Saltar al contenido principal
LibreTexts Español

5.7: La variación total (longitud) de una función f - E1 → E

  • Page ID
    114034
  • This page is a draft and is under active development. 

    \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)

    \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)

    \( \newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    ( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\)

    \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\)

    \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\)

    \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\)

    \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    \( \newcommand{\id}{\mathrm{id}}\)

    \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)

    \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\)

    \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\)

    \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\)

    \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\)

    \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\)

    \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\)

    \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    \( \newcommand{\vectorA}[1]{\vec{#1}}      % arrow\)

    \( \newcommand{\vectorAt}[1]{\vec{\text{#1}}}      % arrow\)

    \( \newcommand{\vectorB}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)

    \( \newcommand{\vectorC}[1]{\textbf{#1}} \)

    \( \newcommand{\vectorD}[1]{\overrightarrow{#1}} \)

    \( \newcommand{\vectorDt}[1]{\overrightarrow{\text{#1}}} \)

    \( \newcommand{\vectE}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash{\mathbf {#1}}}} \)

    \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)

    \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)

    La pregunta que consideraremos ahora es cómo definir razonablemente (y precisamente) la noción de la longitud de una curva (Capítulo 4, §10) descrita por una función\(f : E^{1} \rightarrow E\) sobre un intervalo\(I=[a, b],\) i.e\(f[I]\).,.

    Se procede de la siguiente manera (ver Figura 24).

    Screen Shot 2019-06-26 a las 2.01.25 PM.png

    Subdividir\([a, b]\) por un conjunto finito de puntos\(P=\left\{t_{0}, t_{1}, \ldots, t_{m}\right\},\) con

    \[a=t_{0} \leq t_{1} \leq \cdots \leq t_{m}=b;\]

    \(P\)se llama una partición de\([a, b].\) Let

    \[q_{i}=f\left(t_{i}\right), \quad i=1,2, \ldots, m,\]

    y, para\(i=1,2, \ldots, m\),

    \[\begin{aligned} \Delta_{i} f &=q_{i}-q_{i-1} \\ &=f\left(t_{i}\right)-f\left(t_{i-1}\right). \end{aligned}\]

    También definimos

    \[S(f, P)=\sum_{i=1}^{m}\left|\Delta_{i} f\right|=\sum_{i=1}^{m}\left|q_{i}-q_{i-1}\right|.\]

    Geométricamente,\(\left|\Delta_{i} f\right|=\left|q_{i}-q_{i-1}\right|\) es la longitud del segmento de línea\(L\left[q_{i-1}, q_{i}\right]\) en\(E,\) y\(S(f, P)\) es la suma de tales longitudes, es decir, la longitud del polígono

    \[W=\bigcup_{i=1}^{m} L\left[q_{i-1}, q_{i}\right]\]

    inscrito en\(f[I];\) lo denotamos por

    \[\ell W=S(f, P).\]

    Ahora supongamos que agregamos un nuevo punto de partición\(c,\) con

    \[t_{i-1} \leq c \leq t_{i}.\]

    Luego obtenemos una nueva partición

    \[P_{c}=\left\{t_{0}, \ldots, t_{i-1}, c, t_{i}, \ldots, t_{m}\right\},\]

    llamado un refinamiento de\(P,\) y un nuevo polígono inscrito\(W_{c}\) en el que\(L\left[q_{i-1}, q_{i}\right]\) se sustituye por dos segmentos,\(L\left[q_{i-1}, q\right]\) y\(L\left[q, q_{i}\right],\) donde\(q=f(c);\) ver Figura 24. En consecuencia, el término\(\left|\Delta_{i} f\right|=\left|q_{i}-q_{i-1}\right|\) in\(S(f, P)\) se sustituye por

    \[\left|q_{i}-q\right|+\left|q-q_{i-1}\right| \geq\left|q_{i}-q_{i-1}\right| \quad \text { (triangle law)}.\]

    De ello se deduce que

    \[S(f, P) \leq S\left(f, P_{c}\right) ; \text { i.e., } \ell W \leq \ell W_{c}.\]

    De ahí que obtengamos el siguiente resultado.

    Corolario\(\PageIndex{1}\)

    La suma\(S(f, P)=\ell W\) no puede disminuir cuando\(P\) se refina.

    Así, cuando se agregan nuevos puntos de partición,\(S(f, P)\) crece en general; es decir, se acerca a algún valor supremo (finito o no). En términos generales, el polígono inscrito\(W\) se “acerca” a la curva. Es natural definir la longitud deseada de la curva para que sea la\(l u b\) de todas las longitudes,\(\ell W,\) es decir, de todas las sumas\(S(f, P)\) resultantes de las diversas particiones\(P\). A este supremo también se le llama la variación total de\(f\)\([a, b],\) sobredenotado\(V_{f}[a, b].\)

    Definición 1

    Dada cualquier función\(f : E^{1} \rightarrow E,\) y\(I=[a, b] \subset E^{1},\) establecemos

    \[V_{f}[I]=V_{f}[a, b]=\sup _{P} S(f, P)=\sup _{P} \sum_{i=1}^{m}\left|f\left(t_{i}\right)-f\left(t_{i-1}\right)\right| \geq 0 \text { in } E^{*},\]

    donde el supremo está sobre todas las particiones\(P=\left\{t_{0}, \ldots, t_{m}\right\}\) de\(I.\) Llamamos a\(V_{f}[I]\) la variación total, o longitud, de\(f\) en\(I.\) Brevemente, lo denotamos por\(V_{f}\).

    Nota 1. Si\(f\) es continuo en\([a, b],\) el conjunto de imágenes\(A=f[I]\) es un arco (Capítulo 4, §10). Se acostumbra llamar a\(V_{f}[I]\) la longitud de ese arco, denotado\(\ell_{f} A\) o brevemente\(\ell A.\) Note, sin embargo, que bien puede haber otra función\(g,\) continua en un intervalo\(J,\) tal que\(g[J]=A\) pero\(V_{f}[I] \neq V_{g}[J],\) y\(\ell_{f} A \neq \ell_{g} A.\) así es más seguro decir “la longitud de \(A\)como se describe\(f\) en el I.” Sólo para arcos simples (donde\(f\) está uno a uno), es "\(\ell A\)" inequívoco. (Ver Problemas 6-8.)

    En las proposiciones siguientes,\(f\) es una función arbitraria,\(f : E^{1} \rightarrow E\).

    Teorema\(\PageIndex{1}\) (additivity of \(V_{f} )\)

    Si\(a \leq c \leq b,\) entonces

    \[V_{f}[a, b]=V_{f}[a, c]+V_{f}[c, b];\]

    es decir, la longitud del todo es igual a la suma de las longitudes de las partes.

    Prueba

    Tome cualquier partición\(P=\left\{t_{0}, \ldots, t_{m}\right\}\) de\([a, b].\) Si\(c \notin P,\) refina\(P\) a

    \[P_{c}=\left\{t_{0}, \ldots, t_{i}, c, t_{i}, \ldots, t_{m}\right\}.\]

    Entonces por Corolario 1,\(S(f, P) \leq S\left(f, P_{c}\right)\).

    Ahora\(P_{c}\) se divide en particiones de\([a, c]\) y\([c, b],\) es decir,

    \[P^{\prime}=\left\{t_{0}, \ldots, t_{i-1}, c\right\} \text { and } P^{\prime \prime}=\left\{c, t_{i}, \ldots, t_{m}\right\},\]

    para que

    \[S\left(f, P^{\prime}\right)+S\left(f, P^{\prime \prime}\right)=S\left(f, P_{c}\right) . \text { (Verify!)}\]

    Por lo tanto\(\left(\text {as } V_{f} \text { is the } l u b \text { of the corresponding sums}\right)\),

    \[V_{f}[a, c]+V_{f}[c, d] \geq S\left(f, P_{c}\right) \geq S(f, P).\]

    Como\(P\) es una partición arbitraria de también\([a, b],\) tenemos

    \[V_{f}[a, c]+V_{f}[c, b] \geq \sup S(f, P)=V_{f}[a, b].\]

    Por lo tanto, queda por demostrar que, a la inversa,

    \[V_{f}[a, b] \geq V_{f}[a, c]+V_{f}[c, b].\]

    Este último es trivial si\(V_{f}[a, b]=+\infty.\) Así asume\(V_{f}[a, b]=K<+\infty.\) Let\(P^{\prime}\) y\(P^{\prime \prime}\) ser cualquier partición de\([a, c]\) y\([c, b],\) respectivamente. Entonces\(P^{*}=P^{\prime} \cup P^{\prime \prime}\) es una partición de\([a, b],\) y

    \[S\left(f, P^{\prime}\right)+S\left(f, P^{\prime \prime}\right)=S\left(f, P^{*}\right) \leq V_{f}[a, b]=K,\]

    de donde

    \[S\left(f, P^{\prime}\right) \leq K-S\left(f, P^{\prime \prime}\right).\]

    Manteniendo\(P^{\prime \prime}\) fijo y variando\(P^{\prime},\) vemos que\(K-S\left(f, P^{\prime \prime}\right)\) es un límite superior de todas\(S\left(f, P^{\prime}\right)\) partes\([a, c].\) Por lo tanto

    \[V_{f}[a, c] \leq K-S\left(f, P^{\prime \prime}\right)\]

    o

    \[S\left(f, P^{\prime \prime}\right) \leq K-V_{f}[a, c].\]

    Del mismo modo, variando ahora\(P^{\prime \prime},\) obtenemos

    \[V_{f}[c, b] \leq K-V_{f}[a, c]\]

    o

    \[V_{f}[a, c]+V_{f}[c, b] \leq K=V_{f}[a, b],\]

    según sea necesario. Así todo está probado. \(\quad \square\)

    Corolario\(\PageIndex{2}\) (monotonicity of \(V_{f})\)

    Si\(a \leq c \leq d \leq b,\) entonces

    \[V_{f}[c, d] \leq V_{f}[a, b].\]

    Prueba

    Por Teorema 1,

    \[V_{f}[a, b]=V_{f}[a, c]+V_{f}[c, d]+V_{f}[d, b] \geq V_{f}[c, d] . \quad \square\]

    Definición 2

    Si\(V_{f}[a, b]<+\infty,\) decimos que\(f\) es de variación acotada sobre\(I=[a, b],\) y que el conjunto\(f[I]\) es rectificable (por\(f\) on\(I)\).

    Corolario\(\PageIndex{3}\)

    Para cada uno\(t \in[a, b]\),

    \[|f(t)-f(a)| \leq V_{f}[a, b].\]

    De ahí\(f\) que si es de variación acotada sobre\([a, b],\) ella está acotada en\([a, b]\).

    Prueba

    Si\(P=\{a, t, b\},\) así lo\(t \in[a, b],\) deja

    \[|f(t)-f(a)| \leq|f(t)-f(a)|+|f(b)-f(t)|=S(f, P) \leq V_{f}[a, b],\]

    demostrando nuestra primera afirmación. De ahí

    \[(\forall t \in[a, b]) \quad|f(t)| \leq|f(t)-f(a)|+|f(a)| \leq V_{f}[a, b]+|f(a)|.\]

    Esto prueba la segunda aseveración. \(\quad \square\)

    Nota 2. Ni la brevedad, ni la continuidad, ni la diferenciabilidad de\(f\) on\([a, b]\) implica\(V_{f}[a, b]<+\infty,\) sino la limitacion de\(f^{\prime}\) hace. (Ver Problemas 1 y 3.)

    Corolario\(\PageIndex{4}\)

    Una función\(f\) es finita y constante en\([a, b]\) iff\(V_{f}[a, b]=0\).

    La prueba se deja en manos del lector. (Utilice el Corolario 3 y las definiciones.

    Teorema\(\PageIndex{2}\)

    Dejar\(f, g, h\) ser real o complejo (o dejar\(f\) y\(g\) ser vector valorado y\(h\) escalar). Entonces en cualquier intervalo\(I=[a, b],\) tenemos

    i)\(V_{|f|} \leq V_{f}\);

    ii)\(V_{f \pm g} \leq V_{f}+V_{g} ;\) y

    (iii)\(V_{h f} \leq s V_{f}+r V_{h},\) con\(r=\sup _{t \in I}|f(t)|\) y\(s=\sup _{t \in I}|h(t)|\).

    De ahí que si\(f, g,\) y\(h\) son de variación acotada sobre\(I,\) así son\(f \pm g, h f,\) y\(|f|\).

    Prueba

    Primero probamos (iii).

    Toma cualquier partición\(P=\left\{t_{0}, \ldots, t_{m}\right\}\) de\(I.\) Then

    \ [\ comenzar {alineado}\ izquierda|\ Delta_ {i} h f\ derecha| &=\ izquierda|h\ izquierda (t_ {i}\ derecha) f\ izquierda (t_ {i}\ derecha) -h\ izquierda (t_ {i-1}\ derecha) f\ izquierda (t_ {i-1}\ derecha)\ derecha|\\ &\ izquierda\ izquierda|h\ izquierda (t_ {i}\ derecha) f\ izquierda (t_ {i}\ derecha) -h\ izquierda (t_ {i-1}\ derecha) f\ izquierda (t_ {i}\ derecha)\ derecha|+\ izquierda|h\ izquierda (t_ {i-1}\ derecha) f\ izquierda (t_ {i}\ derecha) -h\ izquierda (t_ {i-1}\ derecha) -h\ izquierda (t_ {i-1}\ derecha) -h\ izquierda (t_ { i-1}\ derecha) f\ izquierda (t_ {i-1}\ derecha)\ derecha|\\ &
    =\ izquierda|f\ izquierda (t_ {i}\ derecha)\ izquierda\ |\ Delta_ {i} h|+| h\ izquierda (t_ {i-1}\ derecha)\ derecha\ |\ Delta_ {i} f\ derecha|
    \\ &\ leq r\ ft|\ Delta_ {i} h\ derecha|+s\ izquierda|\ Delta_ {i} f\ derecha|. \ end {alineado}\]

    Sumando estas desigualdades, obtenemos

    \[S(h f, P) \leq r \cdot S(h, P)+s \cdot S(f, P) \leq r V_{h}+s V_{f}.\]

    Como esto tiene para todas las sumas\(S(h f, P),\) que tiene para su supremo, entonces

    \[V_{h f}=\sup S(h f, P) \leq r V_{h}+s V_{f},\]

    según lo reclamado.

    Del mismo modo, i) se desprende de

    \[| | f\left(t_{i}\right)|-| f\left(t_{i-1}\right)| | \leq\left|f\left(t_{i}\right)-f\left(t_{i-1}\right)\right|.\]

    La prueba análoga de (ii) se deja al lector.

    Por último, (i) a (iii) implican que\(V_{f}, V_{f \pm g}\), y\(V_{h f}\) son finitos si\(V_{f}, V_{g},\) y\(V_{h}\) son. Esto prueba nuestra última aseveración. \(\quad \square\)

    Nota 3. También\(f / h\) es de variación limitada sobre\(I\) si\(f\) y\(h\) son, siempre que\(h\) esté delimitado lejos de 0 en\(I ;\) i.e.

    \[(\exists \varepsilon>0) \quad|h| \geq \varepsilon \text { on } I.\]

    (Ver Problema 5.)

    Teoremas especiales se aplican en caso de que el espacio de rango\(E\) sea\(E^{1}\) o\(E^{n}\left(^{*} \text { or } C^{n}\right)\).

    Teorema\(\PageIndex{3}\)

    (i) Una función real\(f\) es de variación limitada en\(I=[a, b]\) iff\(f=g-h\) para algunas funciones reales no decrecientes\(g\) y\(h\) en\(I.\)

    (ii) Si\(f\) es real y monótona en\(I,\) ella es de variación acotada ahí.

    Prueba

    Demostramos (ii) primero.

    \(f \uparrow\)Vamos\(I.\) Si\(P=\left\{t_{0}, \ldots, t_{m}\right\},\) entonces

    \[t_{i} \geq t_{i-1} \text { implies } f\left(t_{i}\right) \geq f\left(t_{i-1}\right).\]

    Por lo\(\left|\Delta_{i} f\right|=\Delta_{i} f.\) tanto,\(\Delta_{i} f \geq 0;\) es decir,

    \[\begin{aligned} S(f, P) &=\sum_{i=1}^{m}\left|\Delta_{i} f\right|=\sum_{i=1}^{m} \Delta_{i} f=\sum_{i=1}^{m}\left[f\left(t_{i}\right)-f\left(t_{i-1}\right)\right] \\ &=f\left(t_{m}\right)-f\left(t_{0}\right)=f(b)-f(a) \end{aligned}\]

    para cualquier\(P.\) (¡Verifica!) Esto implica que también

    \[V_{f}[I]=\sup S(f, P)=f(b)-f(a)<+\infty.\]

    Así se demuestra (ii).

    Ahora para (i), vamos\(f=g-h\) con\(g \uparrow\) y\(h \uparrow\) sigue\(I\). Por (ii),\(g\) y\(h\) son de variación acotada en\(I.\) Por lo tanto lo es\(f=g-h\) por el Teorema 2 (última cláusula).

    Por el contrario, supongamos\(V_{f}[I]<+\infty.\) Luego definir

    \[g(x)=V_{f}[a, x], x \in I, \text { and } h=g-f \text { on } I,\]

    así\(f=g-h,\) y sólo queda por demostrar eso\(g \uparrow\) y\(h \uparrow\).

    Para probarlo, vamos\(a \leq x \leq y \leq b.\) Entonces Teorema 1 rinde

    \[V_{f}[a, y]-V_{f}[a, x]=V_{f}[x, y];\]

    es decir,

    \[g(y)-g(x)=V_{f}[x, y] \geq|f(y)-f(x)| \geq 0 \quad \text { (by Corollary 3).}\]

    De ahí\(g(y) \geq g(x).\) también, como\(h=g-f,\) tenemos

    \[\begin{aligned} h(y)-h(x) &=g(y)-f(y)-[g(x)-f(x)] \\ &=g(y)-g(x)-[f(y)-f(x)] \\ & \geq 0 \quad \text {by (2).} \end{aligned}\]

    Así\(h(y) \geq h(x).\) vemos que eso\(a \leq x \leq y \leq b\) implica\(g(x) \leq g(y)\) y\(h(x) \leq h(y),\) así\(h \uparrow\) y\(g \uparrow,\) efectivamente. \(\quad \square\)

    Teorema\(\PageIndex{4}\)

    (i) Una función\(f : E^{1} \rightarrow E^{n}\left(^{*} C^{n}\right)\) es de variación limitada en\(I=[a, b]\) iff todos sus componentes\(\left(f_{1}, f_{2}, \ldots, f_{n}\right)\) son.

    (ii) Si este es el caso, entonces límites finitos\(f\left(p^{+}\right)\) y\(f\left(q^{-}\right)\) existen para cada\(p \in[a, b) \text { and } q \in(a, b].\)

    Prueba

    (i) Tomar cualquier partición\(P=\left\{t_{0}, \ldots, t_{m}\right\}\) de\(I.\) Entonces

    \[\left|f_{k}\left(t_{i}\right)-f_{k}\left(t_{i-1}\right)\right|^{2} \leq \sum_{j=1}^{n}\left|f_{j}\left(t_{i}\right)-f_{j}\left(t_{i-1}\right)\right|^{2}=\left|f\left(t_{i}\right)-f\left(t_{i-1}\right)\right|^{2};\]

    es decir,\(\left|\Delta_{i} f_{k}\right| \leq\left|\Delta_{i} f\right|, i=1,2, \ldots,\text{ } m.\) Así

    \[(\forall P) \quad S\left(f_{k}, P\right) \leq S(f, P) \leq V_{f},\]

    y\(V_{f_{k}} \leq V_{f}\) sigue. Por lo tanto

    \[V_{f}<+\infty \text { implies } V_{f_{k}}<+\infty, \quad k=1,2, \ldots,\text{ } n.\]

    Lo contrario sigue por Teorema 2 ya que\(f=\sum_{k=1}^{n} f_{k} \vec{e}_{k}.\) (¡Explique!)

    (ii) Para funciones monótonas reales,\(f\left(p^{+}\right)\) y\(f\left(q^{-}\right)\) existir por el Teorema 1 del Capítulo 4, §5. Esto también se aplica si\(f\) es real y de variación acotada, pues por Teorema 3,

    \[f=g-h \text { with } g \uparrow \text { and } h \uparrow \text { on } I,\]

    y así

    \[f\left(p^{+}\right)=g\left(p^{+}\right)-h\left(p^{+}\right) \text { and } f\left(q^{-}\right)=g\left(q^{-}\right)-h\left(q^{-}\right) \text { exist.}\]

    Los límites son finitos ya que\(f\) está delimitado\(I\) por el Corolario 3.

    Vía componentes (Teorema 2 del Capítulo 4, §3), esto también se aplica a las funciones\(f : E^{1} \rightarrow E^{n}.\) (¿Por qué?) En particular, (ii) se aplica a funciones complejas (tratar\(C\) como\(E^{2}\) (*y así también se extiende a funciones\(f : E^{1} \rightarrow C^{n}.\)). \(\quad \square\)

    También hemos demostrado el siguiente corolario.

    Corolario\(\PageIndex{5}\)

    Una función compleja\(f : E^{1} \rightarrow C\) es de variación limitada sobre\([a, b]\) si sus partes reales e imaginarias son. (Véase Capítulo 4, §3, Nota 5).


    This page titled 5.7: La variación total (longitud) de una función f - E1 → E is shared under a CC BY 3.0 license and was authored, remixed, and/or curated by Elias Zakon (The Trilla Group (support by Saylor Foundation)) via source content that was edited to the style and standards of the LibreTexts platform; a detailed edit history is available upon request.