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4.13.E: Más problemas en la serie de funciones

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    113869
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    Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

    Verifique la Nota 3 y\((\mathrm{c})\) el Ejemplo en detalle.

    Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

    Mostrar que la llamada serie hiperarmónica de orden\(p\),
    \ [
    \ sum\ frac {1} {n^ {p}}\ quad\ left (p\ in E^ {1}\ right),
    \]
    converge iff\(p>1\).
    [Pista: Si\(p \leq 1\),
    \ [
    \ sum_ {n=1} ^ {\ infty}\ frac {1} {n^ {p}}\ geq\ sum_ {n=1} ^ {\ infty}\ frac {1} {n} =+\ infty\ quad (\ text {Ejemplo} (\ mathrm {b})).
    \]
    Si\(p>1\),
    \ [
    \ comenzar {alineado}\ sum_ {n=1} ^ {\ infty}\ frac {1} {n^ {p}} &=1+\ izquierda (\ frac {1} {2^ {p}} +\ frac {1} {3^ {p}}\ derecha) +\ izquierda (\ frac {1} {4^ {p}} +\ cdots+\ frac {1} {7^ {p}}\ derecha) +\ izquierda (\ frac {1} {8^ {p}} +\ cdots+\ frac {1} {15^ {p}}\ derecha) +\ cdots\\ & \ leq 1+\ izquierda (\ frac {1} {2^ {p}} +\ frac {1} {2^ {p}}\ derecha) +\ izquierda (\ frac {1} {4^ {p}} +\ cdots+\ frac {1} {4^ {p}}\ derecha) +\ izquierda (\ frac {1} {8^ {p} +\ cdots+\ frac {1} {8^ {p}}\ derecha) +\ cdots\\ &=\ sum_ {n=0} ^ {\ infty}\ frac {1} {\ izquierda (2^ {p-1}\ derecha) ^ {n}}. \ end {aligned}
    \]
    una serie geométrica convergente. Explica cada paso.]

    Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

    \(\Rightarrow 3.\)Demostrar la prueba de comparación refinada:
    (i) Si dos series de constantes,\(\sum\left|a_{n}\right|\) y\(\sum\left|b_{n}\right|,\) son tales que la secuencia\(\left\{\left|a_{n}\right| /\left|b_{n}\right|\right\}\) está delimitada en\(E^{1},\) entonces

    \ [\ sum_ {n=1} ^ {\ infty}\ izquierda|b_ {n}\ derecha|<+\ infty\ text {implica}\ sum_ {n=1} ^ {\ infty}\ izquierda|a_ {n}\ derecha|<+\ infty.
    \]
    (ii) Si
    \ [
    0<\ lim _ {n\ fila derecha\ infty}\ frac {\ izquierda|a_ {n}\ derecha|} {\ izquierda|b_ {n}\ derecha|} <+\ infty,
    \]
    luego\(\sum\left|a_{n}\right|\) converge si y solo si\(\sum\left|b_{n}\right|\) lo hace.
    ¿Qué es
    \ [
    \ lim _ {n\ fila derecha\ infty}\ frac {\ izquierda|a_ {n}\ derecha|} {\ izquierda|b_ {n}\ derecha|} =+\ infty?
    \]
    [Pista: Si (\ forall n) |a_ {n} |/|b_ {n} |\ leq K\), entonces\(|a_{n}| \leq K |b_{n}|.\)]

    Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

    Prueba\(\sum a_{n}\) de convergencia absoluta en cada una de las siguientes. Use Problema 3 o Teorema 2 o las referencias indicadas.
    (i)\(a_{n}=\frac{n+1}{\sqrt{n^{4}+1}}\left(\text { take } b_{n}=\frac{1}{n}\right)\);
    (ii)\(a_{n}=\frac{\cos n}{\sqrt{n^{3}-1}}\left(\text { take } b_{n}=\frac{1}{\sqrt{n^{3}}} ; \text { use Problem } 2\right)\);
    (iii)\(a_{n}=\frac{(-1)^{n}}{n^{p}}(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}), p \in E^{1}\);
    (iv)\(a_{n}=n^{5} e^{-n}\) (use el Problema 18 del Capítulo 3, §15);
    (v)\(a_{n}=\frac{2^{n}+n}{3^{n}+1}\);
    (vi)\(a_{n}=\frac{(-1)^{n}}{(\log n)^{q}} ; n \geq 2\);
    (vii)\(a_{n}=\frac{(\log n)^{q}}{n\left(n^{2}+1\right)}, q \in E^{1}\).
    [Pista para (vi) y (vii): Del Problema 14 en §2, muestra que
    \ [
    \ lim _ {y\ fila derecha+\ infty}\ frac {y} {(\ log y) ^ {q}} =+\ infty
    \]
    y por lo tanto
    \ [
    \ lim _ {n\ rightarrow\ infty}\ frac {(\ log n) ^ {q}} {n} =0.
    \]
    Luego seleccione\(b_{n}.\)

    Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

    \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{n}}{n !}=+\infty\)Demuéstralo.
    [Pista: Mostrar que\(n^{n} / n !\) no tiende a 0.]

    Ejercicio\(\PageIndex{6}\)

    \(\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{x^{n}}{n !}=0\)Demuéstralo.
    [Pista: Utilice el Ejemplo (d) y el Teorema 4.]

    Ejercicio\(\PageIndex{7}\)

    Utilice Teoremas\(3,5,6,\) y 7 para mostrar que\(\sum\left|f_{n}\right|\) converge uniformemente sobre\(B,\) proporcionado\(f_{n}(x)\) y\(B\) son como se indica a continuación, con\(0<a<+\infty\) y\(b \in E^{1}.\) Para partes\((\text { ix })-(\text { xii }),\) encontrar\(M_{n}=\max _{x \in B}\left|f_{n}(x)\right|\) y usar Teorema\(3 .\) (Las reglas de cálculo para máximos se asumen conocidas.)
    (i)\(\frac{x^{2 n}}{(2 n) !} ;[-a, b]\).
    ii)\((-1)^{n+1} \frac{x^{2 n-1}}{(2 n-1) !} ;[-a, b]\).
    iii)\(\frac{x^{n}}{n^{n}} ;[-a, a]\).
    iv)\(n^{3} x^{n} ;[-a, a](a<1)\).
    \(\left.\text { (v) } \frac{\sin n x}{n^{2}} ; B=E^{1} \text { (use Problem } 2\right)\).
    vi)\(e^{-n x} \sin n x ;[a,+\infty)\).
    vii)\(\frac{\cos n x}{\sqrt{n^{3}+1}} ; B=E^{1}\).
    (viii)\(a_{n} \cos n x,\) con\(\sum_{n=1}^{\infty}\left|a_{n}\right|<+\infty ; B=E^{1}\).
    (ix)\(x^{n} e^{-n x} ;[0,+\infty)\).
    (x)\(x^{n} e^{n x} ;\left(-\infty, \frac{1}{2}\right]\).
    (xi)\((x \cdot \log x)^{n}, f_{n}(0)=0 ;\left[-\frac{3}{2}, \frac{3}{2}\right]\).
    xii)\(\left(\frac{\log x}{x}\right)^{n} ;[1,+\infty)\).
    (xiii)\(\frac{q(q-1) \cdots(q-n+1) x^{n}}{n !}, q \in E^{1} ;\left[-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right]\).

    Ejercicio\(\PageIndex{8}\)

    \(\Rightarrow 8.\)(Suma por partes.) Dejar\(f_{n}, h_{n},\) y\(g_{n}\) ser funciones reales o complejas (o let\(f_{n}\) y\(h_{n}\) ser escalar y\(g_{n}\) ser valoradas vectoriales). Vamos\(f_{n}=\)\(h_{n}-h_{n-1}(n \geq 2) .\) Verifica que\((\forall m>n>1)\)
    \ [
    \ begin {alineado}\ sum_ {k=n+1} ^ {m} f_ {k} g_ {k} &=\ sum_ {k=n+1} ^ {m}\ left (h_ {k} -h_ {k-1}\ right) g_ {k}\\ &=h_ {m} g_ {m} -h_ {n} g_ {n} g_ n+1} -\ suma_ {k=n+1} ^ {m-1} h_ {k}\ izquierda (g_ {k+1} -g_ {k}\ derecha). \ end {aligned}
    \]
    [Pista: Reorganizar la suma.]

    Ejercicio\(\PageIndex{9}\)

    \(\Rightarrow 9.\)(Prueba de Abel.) Deje que el\(f_{n}, g_{n},\) y\(h_{n}\) sea como en Problema\(8,\) con\(h_{n}=\sum_{i=1}^{n} f_{i} .\) Supongamos que
    (i) el espacio de rango del\(g_{n}\) es completo;
    (ii)\(\left|g_{n}\right| \rightarrow 0\) (uniformemente) en un conjunto\(B ;\) y
    (iii) las sumas parciales\(h_{n}=\sum_{i=1}^{n} f_{i}\) están uniformemente delimitadas en \(B ;\)es decir,
    \ [
    \ izquierda (\ existe K\ en E^ {1}\ derecha) (\ forall n)\ quad\ izquierda|h_ {n}\ derecha|<K\ text {on} B.
    \]
    Entonces demuestre que\(\sum f_{k} g_{k}\) converge uniformemente sobre\(B\) si\(\sum\left|g_{n+1}-g_{n}\right|\) lo hace.
    \(\text { (This always holds if the } g_{n} \text { are real and } g_{n} \geq g_{n+1} \text { on } B .)\)
    [Pista: Vamos\(\varepsilon>0 .\) Mostrar que
    \ [
    (\ existe k) (\ forall m>n>k)\ quad\ sum_ {i=n+1} ^ {m}\ izquierda|g_ {i+1} -g_ {i}\ derecha|<\ varepsilon\ texto {y}\ izquierda|g_ {n}\ derecha|<\ varepsilon\ texto {on}.
    \]
    Luego usa el Problema 8 para mostrar que
    \ [
    \ izquierda|\ sum_ {i=n+1} ^ {m} f_ {i} g_ {i}\ right|<3 K\ varepsilon.
    \]
    Aplicar Teorema\(3^{\prime}\) del §12.]

    Ejercicio\(\PageIndex{9'}\)

    \(\Rightarrow \mathbf{9}^{\prime}.\)Demostrar que si\(\sum a_{n}\) es una serie convergente de constantes\(a_{n} \in E^{1}\) y si\(\left\{b_{n}\right\}\) es una secuencia monótona acotada en\(E^{1},\) entonces\(\sum a_{n} b_{n}\) converge.
    [Pista: Vamos\(b_{n} \rightarrow b\). Escribe
    \ [
    a_ {n} b_ {n} =a_ {n}\ izquierda (b_ {n} -b\ derecha) +a_ {n} b
    \]
    \(\left.\text { and use Problem } 9 \text { with } f_{n}=a_{n} \text { and } g_{n}=b_{n}-b .\right]\)

    Ejercicio\(\PageIndex{10}\)

    \(\Rightarrow 10.\)Demostrar la prueba de Leibniz para series alternas: Si\(\left\{b_{n}\right\} \downarrow\) y\(b_{n} \rightarrow 0\) en\(E^{1},\) entonces\(\sum(-1)^{n} b_{n}\) converge, y la suma\(\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} b_{n}\) difiere de\(s_{n}=\sum_{k=1}^{n}(-1)^{k} b_{k}\) por\(b_{n+1}\) a lo sumo.

    Ejercicio\(\PageIndex{11}\)

    \(\Rightarrow 11.\)(Prueba de Dirichlet.) Deja que el\(f_{n}, g_{n},\) y\(h_{n}\) sea como en el Problema 8 con\(\sum_{n=0}^{\infty} f_{n}\) uniformemente convergente en\(B\) una función\(f,\) y con
    \ [
    h_ {n} =-\ sum_ {i=n+1} ^ {\ infty} f_ {i}\ text {on} B.
    \]
    Supongamos que
    (i) el espacio de rango del\(g_{n}\) es completo; y
    (ii) hay\(K \in E^{1}\) tal que
    \ [
    \ izquierda|g_ {0}\ derecha|+\ sum_ {n=0} ^ {\ infty}\ izquierda|g_ {n+1} -g_ {n}\ derecha|<k\ text {on} B.
    \]
    Mostrar que\(\sum f_{n} g_{n}\) converge uniformemente en\(B\).
    [Esquema de prueba: Tenemos
    \ [
    \ izquierda|g_ {n}\ derecha|=\ izquierda|g_ {0} +\ suma_ {i=0} ^ {n-1}\ izquierda (g_ {i+1} -g_ {i}\ derecha)\ derecha|\ leq\ izquierda|g_ {0}\ derecha|+\ sum_ {i=0} ^ {n-1}\ izquierda|g_ {i+1} -g_ {i}\ derecha|<k\ quad\ texto {por (ii).}
    \]
    Además,
    \ [
    \ izquierda|h_ {n}\ derecha|=\ izquierda|\ suma_ {i=0} ^ {n} f_ {i} -f\ derecha|\ fila derecha 0\ texto {(uniformemente) en} B
    \]
    por suposición. De ahí
    \ [
    (\ forall\ varepsilon>0) (\ existe k) (\ forall n>k)\ quad\ izquierda|h_ {n}\ derecha|<\ varepsilon\ text {on} B.
    \]
    Usando Problema\(8,\) obtener
    \ [
    (\ forall m>n>k)\ izquierda|\ sum_ {i=n+i} ^ {m} f_ {i} g_ {i}\ derecha|<2 K\ varepsilon.]
    \]

    Ejercicio\(\PageIndex{12}\)

    Demostrar que si\(0<p \leq 1\), entonces\(\sum \frac{(-1)^{n}}{n^{p}}\) converge condicionalmente.
    [Pista: Problemas de uso 11 y 2.]

    Ejercicio\(\PageIndex{13}\)

    \(\Rightarrow 13.\)Continuando con el Problema 14 en §12, demuestre que si\(\sum\left|f_{n}\right|\) y\(\sum\left|g_{n}\right|\) convergen en\(B\) (puntual o uniformemente), entonces también lo hacen las series
    \ [
    \ sum\ izquierda|a f_ {n} +b g_ {n}\ derecha|,\ sum\ izquierda|f_ {n}\ pm g_ {n}\ derecha|,\ text {y}\ sum\ izquierda|a f_ {n}\ derecha|.
    \]
    \(\left[\text { Hint } :\left|a f_{n}+b g_{n}\right| \leq|a|\left|f_{n}\right|+|b|\left|g_{n}\right| . \text { Use Theorem } 2 .\right]\)
    Para el resto de la sección, definimos
    \ [
    x^ {+} =\ max (x, 0)\ text {y} x^ {-} =\ max (-x, 0).
    \]

    Ejercicio\(\PageIndex{14}\)

    \(\Rightarrow 14.\)Dado\(\left\{a_{n}\right\} \subset E^{*}\) muestran lo siguiente:
    (i)\(\sum a_{n}^{+}+\sum a_{n}^{-}=\sum\left|a_{n}\right|\).
    ii) Si\(\sum a_{n}^{+}<+\infty\) o\(\sum a_{n}^{-}<+\infty,\) entonces\(\sum a_{n}=\sum a_{n}^{+}-\sum a_{n}^{-}\).
    (iii) Si\(\sum a_{n}\) converge condicionalmente, entonces\(\sum a_{n}^{+}=+\infty=\sum a_{n}^{-}\).
    (iv) Si\(\sum\left|a_{n}\right|<+\infty,\) entonces para alguna\(\left\{b_{n}\right\} \subset E^{1}\),
    \ [
    \ suma\ izquierda|a_ {n}\ pm b_ {n}\ derecha|<+\ infty\ texto {iff}\ suma\ izquierda|b_ {n}\ derecha|<
    \ infty;
    \]
    \ [\ text {además,}\ suma a_ {n}\ pm\ suma b_ {n} =\ suma\ izquierda (_ {n}\ pm b _ {n}\ derecha)\ texto {si}\ suma b_ {n}\ texto {existe.}
    \]
    \(\left.\text { [Hint: Verify that }\left|a_{n}\right|=a_{n}^{+}+a_{n}^{-} \text {and } a_{n}=a_{n}^{+}-a_{n}^{-} . \text {Use the rules of } §4 .\right]\)

    Ejercicio\(\PageIndex{15}\)

    \(\Rightarrow 15.\)(Teorema de Abel.) Mostrar que si una serie de potencias

    \ [\ sum_ {n=0} ^ {\ infty} a_ {n} (x-p) ^ {n}\ quad\ left (a_ {n}\ in E, x, p\ in E^ {1}\ right)
    \]
    converge para algunos\(x=x_{0} \neq p,\) converge uniformemente en\(\left[p, x_{0}\right]\) (o\(\left.\left[x_{0}, p\right] \text { if } x_{0}<p\right)\).
    [Esquema de prueba: Primero deje\(p=0\) y\(x_{0}=1 .\) use el problema 11 con
    \ [
    f_ {n} =a_ {n}\ texto {y} g_ {n} (x) =x^ {n} =( x-p) ^ {n}.
    \]
    As\(f_{n}=a_{n} 1^{n}=a_{n}\left(x_{0}-p\right)^{n}\), la serie\(\sum f_{n}\) converge por suposición. La convergencia es uniforme ya que las\(f_{n}\) son constantes. Verifica que si\(x=1\), entonces
    \ [
    \ sum_ {k=1} ^ {\ infty}\ izquierda|g_ {k+1} -g_ {k}\ derecha|=0,
    \]
    y si\(0 \leq x<1,\) entonces
    \ [
    \ suma_ {k=0} ^ {\ infty}\ izquierda|g_ {k+1} -g_ {k}\ derecha|=\ sum_ {k=0} ^ {^ infty} x^ {k} |x-1| =( 1-x)\ suma_ {k=0} ^ {\ infty} x^ {k} =1\ quad\ text {(una serie geométrica).}
    \]
    Además,\(\left|g_{0}(x)\right|=x^{0}=1 .\) Así por Problema\(11(\text { with } K=2), \sum f_{n} g_{n}\) converge uniformemente al\([0,1],\) probar el teorema para\(p=0\) y\(x_{0}=1 .\) El caso general se reduce a este caso por la sustitución ¡\(x-p=\left(x_{0}-p\right) y .\)Verifica!]

    Ejercicio\(\PageIndex{16}\)

    Demostrar que si
    \ [
    0<\ subrayan {\ lim} a_ {n}\ leq\ overline {\ lim} a_ {n} <+\ infty,
    \]
    entonces el radio de convergencia de\(\sum a_{n}(x-p)^{n}\) es 1.

    Ejercicio\(\PageIndex{17}\)

    Demostrar que una serie condicionalmente convergente\(\sum a_{n}\left(a_{n} \in E^{1}\right)\) puede ser reordenada para divergir, o para converger a cualquier suma prescrita\(s\). [Prueba de\(s \in E^{1} :\) Uso del Problema 14 (iii), toma la primera suma parcial
    \ [
    a_ {1} ^ {+} +\ cdots+a_ {m} ^ {+} >s.
    \]
    Luego se unen términos
    \ [
    -a_ {1} ^ {-}, -a_ {2} ^ {-},\ ldots, -a_ {n} ^ {-}
    \]
    hasta que la suma parcial sea menor que\(s .\) Luego agregue términos\(a_{k}^{+}\) hasta que supere\(s\). Entonces colindan términos\(-a_{k}^{-}\) hasta que se vuelve menor que\(s,\) y así sucesivamente.
    Como\(a_{k}^{+} \rightarrow 0\) y\(a_{k}^{-} \rightarrow 0\) (¿por qué?) , la serie rearreglada tiende a\(s .\) (¿Por qué?)
    Dar una prueba similar para\(s=\pm \infty\). También, hacer oscilar la serie, sin suma.]

    Ejercicio\(\PageIndex{18}\)

    Demostrar que si una serie de potencia\(\sum a_{n}(x-p)^{n}\) converge en alguna\(x=x_{0} \neq p\), converge absolutamente (puntualmente) en\(G_{p}(\delta)\) if\(\delta \leq\left|x_{0}-p\right|\).
    [Pista: Por teorema\(6, \delta \leq\left|x_{0}-p\right| \leq r\left(r=\text { convergence radius). Fix any } x \in G_{p}(\delta) .\right.\) Mostrar que la línea\(\overrightarrow{p x},\) cuando se extiende, contiene un punto\(x_{1}\) tal que\(|x-p|< \left|x_{1}-p\right|<\delta \leq r .\) Por Teorema\(6,\) la serie converge absolutamente en de\(x_{1},\) ahí en\(x\) también, por Teorema 7.]


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