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# 5.11.E: Problemas en Funciones Exponenciales y Trigonométricas

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( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) $$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$$

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$$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$$ $$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$$

$$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$$

$$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$

$$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$$

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$$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$ $$\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}$$

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$$\newcommand{\vectorAt}[1]{\vec{\text{#1}}} % arrow$$

$$\newcommand{\vectorB}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$$

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$$\newcommand{\vectorDt}[1]{\overrightarrow{\text{#1}}}$$

$$\newcommand{\vectE}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash{\mathbf {#1}}}}$$

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$$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$$

## Ejercicio$$\PageIndex{1}$$

Verificar fórmula$$(2)$$.

## Ejercicio$$\PageIndex{2}$$

$$\text { Prove Note } 1, \text { as suggested (using Chapter } 2, §§ 11-12)$$.

## Ejercicio$$\PageIndex{3}$$

Demostrar fórmulas$$(1)$$ de Capítulo$$2, §§11-12$$ a partir de nuestras nuevas definiciones.

## Ejercicio$$\PageIndex{4}$$

Completar los detalles faltantes en las pruebas de Teoremas$$2-4$$.

## Ejercicio$$\PageIndex{5}$$

Demostrar que
(i)$$\sin 0=\sin (n \pi)=0$$;
(ii)$$\cos 0=\cos (2 n \pi)=1$$;
(iii)$$\sin \frac{\pi}{2}=1$$;
(iv)$$\sin \left(-\frac{\pi}{2}\right)=-1$$;
(v)$$\cos \left( \pm \frac{\pi}{2}\right)=0$$;
(vi)$$|\sin x| \leq 1$$ y$$|\cos x| \leq 1$$ para$$x \in E^{1}$$.

## Ejercicio$$\PageIndex{6}$$

Demostrar que
(i)$$\sin (-x)=-\sin x$$ y
(ii)$$\cos (-x)=\cos x$$ para$$x \in E^{1}$$.
[Pista: Para (i), vamos$$h(x)=\sin x+\sin (-x) .$$ Mostrar que$$h^{\prime}=0 ;$$ por lo tanto$$h$$ es constante, digamos,$$\left.h=q \text { on } E^{1} . \text { Substitute } x=0 \text { to find } q . \text { For (ii), use }(13)-(15) .\right]$$

## Ejercicio$$\PageIndex{7}$$

Demostrar lo siguiente para$$x, y \in E^{1} :$$
(i) de$$\sin (x+y)=\sin x \cos y+\cos x \sin y ;$$ ahí$$\sin \left(x+\frac{\pi}{2}\right)=\cos x$$.
ii)$$\cos (x+y)=\cos x \cos y-\sin x \sin y ;$$ por lo tanto$$\cos \left(x+\frac{\pi}{2}\right)=-\sin x$$.
[Pista para$$(\mathrm{i}) :$$ Fijar$$x, y$$ y dejar$$p=x+y .$$ Definir$$h : E^{1} \rightarrow E^{1}$$ por
\ [
h (t) =\ sin t\ cos (p-t) +\ cos t\ sin (p-t),\ quad t\ en E^ {1}.
\]
$$\text { Proceed as in Problem } 6 . \text { Then let } t=x .]$$

## Ejercicio$$\PageIndex{8}$$

Con$$\overline{J_{n}}$$ como en el texto, mostrar que el seno aumenta en$$\overline{J_{n}}$$ si$$n$$ es par y disminuye si$$n$$ es impar. ¿Qué tal el coseno? Encuentra los puntos finales de$$\overline{J_{n}}$$.

5.11.E: Problemas en Funciones Exponenciales y Trigonométricas is shared under a CC BY 1.0 license and was authored, remixed, and/or curated by LibreTexts.