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# 6.6.E: Problemas en mapas lineales biyectivos y jacobianos

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## Ejercicio$$\PageIndex{1}$$

(i) ¿Puede un determinante funcional$$f=\operatorname{det}\left(v_{i k}\right)$$ (ver Nota 1) ser continuo o diferenciable aunque las funciones no lo$$v_{i k}$$ sean?
ii) ¿Un mapa jacobiano debe$$J_{f}$$ ser continuo o diferenciable si$$f$$ es así?
Dar pruebas o contraejemplos.

## Ejercicio$$\PageIndex{2}$$

$$\Rightarrow$$Demostrar regla b) sobre determinantes. De manera más general, demuestre que si$$f(\vec{x})=\vec{x}$$ en un set abierto$$A \subseteq E^{n}\left(C^{n}\right),$$ entonces$$J_{f}=1$$ en$$A$$.

## Ejercicio$$\PageIndex{3}$$

Dejar$$f : E^{n} \rightarrow E^{n}$$ (o$$C^{n} \rightarrow C^{n}$$),$$f=\left(f_{1}, \ldots, f_{n}\right)$$.
Supongamos que cada uno$$f_{k}$$ depende$$x_{k}$$ solo de, es decir,
$f_{k}(\vec{x})=f_{k}(\vec{y}) \text{ if } x_{k}=y_{k},$
independientemente de las otras coordenadas$$x_{i}, y_{i}.$$ Demostrar eso$$J_{f}=\prod_{k=1}^{n} D_{k} f_{k}$$.
[Pista:$$D_{k} f_{i}=0$$ Muéstralo si$$i \neq k$$.]

## Ejercicio$$\PageIndex{4}$$

En Corolario 1, mostrar que
$J_{h}(\vec{p})=\prod_{k=1}^{n} D_{k} f_{k}(\vec{p}) \cdot J_{g}(\vec{q})$
si$$f$$ también tiene la propiedad especificada en Problema 3. Entonces haz todo en “variables”, con$$y_{k}=y_{k}\left(x_{k}\right)$$ en lugar de$$f_{k}$$.

## Ejercicio$$\PageIndex{5}$$

Dejar$$E^{\prime}=E^{1}$$ entrar la Nota 1. Demostrar que si todos los$$v_{i k}$$ son diferenciables en$$p,$$ entonces$$f^{\prime}(p)$$ es la suma de$$n$$ determinantes, cada uno derivado de det$$\left(v_{i k}\right),$$ sustituyendo los términos de una columna por sus derivados.
[Pista: Use el Problema 6 en el Capítulo 5, §1.]

## Ejercicio$$\PageIndex{6}$$

Hacer el Problema 5 para parciales de$$f,$$ con$$E^{\prime}=E^{n}\left(C^{n}\right),$$ y para direccionales$$D_{\vec{u}} f,$$ en cualquier espacio normado$$E^{\prime}.$$ (Primero, probar fórmulas análogas al Problema 6 en el Capítulo 5, §1; usar la Nota 3 en §1.) Por último, hazlo por el diferencial,$$d f(\vec{p} ; \cdot).$$

## Ejercicio$$\PageIndex{7}$$

En la Nota 1 de §4, expresar las matrices en términos de parciales (ver Teorema 4 en §3). Inventar una notación “variable” para tales matrices, imitando a los jacobianos (Corolario 3).

## Ejercicio$$\PageIndex{8}$$

(i) Demostrar que
$\frac{\partial(x, y, z)}{\partial(r, \theta, \alpha)}=-r^{2} \sin \alpha$
si
$\begin{array}{l}{x=r \cos \theta,} \\ {y=r \sin \theta \sin \alpha, \text { and }} \\ {z=r \cos \alpha}\end{array}$
(Esta transformación es de paso a polares en$$E^{3};$$ ver Figura 27, donde$$r=O P, \angle X O A=\theta,$$ y$$\angle A O P=\alpha.)$$
(ii) Qué pasa si$$x=r \cos \theta, y=r \sin \theta,$$ y$$z=z$$ permanece sin cambios (paso a cilindrico coordenadas)?
iii) Lo mismo para$$x=e^{r} \cos \theta, y=e^{r} \sin \theta,$$ y$$z=z$$.

## Ejercicio$$\PageIndex{9}$$

Es$$f=\left(f_{1}, f_{2}\right) : E^{2} \rightarrow E^{2}$$ uno a uno o biyectiva, y es$$J_{f} \neq 0,$$ si
(i)$$f_{1}(x, y)=e^{x} \cos y$$ y$$f_{2}(x, y)=e^{x} \sin y$$;
(ii)$$f_{1}(x, y)=x^{2}-y^{2}$$ y$$f_{2}(x, y)=2 x y ?$$

## Ejercicio$$\PageIndex{10}$$

Definir$$f : E^{3} \rightarrow E^{3}$$ (o$$C^{3} \rightarrow C^{3}$$)
$f(\vec{x})=\frac{\vec{x}}{1+\sum_{k=1}^{3} x_{k}}$
en
$A=\left\{\vec{x} | \sum_{k=1}^{3} x_{k} \neq-1\right\}$
y$$f=\overrightarrow{0}$$ en$$-A.$$ Probar lo siguiente.
(i)$$f$$ es uno a uno en$$A$$ (encontrar$$f^{-1}!$$).
ii)$$J_{f}(\vec{x})=\frac{1}{\left(1+\sum_{k=1}^{3} x_{k}\right)^{4}}$$.
(iii) Describir$$-A$$ geométricamente.

## Ejercicio$$\PageIndex{11}$$

Dados los conjuntos$$A, B$$ y mapas$$f, g : A \rightarrow E^{\prime}, h : E^{\prime} \rightarrow E,$$ y$$k : B \rightarrow A,$$ demostrar que
(i)$$(f \pm g) \circ k=f \circ k \pm g \circ k,$$ y
(ii)$$h \circ(f \pm g)=h \circ f \pm h \circ g$$ si$$h$$ es lineal.
Utilice estas leyes distributivas para verificar que
$\phi^{-1} \circ(\theta-\phi) \circ \theta^{-1}=\phi^{-1}-\theta^{-1}$
En Corolario 3.
[Pista: Primero verifique la asociatividad de la composición cartográfica.]

## Ejercicio$$\PageIndex{12}$$

Demostrar que si$$\phi : E^{\prime} \rightarrow E$$ es lineal y uno a uno, entonces es$$\phi^{-1} : E^{\prime \prime} \rightarrow E^{\prime},$$ donde$$E^{\prime \prime}=\phi\left[E^{\prime}\right].$$

## Ejercicio$$\PageIndex{13}$$

Dejar$$\vec{v}_{1}, \ldots, \vec{v}_{n}$$ ser los vectores de columna en$$\operatorname{det}[\phi].$$ Probar que$$\operatorname{det}[\phi]$$ se convierte en
(i)$$c \cdot \operatorname{det}[\phi]$$ si uno de los$$\vec{v}_{k}$$ se multiplica por un escalar$$c$$;
(ii)$$-\operatorname{det}[\phi],$$ si alguno de los dos$$\vec{v}_{k}$$ se intercambian (considerar$$\lambda$$ en la fórmula (1)).
(iii)$$\operatorname{det}[\phi]$$ no cambia si algunos$$\vec{v}_{k}$$ son reemplazados por$$\vec{v}_{k}+c \vec{v}_{i}(i \neq k)$$;
(iv)$$\operatorname{det}[\phi]=0$$ si algunos$$\vec{v}_{k}$$ lo son$$\overrightarrow{0},$$ o si dos de los$$\vec{v}_{k}$$ son iguales.