4.4: Conjuntos Compactos
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Supongamos que\(T \subset \mathbb{R} .\) Si\(A\) es un conjunto,\(U_{\alpha}\) es un conjunto abierto para cada\(\alpha \in A,\) y
\[T \subset \bigcup_{\alpha \in A} U_{\alpha},\]
entonces llamamos\(\left\{U_{\alpha}: \alpha \in A\right\}\) una portada abierta de\(T\).
Para\(n=3,4,5, \dots,\) dejar
\[U_{n}=\left(\frac{1}{n}, \frac{n-1}{n}\right).\]
Entonces\(\left\{U_{n}: n=3,4,5, \ldots\right\}\) es una cubierta abierta del intervalo abierto\((0,1)\).
Supongamos que\(\left\{U_{\alpha}: \alpha \in A\right\}\) es una cubierta abierta de\(T \subset \mathbb{R} .\) If\(B \subset A\) y
\[T \subset \bigcup_{\beta \in B} U_{\beta},\]
entonces llamamos\(\left\{U_{\beta}: \beta \in B\right\}\) una subcubierta de\(\left\{U_{\alpha}: \alpha \in A\right\} .\) Si\(B\) es finito, llamamos\(\left\{U_{\beta}: \beta \in B\right\}\) una subcubierta finita de\(\left\{U_{\alpha}: \alpha \in A\right\}\).
Mostrar que la cubierta abierta de\((0,1)\) dada en el ejemplo anterior no tiene una subcubierta finita.
Decimos que un conjunto\(K \subset \mathbb{R}\) es compacto si cada cubierta abierta de\(K\) tiene una sub cubierta finita.
Como consecuencia del ejercicio anterior, el intervalo abierto no\((0,1)\) es compacto.
Demuestre que cada subconjunto finito de\(\mathbb{R}\) es compacto.
Supongamos\(n \in \mathbb{Z}^{+}\) y\(K_{1}, K_{2}, \ldots, K_{n}\) son conjuntos compactos. Demostrar que\(\bigcup_{i=1}^{n} K_{i}\) es compacto.
Si\(I\) es un intervalo cerrado, delimitado, entonces\(I\) es compacto.
- Prueba
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Dejar\(a \leq b\) ser números reales finitos y\(I=[a, b] .\) Supongamos\(\left\{U_{\alpha}: \alpha \in A\right\}\) es una cubierta abierta de\(I .\) Let\(\mathcal{O}\) be el conjunto de conjuntos\(\left\{U_{\beta}: \beta \in B\right\}\) con las propiedades que\(B\) es un subconjunto finito de\(A\) y\(a \in \bigcup_{\beta \in B} U_{\beta} .\) Let
\[(s-\epsilon, s+\epsilon) \subset U_{\alpha}.\]
Además, existe una\(\left\{U_{\beta}: \beta \in B\right\} \in \mathcal{O}\) para la cual
\[\left[a, s-\frac{\epsilon}{2}\right] \subset \bigcup_{\beta \in B} U_{\beta}.\]
Pero entonces
\[\left\{U_{\beta}: \beta \in B\right\} \cup\left\{U_{\alpha}\right\} \in \mathcal{O}\]
y
\[\left[a, s+\frac{\epsilon}{2}\right] \subset\left(\bigcup_{\beta \in B} U_{\beta}\right) \cup U_{\alpha},\]
contradiciendo la definición de\(s .\) Por lo tanto debemos tener\(s=b .\) Ahora elige\(U_{\alpha}\) tal que\(b \in U_{\alpha} .\) Entonces, para algunos\(\epsilon>0\),
\[(b-\epsilon, b+\epsilon) \subset U_{\alpha}.\]
Además, existe\(\left\{U_{\beta}: \beta \in B\right\} \in \mathcal{O}\) tal que
\[\left[a, b-\frac{\epsilon}{2}\right] \subset \bigcup_{\beta \in B} U_{\beta}.\]
Entonces
\[\left\{U_{\beta}: \beta \in B\right\} \cup\left\{U_{\alpha}\right\} \in \mathcal{O}\]
es una subcubierta finita de\(I .\) Así\(I\) es compacta. \(\quad\)Q.E.D.
Si\(K\) es un subconjunto cerrado, delimitado de\(\mathbb{R},\) entonces\(K\) es compacto.
- Prueba
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Ya que\(K\) está acotada, existen números reales finitos\(a\) y\(b\) tales que\(K \subset[a, b] .\) Let\(\left\{U_{\alpha}: \alpha \in A\right\}\) be an open cover of\(K .\) Let\(V=\mathbb{R} \backslash K .\) Then
\[\left\{U_{\alpha}: \alpha \in A\right\} \cup\{V\}\]
en este último caso, tenemos
\[K \subset[a, b] \backslash V \subset \bigcup_{\beta \in B} U_{\beta}.\]
En cualquier caso, hemos encontrado una subcubierta finita de\(\left\{U_{\alpha}: \alpha \in A\right\}\). \(\quad\)Q.E.D.
Demostrar que si\(K\) es compacto y\(C \subset K\) está cerrado, entonces\(C\) es compacto.
Si\(K \subset \mathbb{R}\) es compacto, entonces\(K\) se cierra.
- Prueba
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Supongamos que\(x\) es un punto límite de\(K\) y\(x \notin K .\) para\(n=1,2,3, \ldots,\) dejar
\[U_{n}=\left(-\infty, x-\frac{1}{n}\right) \cup\left(x+\frac{1}{n},+\infty\right).\]
Entonces
\[\bigcup_{n=1}^{\infty} U_{n}=(-\infty, x) \cup(x,+\infty) \supset K .\]
Sin embargo, para cualquiera\(N \in \mathbb{Z}^{+},\) existe\(a \in K\) con
\[a \in\left(x-\frac{1}{N}, x+\frac{1}{N}\right),\]
y por lo tanto
\[a \notin \bigcup_{n=1}^{N} U_{n}=\left(-\infty, x-\frac{1}{N}\right) \cup\left(x+\frac{1}{N},+\infty\right).\]
Así, la cubierta abierta\(\left\{U_{n}: n \in \mathbb{Z}^{+}\right\}\) no tiene una subcubierta finita, contradiciendo la suposición de que\(K\) es compacta. \(\quad\)Q.E.D.
Supongamos que para cada uno\(\alpha\) en algún conjunto\(A, K_{\alpha}\) es compacto. Demostrar que\(\bigcap_{\alpha \in A} K_{\alpha}\) es compacto.
Si\(K \subset \mathbb{R}\) es compacto, entonces\(K\) está acotado.
- Prueba
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Supongamos que no\(K\) está acotado. Para\(n=1,2,3, \ldots,\) Let\(U_{n}=(-n, n) .\) Then
\[\bigcup_{n=1}^{\infty} U_{n}=(-\infty, \infty) \supset K .\]
Pero, para cualquier entero\(N,\) existe\(a \in K\) tal que\(|a|>N,\) de lo que se deduce que
\[a \notin \bigcup_{n=1}^{N} U_{n}=(-N, N).\]
Así, la cubierta abierta\(\left\{U_{n}: n \in \mathbb{Z}^{+}\right\}\) no tiene una subcubierta finita, contradiciendo la suposición de que\(K\) es compacta. \(\quad\)Q.E.D.
En conjunto, las tres proposiciones anteriores arrojan el siguiente resultado fundamental:
Un conjunto\(K \subset \mathbb{R}\) es compacto si y solo si\(K\) está cerrado y acotado.
Si\(K \subset \mathbb{R}\) es compacto y\(\left\{x_{n}\right\}_{n \in I}\) es una secuencia con\(x_{n} \in K\) para cada\(n \in I,\) entonces\(\left\{x_{n}\right\}_{n \in I}\) tiene una subsecuencia convergente\(\left\{x_{n_{k}}\right\}_{k=1}^{\infty}\) con
\[\lim _{k \rightarrow \infty} x_{n_{k}} \in K .\]
- Prueba
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Ya que\(K\) está acotada,\(\left\{x_{n}\right\}_{n \in I}\) tiene una subsecuencia convergente\(\left\{x_{n_{k}}\right\}_{k=1}^{\infty}\). Ya que\(K\) está cerrado, debemos tener\(\lim _{k \rightarrow \infty} x_{n_{k}} \in K\).
Supongamos que\(K \subset \mathbb{R}\)\(\left\{x_{n}\right\}_{n \in I}\) es tal que siempre que sea una secuencia con\(x_{n} \in K\) para cada\(n \in I,\) entonces\(\left\{x_{n}\right\}_{n \in I}\) tiene una subsecuencia\(\left\{x_{n_{k}}\right\}_{k=1}^{\infty}\) con\(\lim _{k \rightarrow \infty} x_{n_{k}} \in K .\) Entonces\(K\) es compacta.
- Prueba
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Supongamos que no\(K\) tiene límites. Entonces podremos construir una secuencia\(\left\{x_{n}\right\}_{n=1}^{\infty}\) tal que\(x_{n} \in K\) y\(\left|x_{n}\right|>n\) para\(n=1,2,3, \ldots\) De ahí los únicos límites subsecuenciales posibles de\(\left\{x_{n}\right\}_{n=1}^{\infty}\) serían\(-\infty\) y\(+\infty,\) contradiciendo nuestras suposiciones. Por lo tanto,\(K\) hay que acotar.
Ahora supongamos que\(\left\{x_{n}\right\}_{n \in I}\) es una secuencia convergente con\(x_{n} \in K\) para todos\(n \in I .\) Si\(L=\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n},\) entonces\(L\) es el único límite subsecuencial de\(\left\{x_{n}\right\}_{n \in I} .\) Por lo tanto, por los supuestos de la proposición,\(L \in K .\) De ahí\(K\) se cierra.
Ya que\(K\) es a la vez cerrado y acotado, es compacto. \(\quad\)Q.E.D.
Mostrar que un conjunto\(K \subset \mathbb{R}\) es compacto si y solo si cada subconjunto infinito de\(K\) tiene un punto límite en\(K\).
Demostrar que si\(K\) es compacto, entonces\(\sup K \in K\) y\(\inf K \in K\).
Dado un conjunto,\(K \subset \mathbb{R},\) los siguientes son equivalentes:
1. Cada cubierta abierta de\(K\) tiene una subcubierta finita.
2. Cada secuencia en\(K\) tiene un límite posterior en\(K\).
3. Cada subconjunto infinito de\(K\) tiene un punto límite en\(K\).
Supongamos que\(K_{1}, K_{2}, K_{3}, \ldots\) son conjuntos compactos no vacíos con
\[K_{n+1} \subset K_{n}\]
para\(n=1,2,3, \ldots\) Mostrar que
\[\bigcap_{n=1}^{\infty} K_{n}\]
no está vacío.
Decimos que una colección de conjuntos\(\left\{D_{\alpha}: \alpha \in A\right\}\) tiene la propiedad de intersección finita si por cada conjunto finito\(B \subset A\),
\[\bigcap_{\alpha \in B} D_{\alpha} \neq \emptyset .\]
Demuestre que un conjunto\(K \subset \mathbb{R}\) es compacto si y solo para cualquier colección
\[\left\{E_{\alpha}: \alpha \in A, E_{\alpha}=C_{\alpha} \cap K \text { where } C_{\alpha} \subset \mathbb{R} \text { is closed }\right\}\]
que tiene la propiedad de intersección finita que tenemos
\[\bigcap_{\alpha \in A} E_{\alpha} \neq \emptyset .\]