2.2: Serie Infinita

Definición

Dada una secuencia\(\left\{a_{i}\right\}_{i=m}^{\infty},\) deja\(\left\{s_{n}\right\}_{n=m}^{\infty}\) ser la secuencia definida por

\[s_{n}=\sum_{i=m}^{n} a_{i}.\]

Llamamos a la secuencia\(\left\{s_{n}\right\}_{n=m}^{\infty}\) una serie infinita. Si\(\left\{s_{n}\right\}_{n=m}^{\infty}\) converge, llamamos

\[s=\lim _{n \rightarrow \infty} s_{n}\]

la suma de la serie. Para cualquier entero\(n \geq m,\) llamamos\(s_{n}\) una suma parcial de la serie.

Usaremos la notación

\[\sum_{i=1}^{\infty} a_{i}\]

para denotar ya sea\(\left\{s_{n}\right\}_{n=m}^{\infty},\) la serie infinita, o\(s\), la suma de la serie infinita. Por supuesto, si\(\left\{s_{n}\right\}_{n=m}^{\infty}\) diverge, entonces decimos\(\sum_{i=m}^{\infty} a_{i}\) divergencias.

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

Supongamos que\(\sum_{i=m}^{\infty} a_{i}\) converge y\(\beta \in \mathbb{R} .\) Show que\(\sum_{i=m}^{\infty} \beta a_{i}\) también converge y

\[\sum_{i=m}^{\infty} \beta a_{i}=\beta \sum_{i=m}^{\infty} a_{i}.\]

Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

Supongamos ambos\(\sum_{i=m}^{\infty} a_{i}\) y\(\sum_{i=m}^{\infty} b_{i}\) convergen. Demostrar que\(\sum_{i=m}^{\infty}\left(a_{i}+b_{i}\right)\) converge y

\[\sum_{i=m}^{\infty}\left(a_{i}+b_{i}\right)=\sum_{i=m}^{\infty} a_{i}+\sum_{i=m}^{\infty} b_{i}.\]

Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

Dada una serie infinita\(\sum_{i=m}^{\infty} a_{i}\) y un\(k \geq m,\) espectáculo entero que\(\sum_{i=m}^{\infty} a_{i}\) converge si y sólo si\(\sum_{i=k}^{\infty} a_{i}\) converge.

Proposición\(\PageIndex{1}\)

Supongamos que\(\sum_{i=m}^{\infty} a_{i}\) converge. Entonces\(\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=0\).

Prueba

Vamos\(s_{n}=\sum_{i=m}^{n} a_{i}\) y\(s=\lim _{n \rightarrow \infty} s_{n} .\) Ya\(a_{n}=s_{n}-s_{n-1},\) que tenemos\(\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=\lim _{n \rightarrow \infty}\left(s_{n}-s_{n-1}\right)=\lim _{n \rightarrow \infty} s_{n}-\lim _{n \rightarrow \infty} s_{n-1}=s-s=0\). Q.E.D.

Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

Deje que\(s=\sum_{i=0}^{\infty}(-1)^{n} .\) tenga en cuenta que

\[s=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}=1-\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}=1-s, \]

de lo que se deduce que\(s=\frac{1}{2} .\) ¿Es esto correcto?

Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

Demostrar que para cualquier número real\(x \neq 1\),

\[s_{n}=\sum_{i=0}^{n} x^{i}=\frac{1-x^{n+1}}{1-x} .\]

(Pista: Tenga en cuenta que\(\left.x^{n+1}=s_{n+1}-s_{n}=1+x s_{n}-s_{n} .\right)\)

Teorema\(\PageIndex{2}\)

Para cualquier número real\(x\) con\(|x|<1\),

\[\sum_{n=0}^{\infty} x^{n}=\frac{1}{1-x}.\]

Prueba

Si\(s_{n}=\sum_{i=0}^{n} x^{i},\) entonces, por el ejercicio anterior,

\[s_{n}=\frac{1-x^{n+1}}{1-x}.\]

De ahí

\[\sum_{n=0}^{\infty} x^{n}=\lim _{n \rightarrow \infty} s_{n}=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1-x^{n+1}}{1-x}=\frac{1}{1-x}.\]

2.2.1 Pruebas de comparación

Las dos proposiciones siguientes se denominan juntas como prueba de comparación.

Proposición\(\PageIndex{3}\)

Supongamos\(\sum_{i=m}^{\infty} a_{i}\) y\(\sum_{i=k}^{\infty} b_{i}\) son series infinitas para las que existe un entero\(N\) tal que\(0 \leq a_{i} \leq b_{i}\) cada vez que\(i \geq N .\) Si\(\sum_{i=k}^{\infty} b_{i}\) converge, entonces\(\sum_{i=m}^{\infty} a_{i}\) converge.

Prueba

Por Ejercicio 2.2 .3 Sólo necesitamos mostrar que\(\sum_{i=N}^{\infty} a_{i}\) converja. \(s_{n}\)Sea la enésima suma parcial de\(\sum_{i=N}^{\infty} a_{i}\) y deje\(t_{n}\) ser la enésima suma parcial de\(\sum_{i=N}^{\infty} b_{i} .\) Ahora

\[s_{n+1}-s_{n}=a_{n+1} \geq 0\]

de cada\(n \geq N,\) modo\(\left\{s_{n}\right\}_{n=N}^{\infty}\) es una secuencia no decreciente. Además,

\[s_{n} \leq t_{n} \leq \sum_{i=N}^{\infty} b_{i}<+\infty\]

para cada\(n \geq N .\) Así\(\left\{s_{n}\right\}_{n=N}^{\infty}\) es una secuencia no decreciente, acotada, y así converge.

Proposición\(\PageIndex{4}\)

Supongamos\(\sum_{i=m}^{\infty} a_{i}\) y\(\sum_{i=k}^{\infty} b_{i}\) son series infinitas para las que existe un entero\(N\) tal que\(0 \leq a_{i} \leq b_{i}\) siempre que\(i \geq N .\) si\(\sum_{i=k}^{\infty} a_{i}\) diverge entonces\(\sum_{i=m}^{\infty} b_{i}\) diverge.

Prueba

Por el Ejercicio 2.2 .3 sólo necesitamos mostrar que\(\sum_{i=N}^{\infty} b_{i}\) diverge. Dejar\(s_{n}\) ser la enésima suma parcial de\(\sum_{i=N}^{\infty} a_{i}\) y dejar\(t_{n}\) ser la enésima suma parcial de\(\sum_{i=N}^{\infty} b_{i} .\) Ahora\(\left\{s_{n}\right\}_{n=N}^{\infty}, N\) es una secuencia no decreciente que diverge, y así debemos tener\(\lim _{n \rightarrow \infty} s_{n}=+\infty .\) Así dado cualquier número real\(M\) existe un entero\(L\) tal que

\[M<s_{n} \leq t_{n}\]

siempre que\(n>L .\) De ahí\(\lim _{n \rightarrow \infty} t_{n}=+\infty\) y\(\sum_{i=m}^{\infty} b_{i}\) diverja. (\ quad\) Q.E.D.

Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

Considera la serie infinita

\[\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n !}=1+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3 !}+\frac{1}{4 !}+\cdots .\]

Ahora para\(n=1,2,3, \dots,\) que tenemos

\[0<\frac{1}{n !} \leq \frac{1}{2^{n-1}}.\]

Desde

\[\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^{n-1}}\]

converge, se deduce que

\[\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n !}\]

converge. Además,

\[2<\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n !}<1+\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^{n-1}}=1+\frac{1}{1-\frac{1}{2}}=3.\]

Dejamos

\[e=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n !}.\]

Proposición\(\PageIndex{5}\)

\(e \notin \mathbb{Q}\).

Prueba

Supongamos\(e=\frac{p}{q}\) donde\(p, q \in \mathbb{Z}^{+} .\) Let

\[a=q !\left(e-\sum_{i=0}^{q} \frac{1}{n !}\right).\]

Entonces\(a \in \mathbb{Z}^{+}\) desde\(q! e=(q-1) ! p\) y\(n !\) divide\(q !\) cuando\(n \leq q .\) Al mismo tiempo

\[\begin{aligned} a &=q ! \left(\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n !}-\sum_{i=0}^{q} \frac{1}{n !}\right) \\ &=q ! \sum_{n=q+1}^{\infty} \frac{1}{n !} \\ &=\left(\frac{1}{q+1}+\frac{1}{(q+1)(q+2)}+\frac{1}{(q+1)(q+2)(q+3)}+\cdots \right) \\ &= \frac{1}{q+1} \left(1+\frac{1}{q+2}+\frac{1}{(q+2)(q+3)}+\cdots\right) \\ &=\frac{1}{q+1} \left(1+\frac{1}{q+2}+\frac{1}{(q+2)(q+3)}+\cdots\right) \\ &<\frac{1}{q+1}\left(1+\frac{1}{q+1}+\frac{1}{(q+1)^{2}}+\cdots\right) \\ &=\frac{1}{q+1} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(q+1)^{n}} \\ &=\frac{1}{q+1}\left(\frac{1}{1-\frac{1}{q+1}}\right) \\ &=\frac{1}{q}\end{aligned}\]

Dado que esto es imposible, concluimos que no\(q\) existen tales enteros\(p\) y. \(\quad\)Q.E.D.

Definición

Llamamos a un número real que no es un número racional un número irracional.

Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

Eso lo hemos visto\(\sqrt{2}\) y\(e\) son números irracionales.

Proposición\(\PageIndex{6}\)

Supongamos\(\sum_{i=m}^{\infty} a_{i}\) y\(\sum_{i=k}^{\infty} b_{i}\) son series infinitas para las que existe un entero\(N\) y un número real\(M>0\) tal que\(0 \leq a_{i} \leq M b_{i}\) siempre que\(i \geq N .\) Si\(\sum_{i=k}^{\infty} b_{i}\) converja, entonces\(\sum_{i=m}^{\infty} a_{i}\) converge.

Prueba

Ya que\(\sum_{i=k}^{\infty} M b_{i}\) converge cada vez que\(\sum_{i=k}^{\infty} b_{i}\) lo hace, el resultado se desprende de la prueba de comparación. \(\quad\)Q.E.D.

Ejercicio\(\PageIndex{6}\)

Supongamos que\(\sum_{i=m}^{\infty} a_{i}\) diverge. Demostrar que\(\sum_{i=m}^{\infty} \beta a_{i}\) diverge para cualquier número real\(\beta \neq 0\).

Proposición\(\PageIndex{7}\)

Supongamos\(\sum_{i=m}^{\infty} a_{i}\) y\(\sum_{i=k}^{\infty} b_{i}\) son infinitas series para las que existe un entero\(N\) y un número real\(M>0\) tal que\(0 \leq a_{i} \leq M b_{i}\) siempre que\(i \geq N .\) si\(\sum_{i=m}^{\infty} a_{i}\) diverge, entonces\(\sum_{i=k}^{\infty} b_{i}\) diverge.

Prueba

Por la prueba de comparación,\(\sum_{i=m}^{\infty} M b_{i}\) diverge. De ahí que por el ejercicio anterior,\(\sum_{i=m}^{\infty} b_{i}\) también diverja.

Llamamos a los resultados de los dos ejercicios siguientes, que son consecuencias directas de las dos últimas proposiciones, la prueba de comparación de límites.

Ejercicio\(\PageIndex{7}\)

Supongamos\(\sum_{i=m}^{\infty} a_{i}\) y\(\sum_{i=m}^{\infty} b_{i}\) son infinitas series para las cuales\(a_{i} \geq 0\) y\(b_{i}>0\) para todos\(i \geq m .\) Mostrar que si\(\sum_{i=m}^{\infty} b_{i}\) converge y

\[\lim _{i \rightarrow \infty} \frac{a_{i}}{b_{i}}<+\infty ,\]

luego\(\sum_{i=m}^{\infty} a_{i}\) converge.

Ejercicio\(\PageIndex{8}\)

Supongamos\(\sum_{i=m}^{\infty} a_{i}\) y\(\sum_{i=m}^{\infty} b_{i}\) son infinitas series para las cuales\(a_{i} \geq 0\) y\(b_{i}>0\) para todos\(i \geq m .\) Mostrar que si\(\sum_{i=m}^{\infty} a_{i}\) diverge y

\[\lim _{i \rightarrow \infty} \frac{a_{i}}{b_{i}}<+\infty ,\]

luego\(\sum_{i=m}^{\infty} b_{i}\) diverge.

Ejercicio\(\PageIndex{9}\)

Demostrar que

\[\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n 2^{n}}\]

converge.

Ejercicio\(\PageIndex{10}\)

Demostrar que

\[\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n}}{n !}\]

converge para cualquier número real\(x \geq 0\).

Ejercicio\(\PageIndex{11}\)

\(S\)Sea el conjunto de todas las sumas finitas de números en el conjunto\(\left\{a_{1}, a_{2}, a_{3}, \dots\right\},\) donde\(a_{i} \geq 0\) para\(i=1,2,3, \dots\) Eso es

\[S=\left\{\sum_{i \in J} a_{i}: J \subset\{1,2,3, \ldots, n\} \text { for some } n \in \mathbb{Z}^{+}\right\}.\]

Mostrar que\(\sum_{i=1}^{\infty} a_{i}\) converge si y solo si\(\sup S<\infty,\) en cuyo caso

\[\sum_{i=1}^{\infty} a_{i}=\sup S.\]

Una consecuencia del ejercicio anterior es que la suma de una secuencia de números no negativos depende únicamente de los números que comiencen a sumar, y no del orden en que se agreguen. Es decir, si\(\varphi: \mathbb{Z}^{+} \rightarrow \mathbb{Z}^{+}\) es uno a uno y hacia,\(\sum_{i=1}^{\infty} a_{i}\) converge si y sólo si\(\sum_{i=1}^{\infty} a_{\varphi(i)}\) converge, y, en ese caso,

\[\sum_{i=1}^{\infty} a_{i}=\sum_{i=1}^{\infty} a_{\varphi(i)}.\]