4.3: Conjuntos Cerrados
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Llamamos a un punto\(x \in \mathbb{R}\) un punto límite de un conjunto\(A \subset \mathbb{R}\) si por cada\(\epsilon>0\) existe\(a \in A, a \neq x,\) tal que\(a \in(x-\epsilon, x+\epsilon)\).
\(A \subset \mathbb{R} .\)Supongamos que llamamos a\(a \in A\) un punto un punto aislado de\(A\) si existe\(\epsilon>0\) tal que\[A \cap(a-\epsilon, a+\epsilon)=\{a\}.\]
Identificar los puntos límite y puntos aislados de los siguientes conjuntos:
a.\([-1,1]\),
b.\((-1,1)\),
c.\(\left\{\frac{1}{n}: n \in \mathbb{Z}^{+}\right\}\),
d.\(\mathbb{Z}\),
e\(\mathbb{Q}\).
Supongamos que\(x\) es un punto límite del conjunto\(A .\) Mostrar que para cada\(\epsilon>0,\) conjunto\((x-\epsilon, x+\epsilon) \cap A\) es infinito.
Dejamos\(A^{\prime}\) denotar el conjunto de puntos límite de un conjunto\(A .\)
Dado un conjunto\(A \subset \mathbb{R},\) llamamos al conjunto\(\bar{A}=A \cup A^{\prime}\) el cierre de\(A\).
Llamamos a un conjunto\(C \subset \mathbb{R}\) cerrado si\(C=\bar{C}\).
Si\(A \subset \mathbb{R},\) entonces\(\bar{A}\) está cerrado.
- Prueba
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Supongamos que\(x\) es un punto límite de\(\bar{A} .\) Nosotros vamos a mostrar que\(x\) es un punto límite de\(A,\) y por lo tanto\(x \in \bar{A} .\) Ahora para cualquiera\(\epsilon>0,\) existe\(a \in \bar{A}, a \neq x,\) tal que
\[a \in\left(x-\frac{\epsilon}{2}, x+\frac{\epsilon}{2}\right).\]
Si se\(a \in A,\) deja\(b=a .\)\(a \notin A,\) entonces\(a\) es un punto límite de\(A,\) por lo que existe\(b \in A,\)\(b \neq a\) y\(b \neq x,\) tal que
\[b \in\left(a-\frac{\epsilon}{2}, a+\frac{\epsilon}{2}\right).\]
En cualquiera de los casos
\[|x-b| \leq|x-a|+|a-b|<\frac{\epsilon}{2}+\frac{\epsilon}{2}=\epsilon .\]
De ahí\(x \in A^{\prime},\) y así\(\bar{A}\) está cerrado. \(\quad\)Q.E.D.
Un conjunto\(C \subset \mathbb{R}\) se cierra si y solo si por cada secuencia convergente\(\left\{a_{k}\right\}_{k \in K}\) con\(a_{k} \in C\) para todos\(k \in K\),
\[\lim _{k \rightarrow \infty} a_{k} \in C.\]
- Prueba
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Supongamos que\(C\)\(\left\{a_{k}\right\}_{k \in K}\) está cerrado y es una secuencia convergente con\(a_{k} \in C\) para todos\(k \in K .\) Let\(x=\lim _{k \rightarrow \infty} a_{k} .\)\(x=a_{k}\) If para algún entero\(k,\) entonces\(x \in C .\) De lo contrario, para cada\(\epsilon>0,\) existe un entero\(N\) tal que\(\left|a_{N}-x\right|<\epsilon\). De ahí\(a_{N} \neq x\) y
\[a_{N} \in(x-\epsilon, x+\epsilon).\]
Así\(x\) es un punto límite de\(C,\) y así\(x \in C\) ya que\(C\) está cerrado.
Ahora supongamos que por cada secuencia convergente\(\left\{a_{k}\right\}_{k \in K}\) con\(a_{k} \in C\) para todos\(k \in K, \lim _{k \rightarrow \infty} a_{k} \in C .\) Let\(x\) be a limit point of\(C .\) For\(k=1,2,3, \ldots,\) choose\(a_{k} \in C\) such that\(a_{k} \in\left(x-\frac{1}{k}, x+\frac{1}{k}\right) .\) then clearly
\[\boldsymbol{x}=\lim _{k \rightarrow \infty} a_{k},\]
\(x \in C .\)así\(C\) se cierra. \(\quad\)Q.E.D.
Demuestre que cada intervalo cerrado\(I\) es un conjunto cerrado.
Supongamos que\(A\) es un conjunto y, para cada uno\(\alpha \in A, C_{\alpha}\) es un conjunto cerrado. Entonces
\[\bigcap_{\alpha \in A} C_{\alpha}\]
es un conjunto cerrado.
- Prueba
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Supongamos que\(x\) es un punto límite de\(\bigcap_{\alpha \in A} C_{\alpha} .\) Entonces para cualquiera\(\epsilon>0,\) existe\(y \in \bigcap_{\alpha \in A} C_{\alpha}\) tal que\(y \neq x\) y\(y \in(x-\epsilon, x+\epsilon) .\) Pero entonces para cualquier\(\alpha \in A,\)\(y \in C_{\alpha},\) así\(x\) es un punto límite de\(C_{\alpha}\). Ya que\(C_{\alpha}\) está cerrado, se deduce que\(x \in C_{\alpha}\) para cada\(\alpha \in A .\) Así\(x \in \bigcap_{\alpha \in A} C_{\alpha}\) y\(\bigcap_{\alpha \in A} C_{\alpha}\) está cerrado. \(\quad\)Q.E.D.
Supongamos que\(C_{1}, C_{2}, \ldots, C_{n}\) es una colección finita de conjuntos cerrados. Entonces
\[\bigcup_{i=1}^{n} C_{i}\]
está cerrado.
- Prueba
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Supongamos que\(\left\{a_{k}\right\}_{k \in K}\) es una secuencia convergente con\(a_{k} \in \bigcup_{i=1}^{n} C_{i}\) para cada\(k \in K .\) Let\(L=\lim _{k \rightarrow \infty} a_{k} .\) Ya que\(K\) es un conjunto infinito, debe haber un entero\(m\) y una subsecuencia\(\left\{a_{n_{j}}\right\}_{j=1}^{\infty}\) tal que\(a_{n_{j}} \in C_{m}\) para\(j=1,2, \ldots\). Dado que cada subsecuencia de\(\left\{a_{k}\right\}_{k \in K}\) converge a\(L,\left\{a_{n_{j}}\right\}_{j=1}^{\infty}\) debe converger a\(L .\) Since\(C_{m}\) está cerrada,
\[L=\lim _{j \rightarrow \infty} a_{n_{j}} \in C_{m} \subset \bigcup_{i=1}^{n} C_{i}.\]
Así\(\bigcup_{i=1}^{n} C_{i}\) se cierra. \(\quad\)Q.E.D.
Tenga en cuenta que tanto\(\mathbb{R}\) y\(\emptyset\) satisfacer la definición de un conjunto cerrado.
Un conjunto\(C \subset \mathbb{R}\) se cierra si y solo si\(\mathbb{R} \backslash C\) está abierto.
- Prueba
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Supongamos que\(C\) está cerrado y deja\(U=\mathbb{R} \backslash C .\) Si\(C=\mathbb{R},\) entonces\(U=\emptyset,\) cuál está abierto; si\(C=\emptyset,\) entonces\(U=\mathbb{R},\) cuál está abierto. Así que podemos asumir ambos\(C\) y no\(U\) están vacíos. Let\(x \in U .\) Entonces no\(x\) es un punto límite de\(C,\) por lo que existe\(\epsilon>0\) tal que
\[(x-\epsilon, x+\epsilon) \cap C=\emptyset.\]
Por lo tanto
\[(x-\epsilon, x+\epsilon) \subset U,\]
así\(U\) está abierto.
Ahora supongamos que\(U=\mathbb{R} \backslash C\) está abierto. Si\(U=\mathbb{R},\) entonces\(C=\emptyset,\) cual se cierra; si\(U=\emptyset,\) entonces\(C=\mathbb{R},\) cual se cierra. Así que podemos asumir ambos\(U\) y no\(C\) están vacíos. Dejemos\(x\) ser un punto límite de\(C .\) Entonces, para cada\(\epsilon>0\),
\[(x-\epsilon, x+\epsilon) \cap C \neq \emptyset .\]
De ahí que no exista\(\epsilon>0\) tal que
\[(x-\epsilon, x+\epsilon) \subset U.\]
Así\(x \notin U,\) así\(x \in C\) y\(C\) está cerrado. \(\quad\)Q.E.D.
Para\(n=1,2,3, \ldots,\) Let\(I_{n}=\left(-\frac{1}{n}, \frac{n+1}{n}\right) .\) Is
\[\bigcap_{n=1}^{\infty} I_{n}\]
¿abierto o cerrado?
Para\(n=3,4,5, \ldots,\) Let\(I_{n}=\left[\frac{1}{n}, \frac{n-1}{n}\right] .\) Is
\[\bigcup_{n=3}^{\infty} I_{n}\]
¿abierto o cerrado?
Supongamos, para\(n=1,2,3, \ldots,\) los intervalos\(I_{n}=\left[a_{n}, b_{n}\right]\) son tales que\(I_{n+1} \subset I_{n} .\) Si\(a=\sup \left\{a_{n}: n \in \mathbb{Z}^{+}\right\}\) y\(b=\inf \left\{b_{n}: n \in \mathbb{Z}^{+}\right\},\) muestran que
\[\bigcap_{n=1}^{\infty} I_{n}=[a, b].\]
Encuentre una secuencia\(I_{n}, n=1,2,3, \ldots,\) de intervalos cerrados de tal manera que\(I_{n+1} \subset I_{n}\) para\(n=1,2,3, \ldots\) y
\[\bigcap_{n=1}^{\infty} I_{n}=\emptyset.\]
Encuentre una secuencia\(I_{n}, n=1,2,3, \ldots,\) de intervalos acotados y abiertos de tal manera que\(I_{n+1} \subset I_{n}\) para\(n=1,2,3, \ldots\) y
\[\bigcap_{n=1}^{\infty} I_{n}=\emptyset .\]
Supongamos\(A_{i} \subset \mathbb{R}, i=1,2, \ldots, n,\) y vamos\(B=\bigcup_{i=1}^{n} A_{i} .\) Mostrar eso
\[\overline{B}=\bigcup_{i=1}^{n} \overline{A_{i}}.\]
Supongamos\(A_{i} \subset \mathbb{R}, i \in \mathbb{Z}^{+},\) y vamos
\[B=\bigcup_{i=1}^{\infty} A_{i}.\]
Demostrar que
\[\bigcup_{i=1}^{\infty} \overline{A_{i}} \subset \overline{B} .\]
Encuentra un ejemplo para el cual
\[\overline{B} \neq \bigcup_{i=1}^{\infty} \overline{A_{i}}.\]
Supongamos que\(U \subset \mathbb{R}\) es un conjunto abierto no vacío. Para cada\(x \in U,\) let
\[J_{x}=\bigcup(x-\epsilon, x+\delta),\]
donde el sindicato se haga cargo de todos\(\epsilon>0\) y\(\delta>0\) tal que\((x-\epsilon, x+\delta) \subset U\).
a. demuéstralo para cada\(x, y \in U,\) uno\(J_{x} \cap J_{y}=\emptyset\) o bien\(J_{x}=J_{y}\).
b. Demostrar que
\[U=\bigcup_{x \in B} J_{x},\]
donde\(B \subset U\) es finito o contable.