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2.7: Los Infinidades. Límites Superior e Inferior de Secuencias
https://espanol.libretexts.org/Matematicas/Analisis/Libro%3A_An%C3%A1lisis_matem%C3%A1tico_(Zakon)/02%3A_N%C3%BAmeros_y_campos_reales/2.07%3A_Los_Infinidades._L%C3%ADmites_Superior_e_Inferior_de_Secuencias
\[ \begin{aligned} (-\infty, a) &=\left\{x \in E^{*} |-\infty<x<a\right\}=\left\{x \in E^{1} | x<a\right\} \\ (a,+\infty) &=\left\{x \in E^{1} | a<x\right\} \\ (-\infty,+\infty) &=\left\{x \in E^{*} |... $\begin{aligned} (-\infty, a) &=\left\{x \in E^{*} |-\infty<x<a\right\}=\left\{x \in E^{1} | x<a\right\} \\ (a,+\infty) &=\left\{x \in E^{1} | a<x\right\} \\ (-\infty,+\infty) &=\left\{x \in E^{*} |-\infty<x<+\infty\right\}=E^{1} \\ [-\infty,+\infty] &=\left\{x \in E^{*} |-\infty \leq x \leq+\infty\right\} ; \text { etc. } \end{aligned}$
7.6: Mida Espacios. Más información sobre medidas exteriores
https://espanol.libretexts.org/Matematicas/Analisis/Libro%3A_An%C3%A1lisis_matem%C3%A1tico_(Zakon)/07%3A_Volumen_y_Medida/7.06%3A_Mida_Espacios._M%C3%A1s_informaci%C3%B3n_sobre_medidas_exteriores
la familia $\mathcal{M}^{*}$ de todos los conjuntos $m^{*}$ medibles es un $\sigma$ -campo en $S,$ y $m^{*},$ cuando se restringe a $\mathcal{M}^{*},$ es una medida completa (denotada $m$ y lla...la familia $\mathcal{M}^{*}$ de todos los conjuntos $m^{*}$ medibles es un $\sigma$ -campo en $S,$ y $m^{*},$ cuando se restringe a $\mathcal{M}^{*},$ es una medida completa (denotada $m$ y llamada la medida $m^{*}$ inducida; así $m^{*}=m$ sucesivamente $\mathcal{M}^{*}$ ). $\begin{aligned} m^{*}(X \cap A)+m^{*}(X-A) &=m^{*}(X \cap A)+m^{*} \bigcup_{k=1}^{n} A_{k} \\ & \leq m^{*}(X \cap A)+\sum_{k=1}^{n} m^{*} A_{k}. \end{aligned}$
3.4: Números Complejos
https://espanol.libretexts.org/Matematicas/Analisis/Libro%3A_An%C3%A1lisis_matem%C3%A1tico_(Zakon)/03%3A_Espacios_vectoriales_y_espacios_m%C3%A9tricos/3.04%3A_N%C3%BAmeros_Complejos
y $\theta$ es el ángulo de rotación (en sentido contrario a las agujas del reloj) desde el $x$ eje -eje a la línea dirigida $\overrightarrow{0 z} ;$ ver Figura $6 .$ Claramente, $z$ está determin...y $\theta$ es el ángulo de rotación (en sentido contrario a las agujas del reloj) desde el $x$ eje -eje a la línea dirigida $\overrightarrow{0 z} ;$ ver Figura $6 .$ Claramente, $z$ está determinado de manera única por $r$ y $\theta$ pero no $\theta$ está determinado únicamente por de $z ;$ hecho, el mismo punto de $E^{2}$ resultados si $\theta$ es reemplazado por $\theta+2 n \pi(n=1,2, \ldots)$ . (Si $z=0,$ entonces no $\theta$ está definido en absoluto.) Los valores $r$ y\(\thet…
6.5: Diferenciación repetida. Teorema de Taylor
https://espanol.libretexts.org/Matematicas/Analisis/Libro%3A_An%C3%A1lisis_matem%C3%A1tico_(Zakon)/06%3A_Diferenciaci%C3%B3n_en_Ey_Otros_Espacios_Lineales_Normados/6.05%3A_Diferenciaci%C3%B3n_repetida._Teorema_de_Taylor
\[\begin{aligned} d f &=d^{1} f=\frac{\partial f}{\partial x} d x+\frac{\partial f}{\partial y} d y \\ &=\sin y d x+x \cos y d y; \\ d^{2} f &=\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}} d x^{2}+2 \frac{\pa... $\begin{aligned} d f &=d^{1} f=\frac{\partial f}{\partial x} d x+\frac{\partial f}{\partial y} d y \\ &=\sin y d x+x \cos y d y; \\ d^{2} f &=\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}} d x^{2}+2 \frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y} d x d y+\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}} d y^{2} \\ &=2 \cos y d x d y-x \sin y d y^{2}; \\ d^{3} f &=-3 \sin y d x d y^{2}-x \cos y d y^{3}; \end{aligned}$
5.7: La variación total (longitud) de una función f - E1 → E
https://espanol.libretexts.org/Matematicas/Analisis/Libro%3A_An%C3%A1lisis_matem%C3%A1tico_(Zakon)/05%3A_Diferenciaci%C3%B3n_y_Antidiferenciaci%C3%B3n/5.07%3A_La_variaci%C3%B3n_total_(longitud)_de_una_funci%C3%B3n_f_-_E1_%E2%86%92_E
\ [\ comenzar {alineado}\ izquierda|\ Delta_ {i} h f\ derecha| &=\ izquierda|h\ izquierda (t_ {i}\ derecha) f\ izquierda (t_ {i}\ derecha) -h\ izquierda (t_ {i-1}\ derecha) f\ izquierda (t_ {i-1}\ der...\ [\ comenzar {alineado}\ izquierda|\ Delta_ {i} h f\ derecha| &=\ izquierda|h\ izquierda (t_ {i}\ derecha) f\ izquierda (t_ {i}\ derecha) -h\ izquierda (t_ {i-1}\ derecha) f\ izquierda (t_ {i-1}\ derecha)\ derecha|\\ &\ izquierda\ izquierda|h\ izquierda (t_ {i}\ derecha) f\ izquierda (t_ {i}\ derecha) -h\ izquierda (t_ {i-1}\ derecha) f\ izquierda (t_ {i}\ derecha)\ derecha|+\ izquierda|h\ izquierda (t_ {i-1}\ derecha) f\ izquierda (t_ {i}\ derecha) -h\ izquierda (t_ {i-1}\ derecha) -h\ izquie…
4.5: Función Monotone
https://espanol.libretexts.org/Matematicas/Analisis/Libro%3A_An%C3%A1lisis_matem%C3%A1tico_(Zakon)/04%3A_L%C3%ADmites_de_funciones_y_continuidad/4.05%3A_Funci%C3%B3n_Monotone
En particular, si $f \uparrow$ en $A=(a, b)$ con $a, b \in E^{*}$ y $a<b,$ luego $B=$ $(a, p)$ para $p \in(a, b] .$ Aquí $p$ hay un punto de clúster de la ruta $B$ (Capítulo 3, §14, Ejemplo (...En particular, si $f \uparrow$ en $A=(a, b)$ con $a, b \in E^{*}$ y $a<b,$ luego $B=$ $(a, p)$ para $p \in(a, b] .$ Aquí $p$ hay un punto de clúster de la ruta $B$ (Capítulo 3, §14, Ejemplo (h)), por lo que $f\left(p^{-}\right)$ existe un límite izquierdo único. $\lim _{x \rightarrow p} F(x)=\lim a^{p} \cdot \lim _{x \rightarrow p} a^{x-p}=a^{p} \lim _{y \rightarrow 0} a^{y}=a^{p} \cdot 1=a^{p}=F(p).$
4.13: Serie Absolutamente Convergente. Serie Power
https://espanol.libretexts.org/Matematicas/Analisis/Libro%3A_An%C3%A1lisis_matem%C3%A1tico_(Zakon)/04%3A_L%C3%ADmites_de_funciones_y_continuidad/4.13%3A_Serie_Absolutamente_Convergente._Serie_Power
\[\begin{array}{l}{\quad \overline{\lim }\left(\frac{\left|a_{n+1}\right|}{\left|a_{n}\right|}\right)<1 \text { implies } \overline{\lim } \sqrt[n]{\left|a_{n}\right|}<1 ; \text { and }} \\ {\qquad \u... $\begin{array}{l}{\quad \overline{\lim }\left(\frac{\left|a_{n+1}\right|}{\left|a_{n}\right|}\right)<1 \text { implies } \overline{\lim } \sqrt[n]{\left|a_{n}\right|}<1 ; \text { and }} \\ {\qquad \underline{\lim } \left(\frac{\left|a_{n+1}\right|}{\left|a_{n}\right|}\right)>1 \text { implies } \overline{\lim } \sqrt[n]{\left|a_{n}\right|}>1.}\end{array}$
1: Teoría de Conjuntos
https://espanol.libretexts.org/Matematicas/Analisis/Libro%3A_An%C3%A1lisis_matem%C3%A1tico_(Zakon)/01%3A_Teor%C3%ADa_de_Conjuntos
6.3: Funciones Diferenciables
https://espanol.libretexts.org/Matematicas/Analisis/Libro%3A_An%C3%A1lisis_matem%C3%A1tico_(Zakon)/06%3A_Diferenciaci%C3%B3n_en_Ey_Otros_Espacios_Lineales_Normados/6.03%3A_Funciones_Diferenciables
\[\begin{aligned}\left|\Delta f-\sum_{k=1}^{n} t_{k} D_{k} f(\vec{p})\right| &=\left|\sum_{k=1}^{n}\left[f\left(\vec{p}_{k}\right)-f\left(\vec{p}_{k-1}\right)-t_{k} D_{k} f(\vec{p})\right]\right| \\ &... $\begin{aligned}\left|\Delta f-\sum_{k=1}^{n} t_{k} D_{k} f(\vec{p})\right| &=\left|\sum_{k=1}^{n}\left[f\left(\vec{p}_{k}\right)-f\left(\vec{p}_{k-1}\right)-t_{k} D_{k} f(\vec{p})\right]\right| \\ & \leq n \cdot \frac{\varepsilon}{n}|\vec{t}|=\varepsilon|\vec{t}|. \end{aligned}$
4: Límites de funciones y continuidad
https://espanol.libretexts.org/Matematicas/Analisis/Libro%3A_An%C3%A1lisis_matem%C3%A1tico_(Zakon)/04%3A_L%C3%ADmites_de_funciones_y_continuidad
4.6: Conjuntos Compactos
https://espanol.libretexts.org/Matematicas/Analisis/Libro%3A_An%C3%A1lisis_matem%C3%A1tico_(Zakon)/04%3A_L%C3%ADmites_de_funciones_y_continuidad/4.06%3A_Conjuntos_Compactos
Así vamos $x_{m} \rightarrow p,\left\{x_{m}\right\} \subseteq A .$ As $A$ es compacto, la secuencia se $\left\{x_{m}\right\}$ agrupa en alguna $q \in A,$ es decir, tiene una subsecuencia\(x_{m_{k}...Así vamos $x_{m} \rightarrow p,\left\{x_{m}\right\} \subseteq A .$ As $A$ es compacto, la secuencia se $\left\{x_{m}\right\}$ agrupa en alguna $q \in A,$ es decir, tiene una subsecuencia $x_{m_{k}} \rightarrow q \in A .$ Sin embargo, el límite de la subsecuencia debe ser el mismo que el de toda la secuencia.

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