3.1: Representaciones Binarias
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Supongamos que\(\left\{a_{n}\right\}_{n=1}^{\infty}\) es una secuencia tal que, para cada uno\(a_{n}=0\) o\(n=1,2,3, \ldots,\) bien o\(a_{n}=1\) y, para cualquier entero\(N,\) existe un entero\(n>N\) tal que\(a_{n}=0 .\) Entonces
\[0 \leq \frac{a_{n}}{2^{n}} \leq \frac{1}{2^{n}}\]
por\(n=1,2,3, \dots,\) lo que la serie infinita
\[\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n}}{2^{n}}\]
converge a algún número real\(x\) por la prueba de comparación. Por otra parte,
\[0 \leq x<\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^{n}}=1.\]
Llamamos a la secuencia\(\left\{a_{n}\right\}_{n=1}^{\infty}\) la representación binaria para\(x,\) y escribimos
\[x=.a_{1} a_{2} a_{3} a_{4} \dots.\]
Supongamos\(\left\{a_{n}\right\}_{n=1}^{\infty}\) y\(\left\{b_{n}\right\}_{n=1}^{\infty}\) son ambas representaciones binarias para\(x .\) Mostrar eso\(a_{n}=b_{n}\) para\(n=1,2,3, \ldots\).
Ahora supongamos\(x \in \mathbb{R}\) con\(0 \leq x<1\). Construye una secuencia de la\(\left\{a_{n}\right\}_{n=1}^{\infty}\) siguiente manera: Si se\(0 \leq x<\frac{1}{2},\) deja\(a_{1}=0 ;\) lo contrario, let\(a_{1}=1 .\) For\(n=1,2,3, \ldots,\) let
\[s_{n}=\sum_{i=1}^{n} \frac{a_{i}}{2^{i}}\]
y establecer\(a_{n+1}=1\) si
\[s_{n}+\frac{1}{2^{n+1}} \leq x\]
y de\(a_{n+1}=0\) otra manera.
Con la notación anterior,
\[s_{n} \leq x<s_{n}+\frac{1}{2^{n}}\]
para\(n=1,2,3, \ldots\).
- Prueba
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Desde
\[s_{1}=\left\{\begin{array}{ll}{0,} & {\text { if } 0 \leq x<\frac{1}{2}} \\ {\frac{1}{2},} & {\text { if } \frac{1}{2} \leq x<1}\end{array}\right.\]
es claro que\(s_{1} \leq x<s_{1}+\frac{1}{2} .\) Así supongamos\(n>1\) y\(s_{n-1} \leq x<s_{n-1}+\frac{1}{2^{n-1}}\). Si\(s_{n-1}+\frac{1}{2 n} \leq x,\) entonces\(a_{n}=1\) y
\[s_{n}=s_{n-1}+\frac{1}{2^{n}} \leq x<s_{n-1}+\frac{1}{2^{n-1}}=s_{n-1}+\frac{1}{2^{n}}+\frac{1}{2^{n}}=s_{n}+\frac{1}{2^{n}}.\]
Si\(x<s_{n-1}+\frac{1}{2^{n}},\) entonces\(a_{n}=0\) y
\[s_{n}=s_{n-1} \leq x<s_{n-1}+\frac{1}{2^{n}}=s_{n}+\frac{1}{2^{n}}.\]
Q.E.D.
Con la notación anterior,
\[x=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n}}{2^{n}}.\]
- Prueba
-
Dado\(\epsilon>0,\) elegir un entero\(N\) tal que\(\frac{1}{2^{n}}<\epsilon .\) Entonces, para cualquiera\(n>N,\) se deduce del lema que
\[\left|s_{n}-x\right|<\frac{1}{2^{n}}<\frac{1}{2^{N}}<\epsilon .\]
De ahí
\[x=\lim _{n \rightarrow \infty} s_{n}=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n}}{2^{n}}.\]
Q.E.D.
Con la notación como arriba, dado cualquier entero\(N\) existe un entero\(n>N\) tal que\(a_{n}=0\).
- Prueba
-
Si\(a_{n}=1\) para\(n=1,2,3, \dots,\) entonces
\[x=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^{n}}=1,\]
contradiciendo la suposición de que\(0 \leq x<1 .\) Ahora supongamos que existe un entero\(N\) tal que\(a_{N}=0\) pero\(a_{n}=1\) para cada\(n>N .\) Entonces
\[x=s_{N}+\sum_{n=N+1}^{\infty} \frac{1}{2^{n}}=s_{N-1}+\sum_{n=N+1}^{\infty} \frac{1}{2^{n}}=s_{N-1}+\frac{1}{2^{N}},\]
lo que implica\(a_{N}=1,\) y contradiciendo así la suposición de que\(a_{N}=0\). \(\quad\)Q.E.D.
Combinar el lema anterior con la proposición anterior arroja el siguiente resultado.
Con la notación como arriba,\(x=. a_{1} a_{2} a_{3} a_{4} \ldots\).
El siguiente teorema se desprende ahora del Ejercicio 3.1.1 y de la proposición anterior.
Cada número real\(0 \leq x<1\) tiene una representación binaria única.