1.2: Preparación

Comenzamos con dos criterios de convergencia útiles para integrales inadecuados que no involucren un parámetro. Consistente con la definición de la p. 152, decimos que$f$ es integrable localmente en un intervalo$I$ si es integrable en cada subintervalo cerrado finito de$I$.

[teorem:2] Supongamos que$g$ es integrable localmente$[a,b)$ y denota

$$G(r)=\int_{a}^{r}g(x)\,dx,\quad a\le r<b.$$

Entonces la integral impropia$\int_{a}^{b}g(x)\,dx$ converge si y solo si$,$ para cada uno$\epsilon >0,$ hay$r_{0}\in[a,b)$ tal que

$$\label{eq:9} |G(r)-G(r_{1})|<\epsilon,\quad r_{0}\le r,r_{1}<b.$$

Por necesidad, supongamos$\int_{a}^{b}g(x)\,dx=L$. Por definición, esto quiere decir que para cada uno$\epsilon>0$ hay$r_{0}\in [a,b)$ tal que

$$|G(r)-L|<\frac{\epsilon}{2} \text{\quad and\quad} |G(r_{1})-L|<\frac{\epsilon}{2},\quad r_{0}\le r,r_{1}<b.$$

Por lo tanto

$$\begin{aligned} |G(r)-G(r_{1})|&=&|(G(r)-L)-(G(r_{1})-L)|\\ &\le& |G(r)-L|+|G(r_{1})-L|< \epsilon,\quad r_{0}\le r,r_{1}<b.\end{aligned}$$

Para la suficiencia, [eq:9] implica que

$$|G(r)|= |G(r_{1})+(G(r)-G(r_{1}))|< |G(r_{1})|+|G(r)-G(r_{1})|\le |G(r_{1})|+\epsilon,$$

$r_{0}\le r\le r_{1}<b$. Dado que también$G$ está acotado en el conjunto compacto$[a,r_{0}]$ (Teorema 5.2.11, p. 313),$G$ está acotado en$[a,b)$. Por lo tanto, las funciones monótona

$$\overline{G}(r)=\sup\left\{G(r_{1})\, \big|\, r\le r_{1}<b\right\} \text{\quad and\quad} \underline{G}(r)=\inf\left\{G(r_{1})\, \big|\, r\le r_{1}<b\right\}$$

están bien definidos en$[a,b)$, y

$$\lim_{r\to b-}\overline{G}(r)=\overline{L} \text{\quad and\quad} \lim_{r\to b-}\underline{G}(r)=\underline{L}$$

ambos existen y son finitos (Teorema 2.1.11, p. 47). De [eq:9],

$$\begin{aligned} |G(r)-G(r_{1})|&=&|(G(r)-G(r_{0}))-(G(r_{1})-G(r_{0}))|\\ &\le &|G(r)-G(r_{0})|+|G(r_{1})-G(r_{0})|< 2\epsilon,\end{aligned}$$

por lo

$$\overline{G}(r)-\underline{G}(r)\le 2\epsilon, \quad r_{0}\le r, r_{1}<b.$$

Dado que$\epsilon$ es un número positivo arbitrario, esto implica que

$$\lim_{r\to b-}(\overline{G}(r)-\underline{G}(r))=0,$$

así$\overline{L}=\underline{L}$. Vamos$L=\overline{L}=\underline{L}$. Desde

$$\underline{G}(r)\le G(r)\le \overline{G}(r),$$

de ello se deduce$\lim_{r\to b-} G(r)=L$.

Te dejamos la prueba del siguiente teorema (Ejercicio [exer:2]).

[teorem:3] Supongamos que$g$ es integrable localmente$(a,b]$ y denota

$$G(r)=\int_{r}^{b}g(x)\,dx,\quad a\le r<b.$$

Entonces la integral impropia$\int_{a}^{b}g(x)\,dx$ converge si y solo si$,$ para cada uno$\epsilon >0,$ hay$r_{0}\in(a,b]$ tal que

$$|G(r)-G(r_{1})|<\epsilon,\quad a<r,r_{1}\le r_{0}.$$

Para ver por qué asociamos Teoremas [teorem:2] y [teorem:3] con Cauchy, compararlos con Teorema 4.3.5 (p. 204)