1.1: Introducción a las funciones inadecuadas

En la Sección 7.2 (pp. 462—484) consideramos funciones de la forma

\[F(y)=\int_{a}^{b}f(x,y)\,dx, \quad c \le y \le d.\]

Vimos que si\(f\) es continuo\([a,b]\times [c,d]\), entonces\(F\) es continuo en\([c,d]\) (Ejercicio 7.2.3, p. 481) y que podemos revertir el orden de integración en

\[\int_{c}^{d}F(y)\,dy=\int_{c}^{d}\left(\int_{a}^{b}f(x,y)\,dx\right)\,dy\]

para evaluarlo como

\[\int_{c}^{d}F(y)\,dy=\int_{a}^{b}\left(\int_{c}^{d}f(x,y)\,dy\right)\,dx\]

(Corolario 7.2.3, p. 466).

Aquí hay otra propiedad importante de\(F\).

[Teorema:1] Si\(f\) y\(f_{y}\) son continuos en\([a,b]\times [c,d],\) entonces

\[\label{eq:1} F(y)=\int_{a}^{b}f(x,y)\,dx, \quad c \le y \le d,\]

es continuamente diferenciable\([c,d]\) y\(F'(y)\) puede obtenerse diferenciando [eq:1] bajo el signo integral con respecto a\(y;\) esto es,

\[\label{eq:2} F'(y)=\int_{a}^{b}f_{y}(x,y)\,dx, \quad c \le y \le d.\]

Aquí\(F'(a)\) y\(f_{y}(x,a)\) son derivados de la derecha y\(F'(b)\) y\(f_{y}(x,b)\) son derivados de la izquierda\(.\)

Si\(y\) y\(y+\Delta y\) están en\([c,d]\) y\(\Delta y\ne0\), entonces

\[\label{eq:3} \frac{F(y+\Delta y)-F(y)}{\Delta y}= \int_{a}^{b}\frac{f(x,y+\Delta y)-f(x,y)}{\Delta y}\,dx.\]

Del teorema del valor medio (Teorema 2.3.11, p. 83), si\(x\in[a,b]\) y\(y\)\(y+\Delta y\in[c,d]\),, hay un\(y(x)\) entre\(y\) y\(y+\Delta y\) tal que

\[f(x,y+\Delta y)-f(x,y)=f_{y}(x,y)\Delta y= f_{y}(x,y(x))\Delta y+(f_{y}(x,y(x)-f_{y}(x,y))\Delta y.\]

A partir de esto y [eq:3],

\[\label{eq:4} \left|\frac{F(y+\Delta y)-F(y)}{\Delta y}-\int_{a}^{b}f_{y}(x,y)\,dx\right| \le \int_{a}^{b} |f_{y}(x,y(x))-f_{y}(x,y)|\,dx.\]

Ahora supongamos\(\epsilon>0\). Dado que\(f_{y}\) es uniformemente continuo en el conjunto compacto\([a,b]\times [c,d]\) (Corolario 5.2.14, p. 314) y\(y(x)\) está entre\(y\) y\(y+\Delta y\), hay\(\delta>0\) tal que si\(|\Delta|<\delta\) entonces

\[|f_{y}(x,y)-f_{y}(x,y(x))|<\epsilon,\quad (x,y)\in[a,b]\times [c,d].\]

Esto y [eq:4] implican que

\[\left|\frac{F(y+\Delta y-F(y))}{\Delta y}-\int_{a}^{b}f_{y}(x,y)\,dx\right|<\epsilon(b-a)\]

si\(y\) y\(y+\Delta y\) están en\([c,d]\) y\(0<|\Delta y|<\delta\). Esto implica [eq:2]. Dado que la integral en [eq:2] es continua en\([c,d]\) (Ejercicio 7.2.3, p. 481, con\(f\) reemplazada por\(f_{y}\)),\(F'\) es continua en\([c,d]\).

[Ejemplo:1] Desde

\[f(x,y)=\cos xy\text{\quad and\quad} f_{y}(x,y)=-x\sin xy\]

son continuos para todos\((x,y)\), el teorema [teorema: 1] implica que si

\[\label{eq:5} F(y)=\int_{0}^{\pi} \cos xy\,dx,\quad -\infty<y<\infty,\]

entonces

\[\label{eq:6} F'(y)=-\int_{0}^{\pi}x\sin xy\,dx,\quad -\infty<y<\infty.\]

(Al aplicar el Teorema [teorema:1] para un valor específico de\(y\), tomamos\(R=[0,\pi]\times [-\rho,\rho]\), donde\(\rho>|y|\).) Esto proporciona una manera conveniente de evaluar la integral en [eq:6]: integrando el lado derecho de [eq:5] con respecto a\(x\) los rendimientos

\[F(y)=\frac{\sin xy}{y}\bigg|_{x=0}^{\pi}=\frac{\sin\pi y}{y}, \quad y\ne0.\]

Diferenciando esto y usando [eq:6] rendimientos

\[\int_{0}^{\pi}x\sin xy\,dx =\frac{\sin \pi y}{y^{2}}- \frac{\pi\cos \pi y}{y}, \quad y\ne0.\]

Para verificar esto, utilice la integración por partes.

Estudiaremos la continuidad, diferenciabilidad e integrabilidad de

\[F(y)=\int_{a}^{b}f(x,y)\,dx,\quad y\in S,\]

donde\(S\) es un intervalo o una unión de intervalos, y\(F\) es una integral convergente inadecuada para cada uno\(y\in S\). Si el dominio de\(f\) es\([a,b)\times S\) donde\(-\infty<a< b\le \infty\), decimos que\(F\) es punto convergente en\(S\) o simplemente convergente en\(S\), y escribimos

\[\label{eq:7} \int_{a}^{b}f(x,y)\,dx=\lim_{r\to b-}\int_{a}^{r}f(x,y)\,dx\]

si, para todos\(y\in S\) y cada uno\(\epsilon>0\), hay un\(r=r_{0}(y)\) (que también depende de\(\epsilon\)) tal que

\[\label{eq:8} \left|F(y)-\int_{a}^{r}f(x,y)\,dx\right|= \left|\int_{r}^{b}f(x,y)\,dx\right|< \epsilon, \quad r_{0}(y)\le y<b.\]

Si el dominio de\(f\) es\((a,b]\times S\) donde\(-\infty\le a<b<\infty\), reemplazamos [eq:7] por

\[\int_{a}^{b}f(x,y)\,dx=\lim_{r\to a+}\int_{r}^{b}f(x,y)\,dx\]

y [eq:8] por

\[\left|F(y)-\int_{r}^{b}f(x,y)\,dx\right|= \left|\int_{a}^{r}f(x,y)\,dx\right|< \epsilon, \quad a<r\le r_{0}(y).\]

En general, la convergencia puntual de\(F\) para todos\(y\in S\) no implica que\(F\) sea continua o integrable\([c,d]\), y los supuestos adicionales que\(f_{y}\) es continuo y\(\int_{a}^{b}f_{y}(x,y)\,dx\) converge no implican [eq:2].

[ejemplo:2] La función

\[f(x,y)=ye^{-|y|x}\]

es continuo\([0,\infty)\times (-\infty,\infty)\) y

\[F(y)=\int_{0}^{\infty}f(x,y)\,dx =\int_{0}^{\infty}ye^{-|y|x}\,dx\]

converge para todos\(y\), con

\[F(y)= \begin{cases} -1& y<0,\\ \phantom{-}0&y=0,\\ \phantom{-}1&y>0;\\ \end{cases}\]

por lo tanto,\(F\) es discontinuo en\(y=0\).

[ejemplo:3] La función

\[f(x,y)=y^{3}e^{-y^{2}x}\]

es continuo en\([0,\infty)\times (-\infty,\infty)\). Let

\[F(y)=\int_{0}^{\infty}f(x,y)\,dx= \int_{0}^{\infty}y^{3}e^{-y^{2}x}\,dx =y,\quad -\infty<y<\infty.\]

Entonces

\[F'(y)=1, \quad -\infty<y<\infty.\]

Sin embargo,

\[\int_{0}^{\infty}\frac{\partial{}}{\partial{y}}(y^{3}e^{-y^{2}x})\,dx =\int_{0}^{\infty}(3y^{2}-2y^{4}x)e^{-y^{2}x}\,dx= \begin{cases} 1,& y\ne0,\\ 0,& y=0, \end{cases}\]

por lo

\[F'(y)\ne\int_{0}^{\infty}\frac{\partial{f(x,y)}}{\partial{y}}\,dx\text{\quad if\quad}y=0.\]