1.6: Consecuencias de la Convergencia Uniforme

[teorem:10] Si\(f=f(x,y)\) es continuo en cualquiera\([a,b)\times [c,d]\) o\((a,b]\times [c,d]\) y

\[\label{eq:23} F(y)=\int_{a}^{b}f(x,y)\,dx\]

converge uniformemente en\([c,d],\) entonces\(F\) es continuo en\([c,d].\) Por otra parte\(,\)

\[\label{eq:24} \int_{c}^{d}\left(\int_{a}^{b}f(x,y)\,dx\right)\,dy =\int_{a}^{b}\left(\int_{c}^{d}f(x,y)\,dy\right)\,dx.\]

Supondremos que\(f\) es continuo en\((a,b]\times [c,d]\). Se puede considerar el otro caso (Ejercicio [exer:14]).

Primero mostraremos que\(F\) en [eq:23] es continuo en\([c,d]\). Dado que\(F\) converge uniformemente sobre\([c,d]\), Definición [definición:1] (específicamente, [eq:11]) implica que si\(\epsilon>0\), hay\(r \in [a,b)\) tal que

\[\left|\int_{r}^{b}f(x,y)\,dx\right|< \epsilon, \quad c \le y \le d.\]

Por lo tanto, si\(c\le y, y_{0}\le d]\), entonces

\[\begin{aligned} |F(y)-F(y_{0})|&=& \left|\int_{a}^{b}f(x,y)\,dx-\int_{a}^{b}f(x,y_{0})\,dx\right|\\ &\le&\left|\int_{a}^{r}[f(x,y)-f(x,y_{0})]\,dx\right|+ \left|\int_{r}^{b}f(x,y)\,dx\right|\\ &&+\left|\int_{r}^{b}f(x,y_{0})\,dx\right|,\end{aligned}\]

por lo

\[\label{eq:25} |F(y)-F(y_{0})| \le \int_{a}^{r}|f(x,y)-f(x,y_{0})|\,dx +2\epsilon.\]

Dado que\(f\) es uniformemente continuo en el conjunto compacto\([a,r]\times [c,d]\) (Corolario 5.2.14, p. 314), existe\(\delta>0\) tal que

\[|f(x,y)-f(x,y_{0})|<\epsilon\]

si\((x,y)\) y\((x,y_{0})\) están en\([a,r]\times [c,d]\) y\(|y-y_{0}|<\delta\). Esto y [eq:25] implican que

\[|F(y)-F(y_{0})|<(r-a)\epsilon +2\epsilon<(b-a+2)\epsilon\]

si\(y\) y\(y_{0}\) están en\([c,d]\) y\(|y-y_{0}|<\delta\). Por lo tanto\(F\) es continuo\([c,d]\), por lo que existe la integral en el lado izquierdo de [eq:24]. Denotar

\[\label{eq:26} I= \int_{c}^{d}\left(\int_{a}^{b}f(x,y)\,dx\right)\,dy.\]

Mostraremos que la integral impropia del lado derecho de [eq:24] converge a\(I\). Para ello, denotan

\[I(r)= \int_{a}^{r}\left(\int_{c}^{d}f(x,y)\,dy\right)\,dx.\]

Dado que podemos invertir el orden de integración de la función continua\(f\) sobre el rectángulo\([a,r]\times [c,d]\) (Corolario 7.2.2, p. 466),

\[I(r)=\int_{c}^{d}\left(\int_{a}^{r}f(x,y)\,dx\right)\,dy.\]

A partir de esto y [eq:26],

\[I-I(r)=\int_{c}^{d}\left(\int_{r}^{b}f(x,y)\,dx\right)\,dy.\]

Ahora supongamos\(\epsilon>0\). Dado que\(\int_{a}^{b}f(x,y)\,dx\) converge uniformemente en\([c,d]\), hay\(r_{0}\in (a,b]\) tal que

\[\left|\int_{r}^{b}f(x,y)\,dx\right|<\epsilon, \quad r_{0}<r<b,\]

así que\(|I-I(r)|<(d-c)\epsilon\) si\(r_{0}<r<b\). Por lo tanto,

\[\lim_{r\to b-}\int_{a}^{r}\left(\int_{c}^{d}f(x,y)\,dy\right)\,dx= \int_{c}^{d}\left(\int_{a}^{b}f(x,y)\,dx\right)\,dy,\]

que completa la prueba de [eq:24].

[ejemplo:10] Es sencillo verificar que

\[\int_{0}^{\infty}e^{-xy}\,dx=\frac{1}{y}, \quad y>0,\]

y la convergencia es uniforme sobre\([\rho,\infty)\) si\(\rho>0\). Por lo tanto Teorema [teorem:10] implica que si\(0<y_{1}<y_{2}\), entonces

\[\begin{aligned} \int_{y_{1}}^{y_{2}}\frac{\,dy}{y}&=& \int_{y_{1}}^{y_{2}}\left( \int_{0}^{\infty}e^{-xy}\,dx\right)\,dy =\int_{0}^{\infty}\left(\int_{y_{1}}^{y_{2}}e^{-xy}\,dy\right)\,dy \\ &=&\int_{0}^{\infty}\frac{e^{-xy_{1}}-e^{-xy_{2}}}{x}\,dx.\end{aligned}\]

Desde

\[\int_{y_{1}}^{y_{2}}\frac{dy}{y}= \log\frac{y_{2}}{y_{1}}, \quad y_{2} \ge y_{1}>0,\]

se deduce que

\[\int_{0}^{\infty}\frac{e^{-xy_{1}}-e^{-xy_{2}}}{x}\,dx= \log\frac{y_{2}}{y_{1}}, \quad y_{2} \ge y_{1}>0.\]

[ejemplo:11] Del Ejemplo [ejemplo:6],

\[\int_{0}^{\infty}\frac{\sin xy}{x}\,dx=\frac{\pi}{2}, \quad y>0,\]

y la convergencia es uniforme sobre\([\rho,\infty)\) si\(\rho>0\). Por lo tanto, el Teorema [teorem:10] implica que si\(0<y_{1}<y_{2}\), entonces

\[\begin{aligned} \frac{\pi}{2}(y_{2}-y_{1}) &=&\int_{y_{1}}^{y_{2}}\left(\int_{0}^{\infty}\frac{\sin xy}{x}\,dx\right)\,dy =\int_{0}^{\infty}\left(\int_{y_{1}}^{y_{2}}\frac{\sin xy}{x}\,dy\right)\,dx \nonumber\\ &=&\int_{0}^{\infty}\frac{\cos xy_{1}-\cos xy_{2}}{x^{2}} \,dx. \label{eq:27}\end{aligned}\]

La última integral converge uniformemente sobre\((-\infty,\infty)\) (Ejercicio 10 (h)), y por lo tanto es continua con respecto a\(y_{1}\) on\((-\infty,\infty)\), por Teorema [teorem:10]; en particular, podemos dejar entrar\(y_{1}\to0+\) [eq:27] y reemplazar\(y_{2}\) por\(y\) para obtener

\[\int_{0}^{\infty} \frac{1-\cos xy}{x^{2}}\,dx=\frac{\pi y}{2}, \quad y \ge 0.\]

El siguiente teorema es análogo al Teorema 4.4.20 (p. 252).

[teorem:11] Dejar\(f\) y\(f_{y}\) ser continuo en cualquiera\([a,b)\times [c,d]\) o\((a,b]\times [c,d].\) Supongamos que la integral impropia

\[F(y)=\int_{a}^{b}f(x,y)\,dx\]

converge para algunos\(y_{0} \in [c,d]\) y

\[G(y)=\int_{a}^{b}f_{y}(x,y)\,dx\]

converge uniformemente en\([c,d].\) Luego\(F\) converge uniformemente\([c,d]\) y es dado explícitamente por

\[F(y)=F(y_{0})+\int_{y_{0}}^{y} G(t)\,dt,\quad c\le y\le d.\]

Además,\(F\) es continuamente diferenciable en\([c,d]\); específicamente,

\[\label{eq:28} F'(y)=G(y), \quad c \le y \le d,\]

donde\(F'(c)\) y\(f_{y}(x,c)\) son derivados de la derecha, y\(F'(d)\) y\(f_{y}(x,d)\) son derivados de la izquierda\(.\)

Supondremos eso\(f\) y\(f_{y}\) seguimos adelante\([a,b)\times [c,d]\). Se puede considerar el otro caso (Ejercicio [exer:15]).

Let

\[F_{r}(y)=\int_{a}^{r}f(x,y)\,dx, \quad a\le r<b, \quad c \le y \le d.\]

Dado que\(f\) y\(f_{y}\) son continuos\([a,r]\times [c,d]\), el teorema [teorema: 1] implica que

\[F_{r}'(y)=\int_{a}^{r}f_{y}(x,y)\,dx, \quad c \le y \le d.\]

Entonces

\[\begin{aligned} F_{r}(y)&=&F_{r}(y_{0})+\int_{y_{0}}^{y}\left( \int_{a}^{r}f_{y}(x,t)\,dx\right)\,dt\\ &=&F(y_{0})+\int_{y_{0}}^{y}G(t)\,dt \\&&+(F_{r}(y_{0})-F(y_{0})) -\int_{y_{0}}^{y}\left(\int_{r}^{b}f_{y}(x,t)\,dx\right)\,dt, \quad c \le y \le d.\end{aligned}\]

Por lo tanto,

\[\begin{aligned} \left|F_{r}(y)-F(y_{0})-\int_{y_{0}}^{y}G(t)\,dt\right|& \le & |F_{r}(y_{0})-F(y_{0})|\nonumber\\ &&+\left|\int_{y_{0}}^{y} \int_{r}^{b}f_{y}(x,t)\,dx\right|\,dt. \label{eq:29}\end{aligned}\]

Ahora supongamos\(\epsilon>0\). Como hemos asumido que\(\lim_{r\to b-}F_{r}(y_{0})=F(y_{0})\) existe, hay una\(r_{0}\) en\((a,b)\) tal que

\[|F_{r}(y_{0})-F(y_{0})|<\epsilon,\quad r_{0}<r<b.\]

Ya que hemos asumido que\(G(y)\) converge para\(y\in[c,d]\), hay\(r_{1} \in [a,b)\) tal que

\[\left|\int_{r}^{b}f_{y}(x,t)\,dx\right|<\epsilon, \quad t\in[c,d], \quad r_{1}\le r<b.\]

Por lo tanto, [eq:29] rinde

\[\left|F_{r}(y)-F(y_{0})-\int_{y_{0}}^{y}G(t)\,dt\right|< \epsilon(1+|y-y_{0}|) \le \epsilon(1+d-c)\]

si\(\max(r_{0},r_{1}) \le r <b\) y\(t\in [c,d]\). Por lo tanto,\(F(y)\) converge uniformemente sobre\([c,d]\) y

\[F(y)=F(y_{0})+\int_{y_{0}}^{y}G(t)\,dt, \quad c \le y \le d.\]

Dado que\(G\) es continuo\([c,d]\) por el Teorema [teorema: 10], [eq:28] se deduce de diferenciar esto (Teorema 3.3.11, p. 141).

[Ejemplo:12] Vamos

\[I(y)=\int_{0}^{\infty}e^{-yx^{2}}\,dx, \quad y>0.\]

Desde

\[\int_{0}^{r}e^{-yx^{2}}\,dx=\frac{1}{\sqrt{y}} \int_{0}^{r\sqrt{y}} e^{-t^{2}}\,dt,\]

se deduce que

\[I(y)=\frac{1}{\sqrt{y}}\int_{0}^{\infty}e^{-t^{2}}\,dt,\]

y la convergencia es uniforme sobre\([\rho,\infty)\) si\(\rho>0\) (Ejercicio [exer:8] (i)). Para evaluar la última integral, denota\(J(\rho)=\int_{0}^{\rho}e^{-t^{2}}\,dt\); luego

\[J^{2}(\rho)=\left(\int_{0}^{\rho}e^{-u^{2}}\,du\right) \left(\int_{0}^{\rho}e^{-v^{2}}\,dv\right) =\int_{0}^{\rho}\int_{0}^{\rho}e^{-(u^{2}+v^{2})}\,du\,dv.\]

Transformación a coordenadas polares\(r=r\cos\theta\),\(v=r\sin\theta\) rendimientos

\[J^{2}(\rho)=\int_{0}^{\pi/2}\int_{0}^{\rho} re^{-r^{2}}\,dr\,d\theta =\frac{\pi(1-e^{-\rho^{2}})}{4}, \text{\quad so\quad} J(\rho)=\frac{\sqrt{\pi(1-e^{-\rho^{2}})}}{2}.\]

Por lo tanto

\[\int_{0}^{\infty}e^{-t^{2}}\,dt=\lim_{\rho\to\infty}J(\rho)= \frac{\sqrt{\pi}}{2}\text{\quad and\quad} \int_{0}^{\infty}e^{-yx^{2}}\,dx= \frac{1}{2}\sqrt{\frac{\pi}{y}}, \quad y>0.\]

Diferenciando estos\(n\) tiempos con respecto a\(y\) los rendimientos

\[\int_{0}^{\infty}x^{2n}e^{-yx^{2}}\,dx= \frac{1\cdot3\cdots(2n-1)\sqrt{\pi}}{2^{n}y^{n+1/2}}\quad y>0,\quad n=1,2,3, \dots,\]

donde Teorema [teorem:11] justifica la diferenciación para cada uno\(n\), ya que todas estas integrales convergen uniformemente sobre\([\rho,\infty)\) si\(\rho>0\) (Ejercicio [exer:8] (i)).

Algunos consejos para aplicar este teorema: Asegúrese de verificar primero que\(F(y_{0})=\int_{a}^{b}f(x,y_{0})\,dx\) converja por al menos un valor de\(y\). Si es así, diferenciar\(\int_{a}^{b}f(x,y)\,dx\) formalmente para obtener\(\int_{a}^{b}f_{y}(x,y)\,dx\). Entonces\(F'(y)=\int_{a}^{b}f_{y}(x,y)\,dx\) si\(y\) es en algún intervalo en el que esta integral impropia converge uniformemente.