3.1: Representaciones Binarias

Supongamos que$\left\{a_{n}\right\}_{n=1}^{\infty}$ es una secuencia tal que, para cada uno$a_{n}=0$ o$n=1,2,3, \ldots,$ bien o$a_{n}=1$ y, para cualquier entero$N,$ existe un entero$n>N$ tal que$a_{n}=0 .$ Entonces

$$0 \leq \frac{a_{n}}{2^{n}} \leq \frac{1}{2^{n}}$$

por$n=1,2,3, \dots,$ lo que la serie infinita

$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n}}{2^{n}}$$

converge a algún número real$x$ por la prueba de comparación. Por otra parte,

$$0 \leq x<\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^{n}}=1.$$

Llamamos a la secuencia$\left\{a_{n}\right\}_{n=1}^{\infty}$ la representación binaria para$x,$ y escribimos

$$x=.a_{1} a_{2} a_{3} a_{4} \dots.$$

Ejercicio$\PageIndex{1}$

Supongamos$\left\{a_{n}\right\}_{n=1}^{\infty}$ y$\left\{b_{n}\right\}_{n=1}^{\infty}$ son ambas representaciones binarias para$x .$ Mostrar eso$a_{n}=b_{n}$ para$n=1,2,3, \ldots$.

Ahora supongamos$x \in \mathbb{R}$ con$0 \leq x<1$. Construye una secuencia de la$\left\{a_{n}\right\}_{n=1}^{\infty}$ siguiente manera: Si se$0 \leq x<\frac{1}{2},$ deja$a_{1}=0 ;$ lo contrario, let$a_{1}=1 .$ For$n=1,2,3, \ldots,$ let

$$s_{n}=\sum_{i=1}^{n} \frac{a_{i}}{2^{i}}$$

y establecer$a_{n+1}=1$ si

$$s_{n}+\frac{1}{2^{n+1}} \leq x$$

y de$a_{n+1}=0$ otra manera.

lema$\PageIndex{1}$

Con la notación anterior,

$$s_{n} \leq x<s_{n}+\frac{1}{2^{n}}$$

para$n=1,2,3, \ldots$.

Prueba

Desde

$$s_{1}=\left\{\begin{array}{ll}{0,} & {\text { if } 0 \leq x<\frac{1}{2}} \\ {\frac{1}{2},} & {\text { if } \frac{1}{2} \leq x<1}\end{array}\right.$$

es claro que$s_{1} \leq x<s_{1}+\frac{1}{2} .$ Así supongamos$n>1$ y$s_{n-1} \leq x<s_{n-1}+\frac{1}{2^{n-1}}$. Si$s_{n-1}+\frac{1}{2 n} \leq x,$ entonces$a_{n}=1$ y

$$s_{n}=s_{n-1}+\frac{1}{2^{n}} \leq x<s_{n-1}+\frac{1}{2^{n-1}}=s_{n-1}+\frac{1}{2^{n}}+\frac{1}{2^{n}}=s_{n}+\frac{1}{2^{n}}.$$

Si$x<s_{n-1}+\frac{1}{2^{n}},$ entonces$a_{n}=0$ y

$$s_{n}=s_{n-1} \leq x<s_{n-1}+\frac{1}{2^{n}}=s_{n}+\frac{1}{2^{n}}.$$

Q.E.D.

Proposición$\PageIndex{2}$

Con la notación anterior,

$$x=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n}}{2^{n}}.$$

Prueba

Dado$\epsilon>0,$ elegir un entero$N$ tal que$\frac{1}{2^{n}}<\epsilon .$ Entonces, para cualquiera$n>N,$ se deduce del lema que

$$\left|s_{n}-x\right|<\frac{1}{2^{n}}<\frac{1}{2^{N}}<\epsilon .$$

De ahí

$$x=\lim _{n \rightarrow \infty} s_{n}=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n}}{2^{n}}.$$

Q.E.D.

lema$\PageIndex{3}$

Con la notación como arriba, dado cualquier entero$N$ existe un entero$n>N$ tal que$a_{n}=0$.

Prueba

Si$a_{n}=1$ para$n=1,2,3, \dots,$ entonces

$$x=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^{n}}=1,$$

contradiciendo la suposición de que$0 \leq x<1 .$ Ahora supongamos que existe un entero$N$ tal que$a_{N}=0$ pero$a_{n}=1$ para cada$n>N .$ Entonces

$$x=s_{N}+\sum_{n=N+1}^{\infty} \frac{1}{2^{n}}=s_{N-1}+\sum_{n=N+1}^{\infty} \frac{1}{2^{n}}=s_{N-1}+\frac{1}{2^{N}},$$

lo que implica$a_{N}=1,$ y contradiciendo así la suposición de que$a_{N}=0$. $\quad$Q.E.D.

Combinar el lema anterior con la proposición anterior arroja el siguiente resultado.

Proposición$\PageIndex{4}$

Con la notación como arriba,$x=. a_{1} a_{2} a_{3} a_{4} \ldots$.

El siguiente teorema se desprende ahora del Ejercicio 3.1.1 y de la proposición anterior.

Teorema$\PageIndex{5}$

Cada número real$0 \leq x<1$ tiene una representación binaria única.