integral del resto para la serie Taylor de\(f(x)\), y la serie Taylor convergerá\(f(x)\) exactamente cuando la secuencia\(\lim_{n \to \infty }\left (\frac{1}{n!}\int_{t=a}^{x}f^{(n+1)}(t)(x-t)^n dt \right )\) converja a cero. Resulta que esta forma del resto suele ser más fácil de manejar que la original\(f(x) - \left (\sum_{j=0}^{n}\frac{f^{(j)}(a)}{j!}(x-a)^j \right )\) y podemos usarla para obtener algunos resultados generales.

Teorema\(\PageIndex{1}\): Taylor’s Series

Si existe un número real\(B\) tal que\(|f^{(n+1)}(t)|≤ B\) para todos los enteros no negativos\(n\) y para todos\(t\) en un intervalo que contenga\(a\) y\(x\), entonces

\[\lim_{n \to \infty }\left (\frac{1}{n!}\int_{t=a}^{x}f^{(n+1)}(t)(x-t)^n dt \right ) = 0\]

y así

\[f(x) = \sum_{n=0}^{\infty }\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n\]

Para probarlo, podría ayudar probar primero el siguiente Lema.

Lema\(\PageIndex{1}\): Triangle Inequality for Integrals

Si\(f\) y\(|f|\) son funciones integrables y\(a ≤ b\), entonces

\[\left | \int_{t=a}^{b} f(t)dt\right | \leq \int_{t=a}^{b} \left |f(t) \right |dt\]

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

Demostrar Lema\(\PageIndex{1}\).

Pista

\(-|f(t)|≤ f(t) ≤|f(t)|\).

Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

Demostrar teorema\(\PageIndex{1}\).

Pista

Es posible que desee utilizar el Problema Q8 del Capítulo 4. También hay dos casos a considerar:\(a < x\) y\(x < a\) (el caso\(x = a\) es trivial). Encontrarás que esto es cierto en general. Es por ello que a menudo indicaremos que\(t\) es entre\(a\) y\(x\) como en el teorema. En el caso\(x < a\), observe que\[\begin{align*} \left | \int_{t=a}^{x}f^{(n+1)}(t)(x-t)^n dt \right | &= \left | (-1)^{n+1}\int_{t=a}^{x}f^{(n+1)}(t)(t-x)^n dt \right |\\ &= \left | \int_{t=a}^{x}f^{(n+1)}(t)(t-x)^n dt \right | \end{align*}\]

Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

Usa el Teorema\(\PageIndex{1}\) para demostrar que para cualquier número real\(x\)

1. \(\displaystyle \sin x = \sum_{n=0}^{\infty }\frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!}\)
2. \(\displaystyle \cos x = \sum_{n=0}^{\infty }\frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!}\)
3. \(\displaystyle e^x = \sum_{n=0}^{\infty }\frac{x^n}{n!}\)

La parte c del ejercicio\(\PageIndex{3}\) muestra que la serie Taylor de\(e^x\) expandido a cero converge\(e^x\) para cualquier número real\(x\). El teorema se\(\PageIndex{1}\) puede utilizar de manera similar para mostrar que

\[e^x = \sum_{n=0}^{\infty }\frac{e^a(x-a)^n}{n!}\]

para cualquier número real\(a\) y\(x\).

Recordemos que en la sección 2.1 mostramos que si definimos la función\(E(x)\) por la serie power\(\sum_{n=0}^{\infty }\frac{x^n}{n!}\) entonces\(E(x + y) = E(x)E(y)\). Esto, por supuesto, es solo la propiedad de suma familiar de los coeficientes enteros extendidos a cualquier número real. En el capítulo 2 tuvimos que asumir que definir\(E(x)\) como serie era significativo porque no abordamos la convergencia de la serie en ese capítulo. Ahora que sabemos que la serie converge para cualquier número real vemos que la definición

\[f(x) = e^x = \sum_{n=0}^{\infty }\frac{x^n}{n!}\]

de hecho es válido.

Suponiendo que podemos diferenciar esta serie término por término, es sencillo demostrarlo\(f'(x) = f(x)\). Junto con la fórmula de Taylor esto se puede utilizar para demostrarlo de manera\(e^{a+b} = e^ae^b\) más elegante que la prueba bastante engorrosa en la sección 2.1, como muestra el siguiente problema.

Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

Recordemos que si\(f(x) = e^x\) entonces\(f'(x) = e^x\). Use esto junto con la expansión de la serie Taylor de\(e^x\) aproximadamente\(a\) para mostrar que\[e^{a+b} = e^ae^b \nonumber\]

El teorema\(\PageIndex{1}\) es un bonito “primer paso” hacia una teoría rigurosa de la convergencia de la serie Taylor, pero no es aplicable en todos los casos. Por ejemplo, considere la función\(f(x) = \sqrt{1+x}\). Como vimos en el Capítulo 2, Ejercicio 2.2.9, la serie Maclaurin de esta función (la serie binomial para\((1 + x)^{1/2}\)) parece estar convergiendo a la función for\(x ∈ (-1,1)\). Si bien esto es, de hecho, cierto, la proposición anterior no aplica. Si consideramos los derivados de\(f(t) = (1 + t)^{1/2}\), obtenemos:

\[f'(t) = \frac{1}{2}(1+t)^{\frac{1}{2}-1}\]

\[f''(t) = \frac{1}{2}\left ( \frac{1}{2}-1 \right )(1+t)^{\frac{1}{2}-2}\]

\[f'''(t) = \frac{1}{2}\left ( \frac{1}{2}-1 \right )\left ( \frac{1}{2}-2 \right )(1+t)^{\frac{1}{2}-2}\]

\[\vdots\]

\[f^{n+1}(t) = \frac{1}{2}\left ( \frac{1}{2}-1 \right )\left ( \frac{1}{2}-2 \right )\cdots \left ( \frac{1}{2}-n \right )(1+t)^{\frac{1}{2}-(n+1)}\]

Observe que

\[\left |f^{n+1}(0) \right | = \frac{1}{2}\left ( 1 - \frac{1}{2} \right )\left ( 2 - \frac{1}{2} \right )\cdots \left ( n - \frac{1}{2} \right )\]

Dado que esta secuencia crece sin atarse como\(n →∞\), entonces no hay posibilidad para nosotros de encontrar un número\(B\) para actuar como un límite para todos los derviativos de\(f\) en cualquier intervalo que contenga\(0\) y\(x\), y así la hipótesis del Teorema nunca\(\PageIndex{1}\) será satisfecha. Necesitamos un argumento más delicado para demostrar que

\[\sqrt{1+x} = 1 + \frac{1}{2}x + \frac{\frac{1}{2}\left ( \frac{1}{2}-1 \right )}{2!}x^2 + \frac{\frac{1}{2}\left ( \frac{1}{2}-1 \right )\left ( \frac{1}{2}-2 \right )}{3!}x^3 + \cdots\]

es válido para\(x ∈ (-1,1)\). Para lograr esta tarea, tendremos que expresar el resto de la serie Taylor de manera diferente. Afortunadamente, existen al menos dos formas alternas de este tipo.