2.1: Secuencias

Definición

\(\left\{a_{i}\right\}_{i \in I}\)Sea una secuencia de números reales. Decimos\(\left\{a_{i}\right\}_{i \in I}\) converge, y tiene límite\(L,\) si por cada número real\(\epsilon>0\) existe un entero\(N\) tal que

\[\left|a_{i}-L\right|<\epsilon \text { whenever } i>N.\]

Decimos una secuencia\(\left\{a_{i}\right\}_{i \in I}\) que no converge diverge.

Definiciones: secuencias no decrecientes y no crecientes

• Decimos que una secuencia\(\left\{a_{i}\right\}_{i \in I}\) es no decreciente si\(a_{i+1} \geq a_{i}\) para cada\(i \in I\) y aumentando si\(a_{i+1}>a_{i}\) para cada\(i \in I \).
• Decimos que una secuencia\(\left\{a_{i}\right\}_{i \in I}\) es no creciente si\(a_{i+1} \leq a_{i}\) para cada\(i \in I\) y decreciente si\(a_{i+1}<a_{i}\) para cada\(i \in I \).

Definición: secuencias delimitadas

Decimos que un conjunto\(A \subset \mathbb{R}\) está acotado si existe un número real\(M\) tal que\(|a| \leq M\) por cada\(a \in A .\) Decimos una secuencia\(\left\{a_{i}\right\}_{i \in I}\) de números reales está delimitada si existe un número real\(M\) tal que\(\left|a_{i}\right| \leq M\) para todos\(i \in I .\)

Teorema\(\PageIndex{1}\)

Si\(\left\{a_{i}\right\}_{i \in I}\) es una secuencia no decreciente, acotada de números reales, entonces\(\left\{a_{i}\right\}_{i \in I}\) converge.

Prueba

Ya que\(\left\{a_{i}\right\}_{i \in I}\) está acotado, el conjunto de\(A=\left\{a_{i}: i \in I\right\}\) tiene un supremo. Dejar\(L=\sup A .\) Para cualquiera debe\(\epsilon>0,\) existir\(N \in I\) tal que\(a_{N}>L-\epsilon\) (o de lo contrario\(L-\epsilon\) sería un límite superior para el\(A\) cual es menor que\(L\)). Pero entonces

\[L-\epsilon<a_{N} \leq a_{i} \leq L<L+\epsilon\]

por todo\(i \geq N,\) lo que es,

\[\left|a_{i}-L\right|<\epsilon\]

para todos\(i \geq N .\) Así\(\left\{a_{i}\right\}_{i \in I}\) converge y

\[L=\lim _{i \rightarrow \infty} a_{i}.\]

Q.E.D.

Se concluye del teorema anterior que cada secuencia no decreciente de números reales tiene un límite o no está acotada, es decir, no tiene límites.

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

Demostrar que una secuencia no creciente y acotada de números reales debe converger.

Definición

\(\left\{a_{i}\right\}_{i \in I}\)Sea una secuencia de números reales. Si por cada número real\(M\) existe un entero\(N\) tal que\(a_{i}>M\) siempre que\(i>N,\) entonces digamos la secuencia\(\left\{a_{i}\right\}_{i \in I}\) diverge al infinito positivo, denotado por

\[\lim _{i \rightarrow \infty} a_{i}=+\infty.\]

Del mismo modo, si por cada número real\(M\) existe un entero\(N\) tal que\(a_{i}<M\) siempre que\(i>N,\) entonces digamos la secuencia\(\left\{a_{i}\right\}_{i \in I}\) diverge al infinito negativo, denotado por

\[\lim _{i \rightarrow \infty} a_{i}=-\infty.\]

Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

Mostrar que una secuencia no decreciente de números reales o bien converge o diverge al infinito positivo.

Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

Mostrar que una secuencia no creciente de números reales o bien converge o diverge al infinito negativo.

2.1.1 Números reales extendidos

Es conveniente sumar los símbolos\(+\infty\) y\(-\infty\) a los números reales\(\mathbb{R} .\) Aunque\(+\infty\) ni tampoco\(-\infty\) es un número real, estamos de acuerdo con las siguientes convenciones operativas:

1. Dado cualquier número real\(r,-\infty<r<\infty\).

2. Para cualquier número real\(r\),

\[r+(+\infty)=r-(-\infty)=r+\infty=+\infty,\]

\[r+(-\infty)=r-(+\infty)=r-\infty=-\infty,\]

y

\[\frac{r}{+\infty}=\frac{r}{-\infty}=0.\]

3. Para cualquier número real\(r>0, r \cdot(+\infty)=+\infty\) y\(r \cdot(-\infty)=-\infty\).

4. Para cualquier número real\(r<0, r \cdot(+\infty)=-\infty\) y\(r \cdot(-\infty)=+\infty\).

5. Si\(a_{i}=-\infty, i=1,2,3, \ldots,\) entonces\(\lim _{i \rightarrow \infty} a_{i}=-\infty\).

6. Si\(a_{i}=+\infty, i=1,2,3, \ldots,\) entonces\(\lim _{i \rightarrow \infty} a_{i}=+\infty\).

Obsérvese que con la relación de orden definida de esta manera,\(+\infty\) es una

y\(-\infty\) es un límite inferior para cualquier conjunto\(A \subset \mathbb{R}\). Así, si\(A \subset \mathbb{R}\) no tiene un límite superior finito, entonces de\(\sup A=+\infty ;\) manera similar, si\(A \subset \mathbb{R}\) no tiene un límite inferior finito, entonces inf\(A=-\infty\).

Al trabajar con números reales extendidos, nos referimos a los elementos de\(\mathbb{R}\) como números reales finitos y los elementos\(+\infty\) y\(-\infty\) como números reales infinitos.

Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

¿Los números reales extendidos forman un campo?

2.1.2 Límite Superior e Inferior

Definición

Dejar\(\left\{a_{i}\right\}_{i \in I}\) ser una secuencia de números reales y, para cada\(i \in I,\) let\(u_{i}=\sup \left\{a_{j}: j \geq i\right\} .\) Si\(u_{i}=+\infty\) por cada\(i \in I,\) dejamos

\[\limsup _{i \rightarrow \infty} a_{i}=+\infty;\]

de lo contrario, dejamos

\[\limsup _{i \rightarrow \infty} a_{i}=\inf \left\{u_{i}: i \in I\right\}.\]

En cualquier caso, llamamos\(\liminf _{n \rightarrow \infty} a_{n}\) al límite inferior de la secuencia\(\left\{a_{i}\right\}_{i \in I}\).

Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

Dada una secuencia\(\left\{a_{i}\right\}_{i \in I},\) definir\(\left\{u_{i}\right\}_{i \in I}\) y\(\left\{l_{i}\right\}_{i \in I}\) como en las dos definiciones anteriores. Demostrar que

\[\limsup _{i \rightarrow \infty} a_{i}=\lim _{i \rightarrow \infty} u_{i}\]

y

\[\liminf _{i \rightarrow \infty} a_{i}=\lim _{i \rightarrow \infty} l_{i}.\]

Ejercicio\(\PageIndex{6}\)

Encuentra\(\limsup _{i \rightarrow \infty} a_{i}\) y\(\liminf _{i \rightarrow \infty} a_{i}\) para las secuencias\(\left\{a_{i}\right\}_{i=1}^{\infty}\) como de multado a continuación.

a.\(a_{i}=(-1)^{i}\)

b.\(a_{i}=i\)

c.\(a_{i}=2^{-i}\)

d.\(a_{i}=\frac{1}{i}\)

A la siguiente proposición se le suele llamar teorema de squeeze.

Proposición\(\PageIndex{2}\)

Supongamos\(\left\{a_{i}\right\}_{i \in I},\left\{b_{j}\right\}_{j \in J},\) y\(\left\{c_{k}\right\}_{k \in K}\) son secuencias de números reales para los que existe un número entero\(N\) tal que\(a_{i} \leq c_{i} \leq b_{i}\) siempre que\(i>N .\) si

\[\lim _{i \rightarrow \infty} a_{i}=\lim _{i \rightarrow \infty} b_{i},\]

entonces

\[\lim _{i \rightarrow \infty} c_{i}=\lim _{i \rightarrow \infty} a_{i}=\lim _{i \rightarrow \infty} b_{i}.\]

Prueba

Let\(L=\lim _{i \rightarrow \infty} a_{i}=\lim _{i \rightarrow \infty} b_{i} .\) Supongamos\(L\) es finito. Dado\(\epsilon>0,\) que existe un entero\(M\) tal que

\[\left|a_{i}-L\right|<\frac{\epsilon}{3}\]

y

\[\left|b_{i}-L\right|<\frac{\epsilon}{3}\]

siempre que\(i>M .\) Entonces

\[\left|a_{i}-b_{i}\right| \leq\left|a_{i}-L\right|+\left|L-b_{i}\right|<\frac{\epsilon}{3}+\frac{\epsilon}{3}=\frac{2 \epsilon}{3}\]

siempre\(i>M .\) que\(K\) sea el más grande de\(N\) y\(M .\) Entonces

\[\left|c_{i}-L\right| \leq\left|c_{i}-b_{i}\right|+\left|b_{i}-L\right| \leq\left|a_{i}-b_{i}\right|+\left|b_{i}-L\right|<\frac{2 \epsilon}{3}+\frac{\epsilon}{3}=\epsilon\]

siempre\(i>K .\) así lim\(c_{i}=L .\) El resultado cuando\(L\) es infinito es consecuencia de los dos ejercicios siguientes. \(\quad\)Q.E.D.

Ejercicio\(\PageIndex{7}\)

Supongamos\(\left\{a_{i}\right\}_{i \in I}\) y\(\left\{c_{k}\right\}_{k \in K}\) son secuencias para las que existe un entero\(N\) tal que\(a_{i} \leq c_{i}\) siempre\(i>N .\) Mostrar que si\(\lim _{i \rightarrow \infty} a_{i}=+\infty,\) entonces\(\lim _{i \rightarrow \infty} c_{i}=+\infty .\)

Ejercicio\(\PageIndex{8}\)

Supongamos\(\left\{b_{j}\right\}_{j \in J}\) y\(\left\{c_{k}\right\}_{k \in K}\) son secuencias para las que existe un entero\(N\) tal que\(c_{i} \leq b_{i}\) siempre\(i>N .\) Mostrar que si\(\lim _{i \rightarrow \infty} b_{i}=-\infty,\) entonces\(\lim _{i \rightarrow \infty} c_{i}=-\infty .\)

Ejercicio\(\PageIndex{9}\)

Supongamos\(\left\{a_{i}\right\}_{i \in I}\) y\(\left\{b_{j}\right\}_{j \in J}\) son secuencias de números reales con\(a_{i} \leq b_{i}\) para todos\(i\) mayores que algún número entero\(N .\) Suponiendo que ambas secuencias convergen, mostrar que

\[\lim _{\mathfrak{i} \rightarrow \infty} a_{i} \leq \lim _{i \rightarrow \infty} b_{i}.\]

Ejercicio\(\PageIndex{10}\)

Demostrar que para cualquier secuencia\(\left\{a_{i}\right\}_{i \in I}\),

\[\liminf _{i \rightarrow \infty} a_{i} \leq \limsup _{i \rightarrow \infty} n_{i}.\]

Proposición\(\PageIndex{3}\)

Supongamos que\(\left\{a_{i}\right\}_{i \in I}\) es una secuencia para la cual

\[\limsup _{i \rightarrow \infty} a_{i}=\liminf _{i \rightarrow \infty} a_{i}.\]

Entonces

\[\lim _{i \rightarrow \infty} a_{i}=\limsup _{i \rightarrow \infty} a_{i}=\liminf _{i \rightarrow \infty} a_{i}.\]

Prueba

Vamos\(u_{i}=\sup \left\{a_{k}: k \geq i\right\}\) y\(l_{i}=\inf \left\{a_{k}: k \geq i\right\} .\) Entonces\(l_{i} \leq a_{i} \leq u_{i}\) para todos\(i \in I .\) Ahora

\[\lim _{i \rightarrow \infty} l_{i}=\liminf _{i \rightarrow \infty} a_{i}=\limsup _{i \rightarrow \infty} a_{i}=\lim _{i \rightarrow \infty} u_{i},\]

por lo que el resultado se desprende del teorema squeeze. \(\quad\)Q.E.D.

Ejercicio\(\PageIndex{11}\)

Supongamos que\(u\) es un número real tal que\(u \geq 0\) y\(u<\epsilon\) para cualquier número real\(\epsilon>0 .\) Mostrar eso\(u=0\).

2.1.3 Completitud

Definición

Supongamos que\(\left\{a_{i}\right\}_{i \in I}\) es una secuencia en\(\mathbb{R} .\) Llamamos a\(\left\{a_{i}\right\}_{i \in I}\) una secuencia Cauchy si por cada\(\epsilon>0\) existe un entero\(N\) tal que

\[\left|a_{i}-a_{j}\right|<\epsilon\]

siempre que ambos\(i>N\) y\(j>N\).

Teorema\(\PageIndex{4}\)

Supongamos que\(\left\{a_{i}\right\}_{i \in I}\) es una secuencia de Cauchy en\(\mathbb{R} .\) Entonces\(\left\{a_{i}\right\}_{i \in I}\) converge a un límite\(L \in \mathbb{R}\).

Prueba

Dejemos\(u_{i}=\sup \left\{a_{k}: k \geq i\right\}\) y\(l_{i}=\inf \left\{a_{k}: k \geq i\right\} .\) dado alguno\(\epsilon>0\), existe\(N \in \mathbb{Z}\) tal que\(\left|a_{i}-a_{j}\right|<\epsilon\) para todos\(i, j>N .\) Así, para todos\(i, j>N\),\(a_{i}<a_{j}+\epsilon_{1}\) y así

\[a_{i} \leq \inf \left\{a_{j}+\epsilon: j \geq i\right\}=l_{i}+\epsilon\]

para todos\(i>N .\) Dado que\(\left\{l_{i}\right\}_{i \in I}\) es una secuencia no decreciente,

\[a_{i} \leq \sup \left\{l_{i}+\epsilon: i \in I\right\}=\liminf _{i \rightarrow \infty} a_{i}+\epsilon\]

para todos\(i>N .\) Por lo tanto

\[u_{i}=\sup \left\{a_{k}: k \geq i\right\} \leq \liminf _{i \rightarrow \infty} a_{i}+\epsilon\]

para todos\(i>N .\) Así

\[\limsup _{i \rightarrow \infty} a_{i}=\inf \left\{u_{i}: i \in I\right\} \leq \liminf _{i \rightarrow \infty} a_{i}+\epsilon.\]

Ya que\(\liminf _{i \rightarrow \infty} a_{i} \leq \limsup _{i \rightarrow \infty} a_{i},\) se deduce que

\[\left|\limsup _{i \rightarrow \infty} a_{i}-\liminf _{i \rightarrow \infty} a_{i}\right| \leq \epsilon.\]

ya que esto es cierto para cada que\(\epsilon>0,\) tenemos\(\lim \sup _{i \rightarrow \infty} a_{i}=\lim _{i \rightarrow \infty} \inf a_{i},\) y así\(\left\{a_{i}\right\}_{i \in I}\) converge por la Proposición\(2.1 .3 .\)\(\quad\) Q.E.D.

Como consecuencia del teorema anterior, decimos que\(\mathbb{R}\) es un espacio métrico completo.

Ejercicio\(\PageIndex{12}\)

Supongamos\(A \subset \mathbb{R}, A \neq \emptyset,\) y\(s=\sup A .\) Demostrar que existe una secuencia\(\left\{a_{i}\right\}_{i=1}^{\infty}\) con\(a_{i} \in A\) tal que\(\lim _{i \rightarrow \infty} a_{i}=s\).

Ejercicio\(\PageIndex{13}\)

Dado un número real\(x \geq 0,\) muestran que existe un número real\(s \geq 0\) tal que\(s^{2}=x\).

Dejamos\(\sqrt{x}\) denotar el número\(s\) en el ejercicio anterior, la raíz cuadrada de\(x\).

2.1.4 Algunos resultados básicos sobre las secuencias

Proposición\(\PageIndex{5}\)

Supongamos que\(\left\{x_{i}\right\}_{i \in I}\) es una secuencia convergente en\(\mathbb{R}, \alpha\) es un número real, y\(L=\lim _{i \rightarrow \infty} x_{i} .\) Entonces la secuencia\(\left\{\alpha x_{i}\right\}_{i \in I}\) oonverges y

\[\lim _{i \rightarrow \infty} \alpha x_{i}=\alpha L.\]

Prueba

Si\(\alpha=0,\) entonces converge\(\left\{\alpha x_{i}\right\}_{i \in I}\) claramente a\(0 .\) Así asume\(\alpha \neq 0 .\) Dado\(\epsilon>0,\) elegir un número entero\(N\) tal que

\[\left|x_{i}-L\right|<\frac{\epsilon}{|\alpha|}\]

siempre que\(i>N .\) entonces para cualquiera\(i>N\) tenemos

\[\left|\alpha x_{i}-\alpha L\right|=|\alpha|\left|x_{i}-L\right|<|\alpha| \frac{\epsilon}{|\alpha|}=\epsilon.\]

Por lo tanto\(\lim _{i \rightarrow \infty} \alpha x_{i}=\alpha L\). \(\quad\)Q.E.D.

Proposición\(\PageIndex{6}\)

Supongamos\(\left\{x_{i}\right\}_{i \in I}\) y\(\left\{y_{i}\right\}_{i \in I}\) son secuencias convergentes en\(\mathbb{R}\) con\(L=\lim _{i \rightarrow \infty} x_{i}\) y\(M=\lim _{i \rightarrow \infty} y_{i} .\) Entonces la secuencia\(\left\{x_{i}+y_{i}\right\}_{i \in I}\) converge y

\[\lim _{i \rightarrow \infty}\left(x_{i}+y_{i}\right)=L+M.\]

Ejercicio\(\PageIndex{14}\)

Demostrar la proposición anterior.

Proposición\(\PageIndex{7}\)

Supongamos\(\left\{x_{i}\right\}_{i \in I}\) y\(\left\{y_{i}\right\}_{i \in I}\) son secuencias convergentes en\(\mathbb{R}\) con\(L=\lim _{i \rightarrow \infty} x_{i}\) y\(M=\lim _{i \rightarrow \infty} y_{i} .\) Entonces la secuencia\(\left\{x_{i} y_{i}\right\}_{i \in I}\) converge y

\[\lim _{i \rightarrow \infty} x_{i} y_{i}=L M.\]

Ejercicio\(\PageIndex{15}\)

Demostrar la proposición anterior.

Proposición\(\PageIndex{8}\)

Supongamos\(\left\{x_{i}\right\}_{i \in I}\) y\(\left\{y_{i}\right\}_{i \in I}\) son secuencias convergentes en\(\mathbb{R}\) con\(L=\lim _{i \rightarrow \infty} x_{i}, M=\lim _{i \rightarrow \infty} y_{i},\) y\(y_{i} \neq 0\) para todos\(i \in I .\) Si\(M \neq 0,\) entonces la secuencia\(\left\{\frac{x_{i}}{y_{i}}\right\}_{i \in I}\) converge y

\[\lim _{i \rightarrow \infty} \frac{x_{i}}{y_{i}}=\frac{L}{M}.\]

Prueba

Ya que\(M \neq 0\) y\(M=\lim _{i \rightarrow \infty} y_{i},\) podemos elegir un entero\(N\) tal que

\[\left|y_{i}\right|>\frac{|M|}{2}\]

siempre que\(i>N .\) Let\(B\) sea un límite superior para\(\left\{\left|x_{i}\right|: i \in I\right\} \cup\left\{\left|y_{i}\right|: i \in I\right\} .\) Dado cualquiera\(\epsilon>0,\) podemos elegir un entero\(P\) tal que

\[\left|x_{i}-L\right|<\frac{M^{2} \epsilon}{4 B}\]

y

\[\left|y_{i}-M\right|<\frac{M^{2} \epsilon}{4 B}\]

cada vez\(i>P .\)\(K\) Sea el más grande de\(N\) y\(P .\) Entonces, para cualquiera\(i>K,\) que tengamos

\[\begin{aligned}\left|\frac{x_{i}}{y_{i}}-\frac{L}{M}\right| &=\frac{\left|x_{i} M-y_{i} L\right|}{\left|y_{i} M\right|} \\ &=\frac{\left|x_{i} M-x_{i} y_{i}+x_{i} y_{i}-y_{i} L\right|}{\left|y_{i} M\right|} \\ & \leq \frac{\left|x_{i}\right|\left|M-y_{i}\right|+\left|y_{i}\right|\left|x_{i}-L\right|}{\left|y_{i} M\right|} \\ &<\frac{B \frac{M^{2} \epsilon}{4 B}+B \frac{M^{2} \epsilon}{4 B}}{\frac{M^{2}}{2}} \\ &=\epsilon . \end{aligned}\]

Así

\[\lim _{i \rightarrow \infty} \frac{x_{i}}{y_{i}}=\frac{L}{M}.\]

Q.E.D.

Ejercicio\(\PageIndex{16}\)

a. demuéstralo\(\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n}=0\).

b. Demostrar que\(\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n^{2}}=0\) mediante (i) usando la definición de límite directamente y luego (ii) usando resultados previos.

Ejercicio\(\PageIndex{17}\)

Mostrar que para cualquier entero positivo\(k\),

\[\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n^{k}}=0.\]

Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

Podemos combinar las propiedades de esta sección para calcular

\[\begin{aligned} \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{5 n^{3}+3 n-6}{2 n^{3}+2 n^{2}-7} &=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{5+\frac{3}{n^{2}}-\frac{6}{n^{3}}}{2+\frac{2}{n}-\frac{7}{n^{3}}} \\ &=\frac{\lim _{n \rightarrow \infty} 5+3 \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n^{2}}-6 \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n^{3}}}{\lim _{n \rightarrow \infty} 2+2 \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n}-7 \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n^{3}}} \\ &=\frac{5+0+0}{2+0+0} \\ &=\frac{5}{2}. \end{aligned}\]

Ejercicio\(\PageIndex{18}\)

Evaluar

\[\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{3 n^{5}+8 n^{3}-6 n}{8 n^{5}+2 n^{4}-31},\]

mostrando cuidadosamente cada paso.

Proposición\(\PageIndex{9}\)

Supongamos que\(\left\{x_{i}\right\}_{i \in I}\) es una secuencia convergente de números reales no negativos con\(L=\lim _{i \rightarrow \infty} x_{i} .\) Entonces la secuencia\(\{\sqrt{x_{i}}\}_{i \in I}\) converge y

\[\lim _{i \rightarrow \infty} \sqrt{x_{i}}=\sqrt{L}.\]

Prueba

Dejemos\(\epsilon>0\) que se den. Supongamos\(L>0\) y anote que

\[\left|x_{i}-L\right|=|\sqrt{x_{i}}-\sqrt{L}||\sqrt{x_{i}}+\sqrt{L}|\]

implica que

\[|\sqrt{x_{i}}-\sqrt{L}|=\frac{\left|x_{i}-L\right|}{|\sqrt{x_{i}}+\sqrt{L}|}\]

para cualquier\(i \in I .\) Elija un entero\(N\) tal que

\[\left|x_{i}-L\right|<\sqrt{L} \epsilon\]

siempre que\(i>N .\) Entonces, para cualquier\(i>N\),

\[|\sqrt{x_{i}}-\sqrt{L}|=\frac{\left|x_{i}-L\right|}{|\sqrt{x_{i}}+\sqrt{L}|}<\frac{\sqrt{L} \epsilon}{\sqrt{L}}=\epsilon.\]

De ahí\(\lim _{i \rightarrow \infty} \sqrt{x_{i}}=\sqrt{L}\).

Si es\(L=0, \lim _{i \rightarrow \infty} x_{i}=0,\) así podemos elegir un entero\(N\) tal que\(\left|x_{i}\right|<\epsilon^{2}\) para todos\(i>N .\) Entonces

\[|\sqrt{x_{i}}|<\epsilon\]

siempre que sea\(i>N,\) así\(\lim _{i \rightarrow \infty} \sqrt{x_{i}}=0\). \(\quad\)Q.E.D.

Ejercicio\(\PageIndex{19}\)

Evaluar

\[\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\sqrt{3 n^{2}+1}}{5 n+6},\]

mostrando cuidadosamente cada paso.

Ejercicio\(\PageIndex{20}\)

Dados números reales\(r>0\) y\(\alpha,\) muestran que\((\mathrm{a}) \alpha r<r\) si\(0<\alpha<1\) y\((\mathrm{b}) r<\alpha r\) si\(\alpha>1\).

Proposición\(\PageIndex{10}\)

Si\(x \in \mathbb{R}\) y\(|x|<1,\) entonces

\[\lim _{n \rightarrow \infty} x^{n}=0.\]

Prueba

Primero asumimos\(x \geq 0\). Entonces la secuencia\(\left\{x^{n}\right\}_{n=1}^{\infty}\) es no creciente y delimitada a continuación por 0. De ahí que la secuencia converja. Vamos\(L=\lim _{n \rightarrow \infty} x^{n} .\) Entonces

\[L=\lim _{n \rightarrow \infty} x^{n}=x \lim _{n \rightarrow \infty} x^{n-1}=x L,\]

de lo que se deduce que\(L(1-x)=0 .\) ya que\(1-x>0,\) debemos tener\(L=0\). El resultado para\(x<0\) sigue del siguiente ejercicio. \(\quad\)Q.E.D.

Ejercicio\(\PageIndex{21}\)

Demuéstralo\(\lim _{n \rightarrow \infty}\left|a_{n}\right|=0\) si y solo si\(\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=0\).

2.1.5 Subsecuencias

Definición

Dada una secuencia,\(\left\{x_{i}\right\}_{i=m}^{\infty},\) supongamos que\(\left\{n_{k}\right\}_{k=1}^{\infty}\) es una secuencia creciente de números enteros con

\[m \leq n_{1}<n_{2}<n_{3}<\cdots .\]

Entonces llamamos a la secuencia\(\left\{x_{n_{k}}\right\}_{k=1}^{\infty}\) una subsecuencia de\(\left\{x_{i}\right\}_{i=m}^{\infty} .\)

Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

La secuencia\(\left\{x_{2 k}\right\}_{k=1}^{\infty}\) es una subsecuencia de la secuencia\(\left\{x_{i}\right\}_{i=1}^{\infty} .\) Por ejemplo,\(\left\{\frac{1}{2 i}\right\}_{i=1}^{\infty}\) es una subsecuencia de\(\left\{\frac{1}{i}\right\}_{i=1}^{\infty}\).

Ejercicio\(\PageIndex{22}\)

Supongamos que\(\left\{x_{i}\right\}_{i=m}^{\infty}\) converge con\(\lim _{i \rightarrow \infty} x_{i}=L .\) Mostrar que cada subsecuencia\(\left\{x_{n_{k}}\right\}_{k=1}^{\infty}\) de\(\left\{x_{i}\right\}_{i=m}^{\infty}\) también converge y\(\lim _{k \rightarrow \infty} x_{n_{k}}=L\).

Ejercicio\(\PageIndex{23}\)

Supongamos\(\left\{x_{i}\right\}_{i=m}^{\infty}\) diverge para\(+\infty .\) Mostrar que cada subsecuencia\(\left\{x_{n_{k}}\right\}_{k=1}^{\infty}\) de\(\left\{x_{i}\right\}_{i=m}^{\infty}\) también diverge a\(+\infty\).

Ejercicio\(\PageIndex{24}\)

Supongamos\(\left\{x_{i}\right\}_{i=m}^{\infty}\) diverge para\(-\infty .\) Mostrar que cada subsecuencia\(\left\{x_{n_{k}}\right\}_{k=1}^{\infty}\) de\(\left\{x_{i}\right\}_{i=m}^{\infty}\) también diverge a\(-\infty\).

Definición

Dada una secuencia\(\left\{x_{i}\right\}_{i=m}^{\infty},\) llamamos a cualquier número real extendido\(\lambda\) que es el límite de una subsecuencia de\(\left\{x_{i}\right\}_{i=m}^{\infty}\) un límite posterior de\(\left\{x_{i}\right\}_{i=m}^{\infty}\).

Ejemplo\(\PageIndex{3}\)

\(-1\)y 1 son ambos límites subsecuenciales de\(\left\{(-1)^{i}\right\}_{i=0}^{\infty}\).

Ejercicio\(\PageIndex{25}\)

Supongamos que la secuencia no\(\left\{x_{i}\right\}_{i=m}^{\infty}\) está acotada. Demostrar que cualquiera\(-\infty\) o\(+\infty\) es un límite subsecuencial de\(\left\{x_{i}\right\}_{i=m}^{\infty} .\).

Proposición\(\PageIndex{11}\)

Supongamos que\(\Lambda\) es el conjunto de todos los límites subsecuenciales de la secuencia\(\left\{x_{i}\right\}_{i=m}^{\infty} .\) Entonces\(\Lambda \neq \emptyset\).

Prueba

Por el ejercicio anterior, la proposición es verdadera si no\(\left\{x_{i}\right\}_{i=m}^{\infty}\) está acotada. Entonces supongamos que\(\left\{x_{i}\right\}_{i=m}^{\infty}\) está acotado y elige números reales\(a\) y\(b\) tal que\(a \leq x_{i} \leq b\) para todos\(i \geq m\). Construir secuencias\(\left\{a_{i}\right\}_{i=1}^{\infty}\) y de\(\left\{b_{i}\right\}_{i=1}^{\infty}\) la siguiente manera: Let\(a_{1}=a\) y\(b_{1}=b\). Para\(i \geq 1,\) dejar

\[c=\frac{a_{i-1}+b_{i-1}}{2}.\]

Si existe un entero\(N\) tal que\(a_{i-1} \leq x_{j} \leq c\) para todos\(j>N,\) let\(a_{i}=a_{i-1}\) y de\(b_{i}=c ;\) otra manera, let\(a_{i}=c\) y\(b_{i}=b_{i-1} .\) Let\(n_{1}=m\) y, para\(k=2,3,4, \ldots,\) let\(n_{k}\) ser el entero más pequeño para el cual\(n_{k}>n_{k-1}\) y\(a_{k} \leq x_{n_{k}} \leq b_{k}\) Then\(\left\{x_{n_{k}}\right\}_{k=1}^{\infty}\) es una secuencia de Cauchy que es una subsecuencia de\(\left\{x_{i}\right\}_{i=m}^{\infty} .\) Así\(\left\{x_{n_{k}}\right\}_{k=1}^{\infty}\) converge y\(\Lambda \neq 0 .\)\(\quad\) Q.E.D.

Ejercicio\(\PageIndex{26}\)

Supongamos\(A \subset \mathbb{R}\) y\(B \subset \mathbb{R}\) con\(a \leq b\) para cada\(a \in A\) y\(b \in B .\) Demuestre eso\(\sup A \leq \inf B\).

Proposición\(\PageIndex{12}\)

\(\Lambda\)Sea el conjunto de límites subsecuenciales de una secuencia\(\left\{x_{i}\right\}_{i=m}^{\infty} .\) Entonces

\[\limsup _{i \rightarrow \infty} x_{i}=\sup \Lambda .\]

Prueba

Vamos\(s=\sup \Lambda\) y, por\(i \geq m, u_{i}=\sup \left\{x_{j}: j \geq i\right\} .\) Ahora ya que\(x_{j} \leq u_{i}\) para todos\(j \geq i,\) se deduce que\(\lambda \leq u_{i}\) para cada\(\lambda \in \Lambda\) y\(i \geq m .\) De ahí, del ejercicio anterior,\(s \leq \inf \left\{u_{i}: i \geq m\right\}=\limsup _{i \rightarrow \infty} x_{i}\).

Ahora supongamos\(s<\limsup _{i \rightarrow \infty} x_{i}\). Entonces existe un número real\(t\) tal que\(s<t<\lim \sup _{i \rightarrow \infty} x_{i} .\) En particular,\(t<u_{i}\) para cada\(i \geq m .\) Let\(n_{1}\) ser el entero más pequeño para el cual\(n_{1} \geq m\) y\(x_{n_{1}}>t .\) Para\(k=2,3,4, \ldots,\) dejar\(n_{k}\) ser el entero más pequeño para el cual\(n_{k}>n_{k-1}\) y\(x_{n_{k}}>t .\) Entonces\(\left\{x_{n_{k}}\right\}_{k=1}^{\infty}\) es un subsecuencia de la\(\left\{x_{i}\right\}_{i=m}^{\infty}\) cual tiene un límite subsecuencial\(\lambda \geq t\). Ya que también\(\lambda\) es entonces un límite subsecuencial de\(\left\{x_{i}\right\}_{i=m}^{\infty},\) tenemos\(\lambda \in \Lambda\) y\(\lambda \geq t>s,\) contradictorio\(s=\sup \Lambda .\) De ahí que debemos tener\(\lim \sup _{i \rightarrow \infty} x_{i}=\sup \Lambda .\)\(\quad\) Q.E.D.

Ejercicio\(\PageIndex{27}\)

Dejar\(\Lambda\) ser el conjunto de límites subsecuenciales de una secuencia\(\left\{x_{i}\right\}_{i=m}^{\infty} .\) Mostrar que

\[\liminf _{i \rightarrow \infty} x_{i}=\inf \Lambda .\]