Saltar al contenido principal

# 4.13.E: Más problemas en la serie de funciones

$$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$$

$$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$$

$$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$$ $$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$

( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) $$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$$

$$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$$ $$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$$

$$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$$ $$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$$

$$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$$

$$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$

$$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$$

$$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$

$$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$$

$$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$$

$$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$$

$$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$$

$$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$$

$$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$$

$$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$$

$$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$ $$\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}$$

$$\newcommand{\vectorA}[1]{\vec{#1}} % arrow$$

$$\newcommand{\vectorAt}[1]{\vec{\text{#1}}} % arrow$$

$$\newcommand{\vectorB}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$$

$$\newcommand{\vectorC}[1]{\textbf{#1}}$$

$$\newcommand{\vectorD}[1]{\overrightarrow{#1}}$$

$$\newcommand{\vectorDt}[1]{\overrightarrow{\text{#1}}}$$

$$\newcommand{\vectE}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash{\mathbf {#1}}}}$$

$$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$$

$$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$$

## Ejercicio$$\PageIndex{1}$$

Verifique la Nota 3 y$$(\mathrm{c})$$ el Ejemplo en detalle.

## Ejercicio$$\PageIndex{2}$$

Mostrar que la llamada serie hiperarmónica de orden$$p$$,
\ [
\ sum\ frac {1} {n^ {p}}\ quad\ left (p\ in E^ {1}\ right),
\]
converge iff$$p>1$$.
[Pista: Si$$p \leq 1$$,
\ [
\ sum_ {n=1} ^ {\ infty}\ frac {1} {n^ {p}}\ geq\ sum_ {n=1} ^ {\ infty}\ frac {1} {n} =+\ infty\ quad (\ text {Ejemplo} (\ mathrm {b})).
\]
Si$$p>1$$,
\ [
\ comenzar {alineado}\ sum_ {n=1} ^ {\ infty}\ frac {1} {n^ {p}} &=1+\ izquierda (\ frac {1} {2^ {p}} +\ frac {1} {3^ {p}}\ derecha) +\ izquierda (\ frac {1} {4^ {p}} +\ cdots+\ frac {1} {7^ {p}}\ derecha) +\ izquierda (\ frac {1} {8^ {p}} +\ cdots+\ frac {1} {15^ {p}}\ derecha) +\ cdots\\ & \ leq 1+\ izquierda (\ frac {1} {2^ {p}} +\ frac {1} {2^ {p}}\ derecha) +\ izquierda (\ frac {1} {4^ {p}} +\ cdots+\ frac {1} {4^ {p}}\ derecha) +\ izquierda (\ frac {1} {8^ {p} +\ cdots+\ frac {1} {8^ {p}}\ derecha) +\ cdots\\ &=\ sum_ {n=0} ^ {\ infty}\ frac {1} {\ izquierda (2^ {p-1}\ derecha) ^ {n}}. \ end {aligned}
\]
una serie geométrica convergente. Explica cada paso.]

## Ejercicio$$\PageIndex{3}$$

$$\Rightarrow 3.$$Demostrar la prueba de comparación refinada:
(i) Si dos series de constantes,$$\sum\left|a_{n}\right|$$ y$$\sum\left|b_{n}\right|,$$ son tales que la secuencia$$\left\{\left|a_{n}\right| /\left|b_{n}\right|\right\}$$ está delimitada en$$E^{1},$$ entonces

\ [\ sum_ {n=1} ^ {\ infty}\ izquierda|b_ {n}\ derecha|<+\ infty\ text {implica}\ sum_ {n=1} ^ {\ infty}\ izquierda|a_ {n}\ derecha|<+\ infty.
\]
(ii) Si
\ [
0<\ lim _ {n\ fila derecha\ infty}\ frac {\ izquierda|a_ {n}\ derecha|} {\ izquierda|b_ {n}\ derecha|} <+\ infty,
\]
luego$$\sum\left|a_{n}\right|$$ converge si y solo si$$\sum\left|b_{n}\right|$$ lo hace.
¿Qué es
\ [
\ lim _ {n\ fila derecha\ infty}\ frac {\ izquierda|a_ {n}\ derecha|} {\ izquierda|b_ {n}\ derecha|} =+\ infty?
\]
[Pista: Si (\ forall n) |a_ {n} |/|b_ {n} |\ leq K\), entonces$$|a_{n}| \leq K |b_{n}|.$$]

## Ejercicio$$\PageIndex{4}$$

Prueba$$\sum a_{n}$$ de convergencia absoluta en cada una de las siguientes. Use Problema 3 o Teorema 2 o las referencias indicadas.
(i)$$a_{n}=\frac{n+1}{\sqrt{n^{4}+1}}\left(\text { take } b_{n}=\frac{1}{n}\right)$$;
(ii)$$a_{n}=\frac{\cos n}{\sqrt{n^{3}-1}}\left(\text { take } b_{n}=\frac{1}{\sqrt{n^{3}}} ; \text { use Problem } 2\right)$$;
(iii)$$a_{n}=\frac{(-1)^{n}}{n^{p}}(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}), p \in E^{1}$$;
(iv)$$a_{n}=n^{5} e^{-n}$$ (use el Problema 18 del Capítulo 3, §15);
(v)$$a_{n}=\frac{2^{n}+n}{3^{n}+1}$$;
(vi)$$a_{n}=\frac{(-1)^{n}}{(\log n)^{q}} ; n \geq 2$$;
(vii)$$a_{n}=\frac{(\log n)^{q}}{n\left(n^{2}+1\right)}, q \in E^{1}$$.
[Pista para (vi) y (vii): Del Problema 14 en §2, muestra que
\ [
\ lim _ {y\ fila derecha+\ infty}\ frac {y} {(\ log y) ^ {q}} =+\ infty
\]
y por lo tanto
\ [
\ lim _ {n\ rightarrow\ infty}\ frac {(\ log n) ^ {q}} {n} =0.
\]
Luego seleccione$$b_{n}.$$

## Ejercicio$$\PageIndex{5}$$

$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{n}}{n !}=+\infty$$Demuéstralo.
[Pista: Mostrar que$$n^{n} / n !$$ no tiende a 0.]

## Ejercicio$$\PageIndex{6}$$

$$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{x^{n}}{n !}=0$$Demuéstralo.
[Pista: Utilice el Ejemplo (d) y el Teorema 4.]

## Ejercicio$$\PageIndex{7}$$

Utilice Teoremas$$3,5,6,$$ y 7 para mostrar que$$\sum\left|f_{n}\right|$$ converge uniformemente sobre$$B,$$ proporcionado$$f_{n}(x)$$ y$$B$$ son como se indica a continuación, con$$0<a<+\infty$$ y$$b \in E^{1}.$$ Para partes$$(\text { ix })-(\text { xii }),$$ encontrar$$M_{n}=\max _{x \in B}\left|f_{n}(x)\right|$$ y usar Teorema$$3 .$$ (Las reglas de cálculo para máximos se asumen conocidas.)
(i)$$\frac{x^{2 n}}{(2 n) !} ;[-a, b]$$.
ii)$$(-1)^{n+1} \frac{x^{2 n-1}}{(2 n-1) !} ;[-a, b]$$.
iii)$$\frac{x^{n}}{n^{n}} ;[-a, a]$$.
iv)$$n^{3} x^{n} ;[-a, a](a<1)$$.
$$\left.\text { (v) } \frac{\sin n x}{n^{2}} ; B=E^{1} \text { (use Problem } 2\right)$$.
vi)$$e^{-n x} \sin n x ;[a,+\infty)$$.
vii)$$\frac{\cos n x}{\sqrt{n^{3}+1}} ; B=E^{1}$$.
(viii)$$a_{n} \cos n x,$$ con$$\sum_{n=1}^{\infty}\left|a_{n}\right|<+\infty ; B=E^{1}$$.
(ix)$$x^{n} e^{-n x} ;[0,+\infty)$$.
(x)$$x^{n} e^{n x} ;\left(-\infty, \frac{1}{2}\right]$$.
(xi)$$(x \cdot \log x)^{n}, f_{n}(0)=0 ;\left[-\frac{3}{2}, \frac{3}{2}\right]$$.
xii)$$\left(\frac{\log x}{x}\right)^{n} ;[1,+\infty)$$.
(xiii)$$\frac{q(q-1) \cdots(q-n+1) x^{n}}{n !}, q \in E^{1} ;\left[-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right]$$.

## Ejercicio$$\PageIndex{8}$$

$$\Rightarrow 8.$$(Suma por partes.) Dejar$$f_{n}, h_{n},$$ y$$g_{n}$$ ser funciones reales o complejas (o let$$f_{n}$$ y$$h_{n}$$ ser escalar y$$g_{n}$$ ser valoradas vectoriales). Vamos$$f_{n}=$$$$h_{n}-h_{n-1}(n \geq 2) .$$ Verifica que$$(\forall m>n>1)$$
\ [
\ begin {alineado}\ sum_ {k=n+1} ^ {m} f_ {k} g_ {k} &=\ sum_ {k=n+1} ^ {m}\ left (h_ {k} -h_ {k-1}\ right) g_ {k}\\ &=h_ {m} g_ {m} -h_ {n} g_ {n} g_ n+1} -\ suma_ {k=n+1} ^ {m-1} h_ {k}\ izquierda (g_ {k+1} -g_ {k}\ derecha). \ end {aligned}
\]
[Pista: Reorganizar la suma.]

## Ejercicio$$\PageIndex{9}$$

$$\Rightarrow 9.$$(Prueba de Abel.) Deje que el$$f_{n}, g_{n},$$ y$$h_{n}$$ sea como en Problema$$8,$$ con$$h_{n}=\sum_{i=1}^{n} f_{i} .$$ Supongamos que
(i) el espacio de rango del$$g_{n}$$ es completo;
(ii)$$\left|g_{n}\right| \rightarrow 0$$ (uniformemente) en un conjunto$$B ;$$ y
(iii) las sumas parciales$$h_{n}=\sum_{i=1}^{n} f_{i}$$ están uniformemente delimitadas en $$B ;$$es decir,
\ [
\ izquierda (\ existe K\ en E^ {1}\ derecha) (\ forall n)\ quad\ izquierda|h_ {n}\ derecha|<K\ text {on} B.
\]
Entonces demuestre que$$\sum f_{k} g_{k}$$ converge uniformemente sobre$$B$$ si$$\sum\left|g_{n+1}-g_{n}\right|$$ lo hace.
$$\text { (This always holds if the } g_{n} \text { are real and } g_{n} \geq g_{n+1} \text { on } B .)$$
[Pista: Vamos$$\varepsilon>0 .$$ Mostrar que
\ [
(\ existe k) (\ forall m>n>k)\ quad\ sum_ {i=n+1} ^ {m}\ izquierda|g_ {i+1} -g_ {i}\ derecha|<\ varepsilon\ texto {y}\ izquierda|g_ {n}\ derecha|<\ varepsilon\ texto {on}.
\]
Luego usa el Problema 8 para mostrar que
\ [
\ izquierda|\ sum_ {i=n+1} ^ {m} f_ {i} g_ {i}\ right|<3 K\ varepsilon.
\]
Aplicar Teorema$$3^{\prime}$$ del §12.]

## Ejercicio$$\PageIndex{9'}$$

$$\Rightarrow \mathbf{9}^{\prime}.$$Demostrar que si$$\sum a_{n}$$ es una serie convergente de constantes$$a_{n} \in E^{1}$$ y si$$\left\{b_{n}\right\}$$ es una secuencia monótona acotada en$$E^{1},$$ entonces$$\sum a_{n} b_{n}$$ converge.
[Pista: Vamos$$b_{n} \rightarrow b$$. Escribe
\ [
a_ {n} b_ {n} =a_ {n}\ izquierda (b_ {n} -b\ derecha) +a_ {n} b
\]
$$\left.\text { and use Problem } 9 \text { with } f_{n}=a_{n} \text { and } g_{n}=b_{n}-b .\right]$$

## Ejercicio$$\PageIndex{10}$$

$$\Rightarrow 10.$$Demostrar la prueba de Leibniz para series alternas: Si$$\left\{b_{n}\right\} \downarrow$$ y$$b_{n} \rightarrow 0$$ en$$E^{1},$$ entonces$$\sum(-1)^{n} b_{n}$$ converge, y la suma$$\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} b_{n}$$ difiere de$$s_{n}=\sum_{k=1}^{n}(-1)^{k} b_{k}$$ por$$b_{n+1}$$ a lo sumo.

## Ejercicio$$\PageIndex{11}$$

$$\Rightarrow 11.$$(Prueba de Dirichlet.) Deja que el$$f_{n}, g_{n},$$ y$$h_{n}$$ sea como en el Problema 8 con$$\sum_{n=0}^{\infty} f_{n}$$ uniformemente convergente en$$B$$ una función$$f,$$ y con
\ [
h_ {n} =-\ sum_ {i=n+1} ^ {\ infty} f_ {i}\ text {on} B.
\]
Supongamos que
(i) el espacio de rango del$$g_{n}$$ es completo; y
(ii) hay$$K \in E^{1}$$ tal que
\ [
\ izquierda|g_ {0}\ derecha|+\ sum_ {n=0} ^ {\ infty}\ izquierda|g_ {n+1} -g_ {n}\ derecha|<k\ text {on} B.
\]
Mostrar que$$\sum f_{n} g_{n}$$ converge uniformemente en$$B$$.
[Esquema de prueba: Tenemos
\ [
\ izquierda|g_ {n}\ derecha|=\ izquierda|g_ {0} +\ suma_ {i=0} ^ {n-1}\ izquierda (g_ {i+1} -g_ {i}\ derecha)\ derecha|\ leq\ izquierda|g_ {0}\ derecha|+\ sum_ {i=0} ^ {n-1}\ izquierda|g_ {i+1} -g_ {i}\ derecha|<k\ quad\ texto {por (ii).}
\]
\ [
\ izquierda|h_ {n}\ derecha|=\ izquierda|\ suma_ {i=0} ^ {n} f_ {i} -f\ derecha|\ fila derecha 0\ texto {(uniformemente) en} B
\]
por suposición. De ahí
\ [
(\ forall\ varepsilon>0) (\ existe k) (\ forall n>k)\ quad\ izquierda|h_ {n}\ derecha|<\ varepsilon\ text {on} B.
\]
Usando Problema$$8,$$ obtener
\ [
(\ forall m>n>k)\ izquierda|\ sum_ {i=n+i} ^ {m} f_ {i} g_ {i}\ derecha|<2 K\ varepsilon.]
\]

## Ejercicio$$\PageIndex{12}$$

Demostrar que si$$0<p \leq 1$$, entonces$$\sum \frac{(-1)^{n}}{n^{p}}$$ converge condicionalmente.
[Pista: Problemas de uso 11 y 2.]

## Ejercicio$$\PageIndex{13}$$

$$\Rightarrow 13.$$Continuando con el Problema 14 en §12, demuestre que si$$\sum\left|f_{n}\right|$$ y$$\sum\left|g_{n}\right|$$ convergen en$$B$$ (puntual o uniformemente), entonces también lo hacen las series
\ [
\ sum\ izquierda|a f_ {n} +b g_ {n}\ derecha|,\ sum\ izquierda|f_ {n}\ pm g_ {n}\ derecha|,\ text {y}\ sum\ izquierda|a f_ {n}\ derecha|.
\]
$$\left[\text { Hint } :\left|a f_{n}+b g_{n}\right| \leq|a|\left|f_{n}\right|+|b|\left|g_{n}\right| . \text { Use Theorem } 2 .\right]$$
Para el resto de la sección, definimos
\ [
x^ {+} =\ max (x, 0)\ text {y} x^ {-} =\ max (-x, 0).
\]

## Ejercicio$$\PageIndex{14}$$

$$\Rightarrow 14.$$Dado$$\left\{a_{n}\right\} \subset E^{*}$$ muestran lo siguiente:
(i)$$\sum a_{n}^{+}+\sum a_{n}^{-}=\sum\left|a_{n}\right|$$.
ii) Si$$\sum a_{n}^{+}<+\infty$$ o$$\sum a_{n}^{-}<+\infty,$$ entonces$$\sum a_{n}=\sum a_{n}^{+}-\sum a_{n}^{-}$$.
(iii) Si$$\sum a_{n}$$ converge condicionalmente, entonces$$\sum a_{n}^{+}=+\infty=\sum a_{n}^{-}$$.
(iv) Si$$\sum\left|a_{n}\right|<+\infty,$$ entonces para alguna$$\left\{b_{n}\right\} \subset E^{1}$$,
\ [
\ suma\ izquierda|a_ {n}\ pm b_ {n}\ derecha|<+\ infty\ texto {iff}\ suma\ izquierda|b_ {n}\ derecha|<
\ infty;
\]
\ [\ text {además,}\ suma a_ {n}\ pm\ suma b_ {n} =\ suma\ izquierda (_ {n}\ pm b _ {n}\ derecha)\ texto {si}\ suma b_ {n}\ texto {existe.}
\]
$$\left.\text { [Hint: Verify that }\left|a_{n}\right|=a_{n}^{+}+a_{n}^{-} \text {and } a_{n}=a_{n}^{+}-a_{n}^{-} . \text {Use the rules of } §4 .\right]$$

## Ejercicio$$\PageIndex{15}$$

$$\Rightarrow 15.$$(Teorema de Abel.) Mostrar que si una serie de potencias

\ [\ sum_ {n=0} ^ {\ infty} a_ {n} (x-p) ^ {n}\ quad\ left (a_ {n}\ in E, x, p\ in E^ {1}\ right)
\]
converge para algunos$$x=x_{0} \neq p,$$ converge uniformemente en$$\left[p, x_{0}\right]$$ (o$$\left.\left[x_{0}, p\right] \text { if } x_{0}<p\right)$$.
[Esquema de prueba: Primero deje$$p=0$$ y$$x_{0}=1 .$$ use el problema 11 con
\ [
f_ {n} =a_ {n}\ texto {y} g_ {n} (x) =x^ {n} =( x-p) ^ {n}.
\]
As$$f_{n}=a_{n} 1^{n}=a_{n}\left(x_{0}-p\right)^{n}$$, la serie$$\sum f_{n}$$ converge por suposición. La convergencia es uniforme ya que las$$f_{n}$$ son constantes. Verifica que si$$x=1$$, entonces
\ [
\ sum_ {k=1} ^ {\ infty}\ izquierda|g_ {k+1} -g_ {k}\ derecha|=0,
\]
y si$$0 \leq x<1,$$ entonces
\ [
\ suma_ {k=0} ^ {\ infty}\ izquierda|g_ {k+1} -g_ {k}\ derecha|=\ sum_ {k=0} ^ {^ infty} x^ {k} |x-1| =( 1-x)\ suma_ {k=0} ^ {\ infty} x^ {k} =1\ quad\ text {(una serie geométrica).}
\]
Además,$$\left|g_{0}(x)\right|=x^{0}=1 .$$ Así por Problema$$11(\text { with } K=2), \sum f_{n} g_{n}$$ converge uniformemente al$$[0,1],$$ probar el teorema para$$p=0$$ y$$x_{0}=1 .$$ El caso general se reduce a este caso por la sustitución ¡$$x-p=\left(x_{0}-p\right) y .$$Verifica!]

## Ejercicio$$\PageIndex{16}$$

Demostrar que si
\ [
0<\ subrayan {\ lim} a_ {n}\ leq\ overline {\ lim} a_ {n} <+\ infty,
\]
entonces el radio de convergencia de$$\sum a_{n}(x-p)^{n}$$ es 1.

## Ejercicio$$\PageIndex{17}$$

Demostrar que una serie condicionalmente convergente$$\sum a_{n}\left(a_{n} \in E^{1}\right)$$ puede ser reordenada para divergir, o para converger a cualquier suma prescrita$$s$$. [Prueba de$$s \in E^{1} :$$ Uso del Problema 14 (iii), toma la primera suma parcial
\ [
a_ {1} ^ {+} +\ cdots+a_ {m} ^ {+} >s.
\]
Luego se unen términos
\ [
-a_ {1} ^ {-}, -a_ {2} ^ {-},\ ldots, -a_ {n} ^ {-}
\]
hasta que la suma parcial sea menor que$$s .$$ Luego agregue términos$$a_{k}^{+}$$ hasta que supere$$s$$. Entonces colindan términos$$-a_{k}^{-}$$ hasta que se vuelve menor que$$s,$$ y así sucesivamente.
Como$$a_{k}^{+} \rightarrow 0$$ y$$a_{k}^{-} \rightarrow 0$$ (¿por qué?) , la serie rearreglada tiende a$$s .$$ (¿Por qué?)
Dar una prueba similar para$$s=\pm \infty$$. También, hacer oscilar la serie, sin suma.]

## Ejercicio$$\PageIndex{18}$$

Demostrar que si una serie de potencia$$\sum a_{n}(x-p)^{n}$$ converge en alguna$$x=x_{0} \neq p$$, converge absolutamente (puntualmente) en$$G_{p}(\delta)$$ if$$\delta \leq\left|x_{0}-p\right|$$.
[Pista: Por teorema$$6, \delta \leq\left|x_{0}-p\right| \leq r\left(r=\text { convergence radius). Fix any } x \in G_{p}(\delta) .\right.$$ Mostrar que la línea$$\overrightarrow{p x},$$ cuando se extiende, contiene un punto$$x_{1}$$ tal que$$|x-p|< \left|x_{1}-p\right|<\delta \leq r .$$ Por Teorema$$6,$$ la serie converge absolutamente en de$$x_{1},$$ ahí en$$x$$ también, por Teorema 7.]

4.13.E: Más problemas en la serie de funciones is shared under a CC BY 1.0 license and was authored, remixed, and/or curated by LibreTexts.